第1章 直線與方程章末題型歸納總結(jié)（解析版）

第1章直線與方程章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：斜率與傾斜角的關(guān)系經(jīng)典題型二：直線方程的求法及應(yīng)用經(jīng)典題型三：兩直線的平行與垂直經(jīng)典題型四：兩直線的交點與距離問題經(jīng)典題型五：線段和差最值問題經(jīng)典題型六：直線與坐標(biāo)軸圍成的面積問題經(jīng)典題型七：點線對稱、線點對稱、線線對稱問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：斜率與傾斜角的關(guān)系例1．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為.因為，，，所以，.又，則.當(dāng)時，單調(diào)遞增，解，可得；當(dāng)時，單調(diào)遞增，解，可得.綜上所述，.故選：B.例2．（2023·浙江紹興·高二?？计谥校┤簦瑒t直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線的斜率，顯然此直線傾斜角，因此或，解得或，所以直線的傾斜角的取值范圍為.故選：C例3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線經(jīng)過第二、四象限，則直線的傾斜角范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線傾斜角的取值范圍是，又直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是.故選：C例4．（2023·廣西貴港·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）若直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則（

）A． B．5 C． D．【答案】D【解析】依題意可得，則，，故．故選：D例5．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點，，若過的直線與線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，，，，則，，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.例6．（2023·廣西南寧·高二南寧市邕寧高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】如圖，直線的斜率為；直線的斜率為；當(dāng)直線與線段相交時，則的斜率的取值范圍是或.故選：B.例7．（2023·山西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）直線，，，的圖象如圖所示，則斜率最小的直線是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由圖知：，故斜率最小的直線是.故選：B例8．（2023·高二課時練習(xí)）直線l經(jīng)過兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．∪C． D．【答案】D【解析】直線l的斜率，因為，所以，設(shè)直線l的傾斜角為，則，因為，所以或，所以直線l的傾斜角的取值范圍是故選：D.例9．（2023·浙江·高二浙江省余姚市第五中學(xué)校聯(lián)考期中）已知點，，若直線與線段有公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】直線l：經(jīng)過定點，，．又直線l：與線段相交，所以或，故選：C．例10．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知傾斜角為的直線與直線的夾角為，則的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】，即，設(shè)直線的傾斜角為，，則，，夾角為，故或.故選：C.經(jīng)典題型二：直線方程的求法及應(yīng)用例11．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）過點作直線，若經(jīng)過點和，且均為正整數(shù)，則這樣的直線可以作出（

），A．條 B．條 C．條 D．無數(shù)條【答案】B【解析】均為正整數(shù)，可設(shè)直線，將代入直線方程得：，當(dāng)時，，方程無解，，，，，或，或，即滿足題意的直線方程有條.故選：B.例12．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）已知直線過點，且與向量平行，則直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線與軸的交點為，因為與向量平行，所以，即，則，所以.故選：D例13．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且l和兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成三角形面積是24，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線的斜率為，可設(shè)l的方程為.令，得，由題可知:，得，由于在第一象限與坐標(biāo)軸圍成三角形，所以，所以選C項．故選：C.例14．（2023·安徽安慶·高二校考階段練習(xí)）將直線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后所得直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】點為直線與軸的交點，直線的斜率為，則直線的傾斜角為，則將直線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后所得直線的傾斜角為，則所求直線的斜率為，所以所求直線的方程為，即．故選：A．例15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中下列關(guān)于直線的幾何性質(zhì)說法中，正確的有幾個（

）①直線：過點②直線在軸的截距是2③直線的圖像不經(jīng)過第四象限④直線的傾斜角為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①將代入得，故正確；②當(dāng)時，，故在軸的截距是，故錯誤；③由得，故，故其圖像不經(jīng)過第四象限，故正確；④的斜率為，故傾斜角為，故正確；故選：C例16．（2023·江蘇南通·高二金沙中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線有（

）A．4條 B．2條 C．3條 D．1條【答案】C【解析】當(dāng)截距為0時，設(shè)直線方程為，將代入，求得，故方程為；當(dāng)截距不為0時，①截距相等時，設(shè)方程為，將代入，即，解得：，故方程為；②截距互為相反數(shù)時，設(shè)直線方程為，將代入，即，解得：，故方程為；一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(shù)(不為0)，共3條.故選：C例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線在x軸的截距大于在y軸的截距，則A、B、C應(yīng)滿足條件（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，令得直線在y軸的截距為，令得直線在x軸的截距為，由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，即.故選：D.例18．（2023·高二課時練習(xí)）已知三條直線為，則下列結(jié)論中正確的一個是（

）A．三條直線的傾斜角之和為B．三條直線在y軸上的截距滿足C．三條直線的傾斜角滿足D．三條直線在x軸上的截距之和為．【答案】C【解析】設(shè)三條直線的傾斜角，且則，所以所以，且為銳角，所以三條直線的傾斜角之和大于，故A不正確；對于直線，令，得縱截距，同理，所以，故B不正確；由于，且為銳角，所以，由，故，故C正確；直線在x軸上的截距分別為，截距之和為，故D不正確.故選：C.例19．（2023·云南紅河·高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知直線：經(jīng)過定點P，直線經(jīng)過點P，且的方向向量，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】可變形為，解得，即點坐標(biāo)為.因為，所以直線的斜率為，又過點，代入點斜式方程可得，整理可得.故選：A.例20．（2023·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)?？计谥校┮阎本€l過點，且與直線：和：分別交于點A，B．若P為線段AB的中點，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由中點坐標(biāo)公式，有在上，B在上，，解得，，故所求直線的方程為：，即，故選：D經(jīng)典題型三：兩直線的平行與垂直例21．（2023·高二課時練習(xí)）是否存在實數(shù)，使直線與直線平行？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【解析】依題意，直線與直線不相交，則，解得或，當(dāng)時，直線與直線平行，當(dāng)時，直線與直線平行，所以存在實數(shù)滿足條件，或.例22．（2023·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列給定的條件，用多種方法判斷直線與直線的位置關(guān)系：(1)經(jīng)過點，，經(jīng)過點，；(2)經(jīng)過點，，經(jīng)過點，．【解析】（1）方法1:：因，，則直線AB方程為：；因，，則直線CD方程為：.因兩直線斜率相同，縱截距不同，則兩直線平行；方法2：由題可得，因，則與共線，又注意到，其與，均不共線，可知不共線，則直線AB與直線CD平行；（2）方法1：由題可得直線AB方程為：；直線MN方程為：.因兩直線斜率乘積為，則兩直線垂直；方法2：由題可得，因，則兩直線垂直；例23．（2023·高二課時練習(xí)）已知三條直線，，．(1)若，且過點，求、的值；(2)若，求、的值．【解析】（1）因為，，且，所以，又直線過點，所以，所以，所以，所以或；（2）若，則，解得，當(dāng)時，，也即，，也即，滿足，所以若，.例24．（2023·全國·高二課堂例題）已知點，，，，若，求m的值．【解析】當(dāng)時，直線PQ的斜率不存在，而此時直線MN的斜率存在，MN與PQ不平行，不符合題意；當(dāng)時，直線MN的斜率不存在，而此時直線PQ的斜率存在，MN與PQ不平行，不符合題意；當(dāng)，且時，，．因為，所以，即，解得或．經(jīng)檢驗，當(dāng)或時，直線MN，PQ不重合．綜上，m的值為0或1．例25．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）在菱形ABCD中，對角線BD與x軸平行，，點E是線段BC的中點．(1)求直線AE的方程；(2)求過點A且與直線DE垂直的直線．【解析】（1）四邊形ABCD為菱形，軸，軸，∴可設(shè)，，，解得：（舍）或，.中點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，由中點坐標(biāo)公式得，，直線AE的方程為，即.（2）可求，則過點A且與直線DE垂直的直線斜率為：所求直線方程為：，即．例26．（2023·高二課時練習(xí)）已知的頂點為，，，是否存在使為直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【解析】若A為直角，則，∴，即，解得；若B為直角，則，∴，即，解得；若C為直角，則，∴，即，解得．綜上所述，存在或或，使為直角三角形．例27．（2023·四川成都·高二?？计谥校┮阎本€經(jīng)過點．(1)若直線平行于直線，求直線的方程．(2)若直線垂直于直線，求直線的方程．【解析】（1）因為直線平行于直線，故設(shè)直線的方程為，又直線經(jīng)過點，則，解得，故所求直線方程為.（2）因為直線垂直于直線，故設(shè)直線的方程為，又直線經(jīng)過點，則，解得，故所求直線方程為.例28．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知直線，互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】因為直線，互相垂直，所以，所以或，當(dāng)，直線不存在，故.故選：A例29．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過點和點的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8【答案】A【解析】因為，所以，解得，又，所以，解得.所以.故選：A.例30．（2023·湖南衡陽·高二校考期末）已知直線與直線，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．5【答案】A【解析】若，則，所以或．當(dāng)時，重合，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時，符合題意．故選：A例31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，，，是的垂心．則點C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)C點標(biāo)為，直線AH斜率，∴，而點B的橫坐標(biāo)為6，則，直線BH的斜率，∴直線AC斜率，∴，∴點C的坐標(biāo)為．故選:.例32．（2023·全國·高二專題練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實數(shù)m的值最多有幾個（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【解析】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，若平行，則，即；若平行，則，即無解；若平行，則，即；若三條直線交于一點，，可得或；經(jīng)檢驗知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個.故選：B例33．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，若的平分線方程為，則所在的直線方程為．【答案】【解析】，直線的方程為，由解得，設(shè)，依題意，的平分線為直線，由正弦定理得，由于，由此整理得,則，設(shè)，則，整理得，解得或（舍去），則，，直線的方程為.故答案為：例34．（2023·全國·高二專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線平行的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立，解得，即交點為，因為直線的斜率為，所以，所求直線的方程為，即．故選：B．例35．（2023·廣東廣州·高二廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考期末）過點引直線，使，兩點到直線的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】設(shè)所求的直線為，則直線平行于或直線過線段的中點，因為，，所以，所以過點且與平行的直線為：即，因為，，所以線段的中點為，所以過點與線段的中點為的直線的方程為：，即，所以這條直線的方程是：或，故選：.例36．（2023·遼寧大連·高二育明高中?？茧A段練習(xí)）若直線m被兩平行線：與：所截得的線段的長為，則直線m的傾斜角可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為平行直線截、的線段總是相等，故可設(shè)直線過原點.若直線的斜率不存在，此時直線的方程為：，此時直線截、的線段長為，不合題意.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由可得，由可得，故直線截、的線段長為，解得，因為，，故選：A.例37．（2023·全國·高二專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線的交點，且直線的一個方向向量的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立直線與，，解得：，所以直線：，：的交點為，又直線的一個方向向量，所以直線的斜率為，故該直線方程為：，即故選：D例38．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得：，因為兩直線的交點位于第一象限，所以，解得：，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以，所以直線的傾斜角的取值范圍是，故選：C.例39．（2023·高二課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點，稱為整點．設(shè)k為整數(shù)，當(dāng)直線與直線的交點為整點時，k的值可以?。?/p>

）個．A．8個 B．9個 C．7個 D．6個【答案】A【解析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩直線方程得化簡得，即時，;，即時，；，即時，;，即時，;，即時，；，即時，；，即時，；，即時，.所以k的值可以取8個，選項A正確.故選：A.例40．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（

）A．個 B．個C．個 D．個【答案】C【解析】三條直線不能構(gòu)成三角形至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點.若∥，則；若∥，則；若∥，則的值不存在；若三條直線相交于同一點，直線和聯(lián)立：，直線和交點為;直線和聯(lián)立：，直線和交點為;三條直線相交于同一點兩點重合或.故實數(shù)的取值最多有個.故選:C例41．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題知集合表示直線，即上的點，但除去點（1，3），集合表示直線上的點，易知直線與直線不重合，所以當(dāng)時，直線與直線相交且交點不是點（1，3），當(dāng)時，兩條直線相交且交點為（4，9），符合題意；當(dāng)時，由且，得且且.綜上，且.故選：C.例42．（2023·江西九江·高二永修縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知直線與的交點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立解得，由直線與的交點在第四象限可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為．故選：C．例43．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）兩條直線和的交點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，解得由得將代入可得．故選：A例44．（2023·高二課時練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則直線必過定點，這個定點的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】D【解析】∵a+2b=1，∴a=1-2b.∵直線ax+3y+b=0，∴(1-2b)x+3y+b=0，即b(1-2x)+(x+3y)=0.∴直線必過點.本題選擇D選項.例45．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若過點且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點，則中點的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)，則，連接，，，即，化簡即得.故答案為：例46．（2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）過點且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線l的斜截式方程是．【答案】或【解析】由題意所求直線l的斜率必存在，且不為，設(shè)其斜率為，則直線l方程為，令，得，令，得，故所圍三角形面積為，即，當(dāng)時，上式可化為，解得或；當(dāng)時，上式可化為，方程無解；綜上：直線的斜截式方程是或.故答案為：或.例47．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的值是.【答案】25【解析】直線，整理成，則，即直線，整理成，則，即又，過定點的動直線和過定點的動直線始終垂直，為兩條垂直直線的交點則有所以.故答案為：25.例48．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）直線l過點，且橫截距為縱截距的兩倍，則直線l的方程是.（請用直線方程的一般式作答）【答案】或【解析】當(dāng)橫截距與縱截距都為0時，可設(shè)直線方程為，又直線過點，所以，解得，所以直線方程為，即；當(dāng)橫截距與縱截距都不為0時，可設(shè)直線方程為，由題意可得，解得，所以直線方程為，即；綜上可知所求直線方程為或，故答案為：或經(jīng)典題型四：兩直線的交點與距離問題例49．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程為.【答案】或【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)直線時，顯然點，到直線的距離相等，如下圖：則此時，由，且直線過，則直線的方程為，整理可得；當(dāng)直線與直線相交時，作于，于，如下圖：若，由，，則，可得，即為的中點，其坐標(biāo)為，此時直線的斜率，直線的方程為，整理可得.故答案為：或.例50．（2023·高二課時練習(xí)）已知的三個頂點坐標(biāo)分別為，，，則的面積為．【答案】4【解析】由直線方程的兩點式得直線的方程為，即，由兩點間距離公式得，點A到BC的距離為d，即為邊上的高，，所以，即的面積為4.故答案為：4.例51．（2023·高二課時練習(xí)）已知滿足，則的最小值為【答案】/0.8【解析】由滿足知，點是直線上的任意點，而表示點到定點的距離的平方，因此的最小值即為點到直線距離的平方，即有，所以的最小值為.故答案為：例52．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點關(guān)于點對稱，則．【答案】【解析】由已知得，解得，即，故答案為：例53．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為．【答案】【解析】依題意設(shè)直線的方程為，，則，即，解得，所以直線的方程為．故答案為：例54．（2023·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┮阎c在直線上，則的最小值為．【答案】5【解析】根據(jù)題意知，表示原點到直線上的點的距離，大于等于原點到直線的距離，原點到直線的距離為，，的最小值為5．故答案為：5．例55．（2023·河南·高二宜陽縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與平行，則，間的距離為.【答案】【解析】因為，所以且，解得，所以，即，所以，間的距離為.故答案為：經(jīng)典題型五：線段和差最值問題例56．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知點，，點在直線：上運動，則的最小值為.【答案】7【解析】如圖：設(shè)點，關(guān)于直線的對稱點為，則，解得則，則,故答案為：例57．（2023·全國·高二課堂例題）的最小值為．【答案】【解析】，，如圖，設(shè)點，，，要求的最小值，即求的最小值．由于，當(dāng)A，B，C三點共線時，等號成立，且，故的最小值為．故答案為：.例58．（2023·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，若點P是直線上的任意一點，則的最小值為．【答案】/【解析】由題意可知的最小值就是點到直線的距離，因為到直線的距離，所以的最小值為.故答案為：例59．（2023·安徽蕪湖·高二蕪湖一中?？计谀┮阎?，則的最小值為.【答案】4【解析】的最小值，即動點到的距離之和最小，由平面內(nèi)到兩定點距離之和大于等于兩定點間的距離，為正方形的四個頂點，當(dāng)為正方形對角線交點時，取最小值4.故答案為：4例60．（2023·上海徐匯·高二上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，求的最小值是．【答案】【解析】根據(jù)題意可得，表示直線上一點到點和點的距離之和，點關(guān)于直線的對稱點為，則滿足解得；所以點關(guān)于直線的對稱點為，如下圖所示：則所以.故答案為：例61．（2023·湖北省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習(xí)）已知點，點P是直線上動點，則的最小值是．【答案】13【解析】作A點關(guān)于直線的對稱點，如圖所示，易知，故，此時與直線的交點為P點，故的最小值是13．故答案為：13例62．（2023·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）過點作直線分別交x，軸正半軸于A，B兩點，則的最小值為.【答案】4【解析】過點的直線分別交x，軸正半軸于A，B兩點，直線的斜率存在，且小于0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最小值為4，故答案為：4.例63．（2023·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，O為坐標(biāo)原點，點分別在線段上，則周長的最小值為.【答案】【解析】如圖：作點P關(guān)于直線AB對稱點和關(guān)于y軸對稱點，則，并且的中點在AB上，直線AB的方程為：，即…①，的中點坐標(biāo)為，代入直線AB的方程得：…②，聯(lián)立①②解得，即，顯然，的周長，，故答案為：.例64．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知直線，，則直線與之間的距離最大值為.【答案】5【解析】直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點，，當(dāng)與直線，垂直時，直線，的距離最大，且最大值為，故答案為：5．例65．（2023·高二單元測試）已知點，，直線，點P為直線l上一點，則的最大值為．【答案】【解析】如圖，作B關(guān)于l的對稱點，設(shè)，則，解得，所以．因為與B關(guān)于l對稱，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)P為與l的交點時取等號．所以的最大值為，故答案為：例66．（2023·高二課時練習(xí)）已知、，若P是直線上的點，則的最大值為．【答案】【解析】如圖，可得兩點在直線的異側(cè)，點關(guān)于直線的對稱點為，則，所以當(dāng)三點共線時，取得最大值為.故答案為：.例67．（2023·高二單元測試）當(dāng)實數(shù)k變化時，直線到直線的距離的最大值是.【答案】【解析】由可得過定點，由可得過定點.又兩直線斜率相等，可知兩直線平行且垂直于時，距離最大，最大值即為兩點間的距離.故答案為：.例68．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值.【答案】【解析】由可知，所以該直線過定點，由可得，所以該直線過定點，因為直線與垂直，所以，因為，即，解得：，所以的最大值為，故答案為：.經(jīng)典題型六：直線與坐標(biāo)軸圍成的面積問題例69．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線的橫截距為m，且在x軸，y軸上的截距之和為4.(1)若直線的斜率為2，求實數(shù)的值；(2)若直線分別與軸、軸的正半軸分別交于兩點，是坐標(biāo)原點，求面積的最大值及此時直線的方程.【解析】（1）依題意直線在軸上的截距都存在且不為0，設(shè)直線l的方程為且，令，可得；令，可得，即直線經(jīng)過點，所以直線的斜率為，解得.（2）設(shè)直線l的方程為且，由直線分別與軸、軸的正半軸分別交于兩點，可得，解得，又由，可得，當(dāng)時，取得最小值，此時直線方程為，即.例70．（2023·山西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線：恒過點，且與軸，軸分別交于，兩點，為坐標(biāo)原點.(1)求點的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點到直線的距離最大時，求直線的方程；(3)當(dāng)取得最小值時，求的面積.【解析】（1）由，則直線恒過.（2）要使點到直線的距離最大，即到直線的距離，所以，整理得，故，所以，即.（3）由題意，直線的截距均不為0，則，，且、，所以，僅當(dāng)時等號成立，所以時取最小值，當(dāng)，則，，此時的面積為；當(dāng)，則，，此時的面積為；所以的面積為或.例71．（2023·高二課時練習(xí)）過點的直線分別與軸、軸的正半軸交于A，B兩點，求（O為坐標(biāo)原點）面積取得最小值時的直線方程．【解析】由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，即，在直線的方程中，令，可得；令，可得.所以點，由已知條件可得，得，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以直線的方程為.例72．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點作直線分別交，的正半軸于，兩點．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時，求直線的方程．【解析】（1）依題意設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，代入得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，此時直線的方程為，即，所以，此時直線的方程為．（2）由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，此時直線的方程為，即．（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，令，解得，令，解得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，取最小值，此時直線的方程為．例73．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線l過點P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．(1)若直線l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫出直線l的方程；(2)求△AOB面積的最小值；(3)如圖，若點P分向量AB所成的比的值為2，過點P作平行于x軸的直線交y軸于點M，動點E、F分別在線段MP和OA上，若直線EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線EF必過一定點，并求出該定點坐標(biāo)．【解析】（1）由題設(shè)直線l：3x﹣2y+C＝0，將點（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直線l的方程為3x﹣2y﹣5＝0.（2）設(shè)直線l的方程為，將點（3，2）代入得，則ab≥24，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即a＝6，b＝4時等號成立，故△AOB的面積最小值為12.（3）證明：點P分向量所成的比的值為2，即為，設(shè)A（a，0），B（0，b），由P（3，2），，即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2），可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3，梯形AOMP的面積為，由題意可得梯形FOME的面積為6，設(shè)E（m，2），F(xiàn)（n，0），可得，即m+n＝6，由直線EF的方程為，將n＝6﹣m代入上式可得，由，解得x＝3，y＝1，則直線EF經(jīng)過定點（3，1）．例74．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，且與軸、軸的正半軸分別交于點A、點，是坐標(biāo)原點.(1)當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線的一般式方程；(2)當(dāng)取最小值時，求直線的一般式方程，并求此最小值．【解析】（1）設(shè)的方程為，由直線過得，由基本不等式得：，即，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，此時的方程為，即；（2）因為直線與軸、軸的正半軸分別交于點A、點，所以直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，所以，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，此時直線的方程為，的最小值為4.例75．（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知直線經(jīng)過點，且與軸?軸的正半軸交于兩點，是坐標(biāo)原點，若滿足__________.(1)求直線的一般式方程；(2)已知點為直線上一動點，求最小值.試從①直線的方向向量為；②直線經(jīng)過與的交點；③的面積是4，這三個條件中，任選一個補充在上面問題的橫線中，并解答.注：若選擇兩個或兩個以上選項分別解答，則按第一個解答計分.【解析】（1）若選①，由直線的方向向量為得，直線的斜率為，所以直線的方程為，所以直線的一般式方程為.若選②，直線經(jīng)過與的交點，聯(lián)立，解得，所以交點坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以直線的方程為，所以直線的一般式方程為.若選③，由題意設(shè)直線的方程為，則所以直線的一般式方程為.（2）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，由題意得，，解得，所以，例76．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線(1)若直線的傾斜角，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若直線l分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，求面積的最小值及此時直線l的方程．【解析】（1）由題意可知當(dāng)時，傾斜角為，符合題意當(dāng)時，直線l的斜率∵傾斜角，∴．故m的范圍：．（2）在直線l中：令x＝0時，即，令y＝0時x＝m，即由題意可知：得即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故最小值為2，此時直線l方程為：．例77．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點，交軸正半軸于點，求面積的最小值.【解析】（1）直線，即，所以直線過定點，是直線的斜率，所以.（2）因為直線l交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸正半軸于點B，所以??；?。凰?，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.經(jīng)典題型七：點線對稱、線點對稱、線線對稱問題例78．（2023·四川成都·高二成都七中校考期中）已知直線?的方程為?，點?的坐標(biāo)為?.(1)若直線與?關(guān)于點?對稱，求?的方程;(2)若點?與?關(guān)于直線?對稱，求?的坐標(biāo).【解析】（1）易知直線與直線互相平行，設(shè)的方程為?，點到兩直線距離相等，有?，即?，或?(舍去)，故?的方程為?.（2）設(shè)點?的坐標(biāo)為?，直線，且的中點在直線上，而直線的斜率為，，故有?，解得，?故?的坐標(biāo)為.例79．（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點，直線.求：(1)直線l關(guān)于點A的對稱直線的方程；(2)直線關(guān)于直線l的對稱直線的方程.【解析】（1）由直線，可得直線上的兩點，設(shè)兩點關(guān)于對稱的點分別為，則兩點在直線上，則，解得，故，，解得，故，則，所以直線的方程為，即；（2）聯(lián)立，解得，即直線與直線的交點坐標(biāo)為，在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線l對稱的點為，則直線過點和點，當(dāng)時，點和點所在直線與直線不垂直，所以，則，解得，即，則，所以直線的方程為，即.例80．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線，點．(1)求點關(guān)于直線的對稱點；(2)求直線，關(guān)于點的對稱直線的方程．【解析】（1）設(shè)點關(guān)于直線l的對稱點為，則這兩點的中點為，所以，解得m，n，所以點關(guān)于直線l的對稱點為；（2）由題意知，直線的斜率為，設(shè)其方程為，在直線上取一點，它關(guān)于點的對稱點為，而該點在直線上，所以，解得，所以直線的方程為．例81．（2023·全國·高二課堂例題）已知不同的兩點與關(guān)于點對稱，則（

）A． B．14 C． D．5【答案】C【解析】因為兩點與關(guān)于點對稱，可得，即，解得，所以.故選：C.例82．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線和直線關(guān)于直線對稱，則直線恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線過定點，點關(guān)于直線對稱的點為，故直線恒過定點.故選：C例83．（2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）點與點關(guān)于直線l對稱，則l的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】過點與點直線的斜率為，則直線l的斜率為，點與點的中點為，所以直線l的方程為，即.故選：B例84．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A例85．（2023·四川廣安·高二統(tǒng)考期末）已知點A與點關(guān)于直線對稱，則點A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因點A與點B關(guān)于直線對稱，則AB中點在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點A坐標(biāo)為.故選：C例86．（2023·重慶北碚·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線關(guān)于點對稱，則直線恒過的定點為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線恒過定點，又關(guān)于點對稱點為所以直線恒過的定點為故選：D.例87．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點與點關(guān)于直線對稱，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，解得.故選：A.例88．（2023·江蘇揚州·高二儀征中學(xué)校考期中）已知點、，若、關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的值是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【解析】由題意得；的中點在直線上，且直線與直線垂直，即，解得：，故選：A.例89．（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則直線與直線的夾角為設(shè)直線與直線的夾角為，則，所以直線的傾斜角為.故選：B.例90．（2023·江西南昌·高二南昌二中階段練習(xí)）已知直線與關(guān)于直線對稱，與垂直，則A． B． C． D．2【答案】B【解析】與垂直，故的斜率是2，設(shè)，過定點，設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得因為與關(guān)于直線對稱，所以過，所以，得，所以直線：，由，得，，所以直線與直線交于，因為點在直線上，所以，解得故選：B例91．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線：，若直線與關(guān)于直線對稱，則直線的斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由，可得，∴直線與交于點，在直線：，取點，設(shè)點關(guān)于直線對稱點為，則，解得，∴直線過，，直線的斜率為．故選：A.例92．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，則，解得.所以點的坐標(biāo)為故選：A.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想例93．過定點A的直線與過定點B的直線交于點，則的值為（

）A． B．10 C．20 D．【答案】C

【解析】由可得：，由可得，所以定點，直線可化為，由可得，所以定點，當(dāng)時，直線方程為，，此時兩直線垂直，當(dāng)時，由兩直線的斜率之積為，可知兩直線垂直，所以，所以，故選：例94．已知直線的方程是，的方程是，則下列各圖形中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】

，

直線

與直線

的斜率均存在．對于A選項，根據(jù)直線

的圖象可知

，且

，因此直線

的斜率應(yīng)小于0，在

y

軸上的截距應(yīng)小于0，故A選項不符合；對于B選項，根據(jù)直線

的圖象可知

，且

，因此直線

的斜率應(yīng)大于0，在

y

軸上的截距應(yīng)小于0，故B選項不符合；對于C選項，根據(jù)直線

的圖象可知

，且

，因此直線

的斜率應(yīng)大于0，在

y

軸上的截距應(yīng)大于0，故C選項不符合；對于D選項，根據(jù)直線

的圖象可知

，且

，因此直線

的斜率應(yīng)大于0，在

y

軸上的截距應(yīng)大于0，故D選項符合．故選：例9