第2章 圓與方程章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第2章圓與方程章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求圓的方程經(jīng)典題型二：求軌跡方程經(jīng)典題型三：直線與圓位置關(guān)系經(jīng)典題型四：圓與圓的位置關(guān)系經(jīng)典題型五：弦長(zhǎng)、切線、切線長(zhǎng)、切點(diǎn)弦問(wèn)題經(jīng)典題型六：圓中范圍與最值問(wèn)題經(jīng)典題型七：面積問(wèn)題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類(lèi)討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求圓的方程例1．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓經(jīng)過(guò)拋物線與軸的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則圓的方程為.例3．（2023·安徽合肥·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線：上，則圓的方程為.例4．（2023·浙江·高二浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，的外接圓的方程為．例5．（2023·河南平頂山·高二汝州市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，則的外接圓的方程為．例6．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校按竽聼熤?，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”體現(xiàn)了我國(guó)古代勞動(dòng)人民對(duì)于圓的認(rèn)知.已知，，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．例7．已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．例8．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，則圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．例9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．例10．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)圓的方程滿足：圓心在點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)，則它的方程為（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型二：求軌跡方程例11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知、兩定點(diǎn)．若動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．例12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的軌跡方程．例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)又本€（其中且為變動(dòng)參數(shù)）和圓相交于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．例14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）的頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是，，頂點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求的重心G的軌跡方程.例15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）從定點(diǎn)向圓任意引一割線交圓于P，Q兩點(diǎn)，求弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.例16．（2023·高二單元測(cè)試）已知圓(1)若圓C的切線在x軸、y軸上的截距相等，求切線方程；(2)從圓C外一點(diǎn)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，且有為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的軌跡方程.例17．（2023·江蘇南通·高二金沙中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)和圓為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.例18．（2023·云南紅河·高二開(kāi)遠(yuǎn)市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點(diǎn)為圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)，求線段EF的中點(diǎn)M的軌跡方程.例19．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.例20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

例21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為，端點(diǎn)A在圓C：上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么．例22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓：．(1)求圓的圓心坐標(biāo)及半徑；(2)設(shè)直線：①求證：直線與圓恒相交；②若直線與圓交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線．例23．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓.過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.經(jīng)典題型三：直線與圓位置關(guān)系例24．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于曲線C：，下列說(shuō)法正確的是（

）A．曲線C可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．若，過(guò)原點(diǎn)與曲線C相切的直線有兩條C．若，曲線C表示兩條直線D．若，則直線被曲線C截得弦長(zhǎng)等于例25．（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎狝，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）是圓與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列點(diǎn)M中，使得為鈍角三角形的是（

）A． B． C． D．例26．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期中）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．不能確定例27．（2023·廣東珠海·高二珠海市第二中學(xué)?？计谥校┮阎獔A，直線.下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與圓可能相切B．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為C．直線恒過(guò)定點(diǎn)D．直線被圓截得弦長(zhǎng)存在最小值，此時(shí)直線的方程為例28．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切C．相離 D．與的取值有關(guān)例29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓C：上存在到的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．例30．（2023·貴州黔東南·高二?？计谥校┤糁本€與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或例31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線與圓相交，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例32．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（

）A． B． C． D．例33．（2023·四川廣安·高二四川省廣安代市中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例34．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期末）圓：與直線：的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無(wú)法確定例35．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例36．（2023·高二單元測(cè)試）若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則的取值不可能是（

）A．-2 B．0C．1 D．3例37．（2023·遼寧營(yíng)口·高二校考階段練習(xí)）已知曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型四：圓與圓的位置關(guān)系例38．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（）A． B．C． D．例39．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線是圓的切線，并且點(diǎn)到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例40．（2023·四川南充·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，若點(diǎn)A到直線l的距離為1，點(diǎn)B到直線l的距離為4，則滿足條件的有（

）條A．1 B．2 C．3 D．4例41．（2023·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）圓，圓，則兩圓的公切線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條例42．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．內(nèi)含例43．（2023·山西·高二山西大附中校考期中）以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．兩圓與的公共弦所在的直線方程為C．已知圓：，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引條切線，其中A為切點(diǎn)，則的最小值為D．圓：與圓：恰有三條公切線例44．（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓A：與圓B：，則兩圓的公切線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例45．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．例46．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．例47．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓與圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．經(jīng)典題型五：弦長(zhǎng)、切線、切線長(zhǎng)、切點(diǎn)弦問(wèn)題例48．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．則直線的方程為（

）A． B．C． D．例49．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知過(guò)圓外一點(diǎn)做圓的兩條切線，切點(diǎn)為兩點(diǎn)，求所在的直線方程為（

）A． B．C． D．例50．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得∠MPN最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過(guò)M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．－7 C．1或－7 D．2或－7例51．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B．C． D．或例52．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓為圓O上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓O的切線l．當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，l的方程為（

）A． B．C． D．例53．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，則的方程為（

）A． B． C． D．例54．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．例55．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)直線上一點(diǎn)向圓O：作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為，則（

）A． B． C． D．例56．（2023·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線與平行時(shí)，（

）A． B． C． D．4例57．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．例58．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2例59．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則直線必過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．例60．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線的方程為，若在直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)，使得為直角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例61．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓，直線則直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為（

）A．5 B．4 C．10 D．2例62．（2023·廣西南寧·高二南寧三中?？计谀┮阎獔A：，直線：，直線與圓交于、，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．例63．（2023·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)?？计谀┤糁本€與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，劣弧的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．例64．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．例65．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）當(dāng)圓截直線所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．例66．（2023·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）直線與圓相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C．[－1，1] D．[－，3]例67．（2023·高二單元測(cè)試）設(shè)，均為正實(shí)數(shù)，若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例68．（2023·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則t的值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)經(jīng)典題型六：圓中范圍與最值問(wèn)題例69．（多選題）（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)、滿足條件，則下列判斷正確的是（

）A．的范圍是 B．的范圍是C．的最大值為1 D．的范圍是例70．（2023·河南三門(mén)峽·高二統(tǒng)考期末）過(guò)作圓與圓的切線，切點(diǎn)分別為，，若，則的最小值為．例71．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）圓上點(diǎn)到直線距離的最小值是．例72．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知點(diǎn)與圓，P是圓C上任意一點(diǎn)，則的最小值是．例73．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，那么的最小值為.例74．（2023·上海浦東新·高二?？计谀┕畔ＥD著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足，則的最小值為.例75．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)、為正數(shù)，若直線被圓截得弦長(zhǎng)為，則的最小值為.例76．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最小值為.例77．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．例78．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的最小值為.例79．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與圓有公共點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，則的最小值是．例80．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則（1）的最大值和最小值分別為和；（2）y－x的最大值和最小值分別為和；（3）的最大值和最小值分別為和．例81．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谥校┮阎本€與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最大值為.例82．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：，為圓上任一點(diǎn)，則的最大值為.例83．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是．經(jīng)典題型七：面積問(wèn)題例84．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍．例85．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）以原點(diǎn)O為圓心作單位圓O，直線l與直線平行，且過(guò)點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線與圓O相切于點(diǎn)B，則面積的最小值為．例86．（2023·全國(guó)·高二期中）曲線圍成的圖形的面積是.例87．（2023·廣東揭陽(yáng)·高二?？计谥校┮阎本€與圓交于兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓，該圓的面積的取值范圍為.例88．（2023·安徽蕪湖·高二安徽省無(wú)為襄安中學(xué)?？计谥校┰谥?，為的角平分線，D在上，且，則面積的最大值為．例89．（2023·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）已知圓：，圓：，過(guò)圓上的任意一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則四邊形面積的最大值為.例90．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，．例91．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓的方程為，設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，求四邊形ABCD的面積．例92．（2023·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省阜南實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知圓方程：，圓相交點(diǎn)A、B．(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程.(2)求的面積.例93．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，，是圓的兩條切線，，是切點(diǎn)．求四邊形面積的最小值.例94．（2023·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)．求：(1)直線的方程；(2)的面積．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類(lèi)討論思想例95．圓M：與兩個(gè)坐標(biāo)軸共有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A．1或2 B．1或4 C．0或4 D．0或1例96．過(guò)點(diǎn)作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（

）A． B．C．或