第3章 圓錐曲線與方程綜合能力測(cè)試（解析版）

第3章圓錐曲線與方程綜合能力測(cè)試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，而點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7，所以到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：A2．焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線開(kāi)口向左，焦點(diǎn)在軸上，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：D3．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值.故選：D.4．已知，橢圓：和：的離心率分別為，，則（

）A． B．C． D．，的大小關(guān)系不確定【答案】A【解析】由題可知，，，則，故.故選：A5．已知直線：與橢圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得，消去得①，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以方程①有實(shí)數(shù)根，則，得.故選：B．6．已知雙曲線E：，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線E的漸近線的距離為，過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，雙曲線E：其中一條漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)橹本€過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為，所以直線方程為，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立消，得，由韋達(dá)定理得，，所以弦長(zhǎng).故選：A7．某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為，設(shè)地球半徑為，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，不妨以橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則橢圓方程為，則，且,解得，，故該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為，故選：A8．已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值為（

）A．12， B．，C．12，8 D．9，【答案】C【解析】令橢圓的左焦點(diǎn)為，有，由橢圓定義知，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，所以的最大值和最小值為12，8.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，，是的左、右焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的離心率為C． D．的漸近線方程為【答案】AB【解析】在中，，，，，A正確；的離心率，B正確；由雙曲線的定義或，C錯(cuò)誤；的漸近線方程為，即，D錯(cuò)誤.故選：AB．10．已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則是兩條直線B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是橢圓D．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上【答案】AD【解析】對(duì)于A：若，，則曲線：，即，表示兩條平行于軸的直線，故A正確；對(duì)于B：若，方程化為，則是圓，其半徑為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)滿足，但是曲線：表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則可化為，因?yàn)椋?，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故D正確；故選：AD11．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F.點(diǎn)M是拋物線上異于O的一動(dòng)點(diǎn)，直線OM交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N，下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則O為線段MN的中點(diǎn)C．若，則D．若，則【答案】ABD【解析】由拋物線，可得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，對(duì)于A中，設(shè)，若，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，可得，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由，則，不妨設(shè)，則直線的方程為，令，可得，即，所以為線段的中點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)，若，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，則，可得，所以C不正確；對(duì)于D中，由，可得，不妨設(shè)，則直線的方程為，令，可得，即，則，所以，所以D正確.故選：ABD.12．我們通常稱(chēng)離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓C：，，，，為頂點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，下列條件能使橢圓C為“黃金橢圓”的有（

）

A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為 B．C．軸，且 D．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，【答案】BD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為，可知此時(shí)，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，此時(shí)，即，符合定義，即B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若軸，且，易得，且，則，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，，則O到直線的距離為，此時(shí)，解之得，又，符合定義，即D正確.故選：BD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若橢圓的焦距為4，則的值為．【答案】【解析】橢圓即，焦點(diǎn)在軸上，所以，所以，又橢圓的焦距為4，所以，解得．故答案為：14．已知?jiǎng)訄A與圓，圓中的一個(gè)外切?一個(gè)內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程為【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，由圓，可得圓心，半徑，圓，可得圓心，半徑．根據(jù)題意，可得或，所以或，可得又因?yàn)?，可得，根?jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，所以，則，所以所求曲線的軌跡方程為.故答案為：.15．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，因?yàn)?，兩式作差得，即，即，所以，，因此，直線的方程為，即.故答案為：.16．已知直線是拋物線的準(zhǔn)線，拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，若為上一點(diǎn)，與的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，在中，，則的值為．【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，所以，，因?yàn)樵谥?，，所以由正弦定理可得?因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以可設(shè)為由此可得，平方化簡(jiǎn)可得：，即，可得,.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線l：與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．(1)求線段AB的長(zhǎng)；(2)求的面積．【解析】（1）聯(lián)立，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，；（2）由，點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.18．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.【解析】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則，兩式相減得，即.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故直線的斜率為2.19．（12分）如圖，發(fā)電廠的冷卻塔被設(shè)計(jì)成單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀（雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面），可以加強(qiáng)對(duì)流，自然通風(fēng)．已知某個(gè)冷卻塔的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求此雙曲線的方程．

【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)?，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為25，13，所以設(shè)（），所以，解得，因?yàn)楦邽?5米，所以，即，得，所以所求雙曲線方程為.20．（12分）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線C的方程；(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l否會(huì)過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，而是該拋物線的焦點(diǎn)，又，因此，解得，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，則有，即，因此，則，解得，滿足，直線過(guò)定點(diǎn)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).21．（12分）已知橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)，的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)對(duì)于，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，的直線傾斜角為，所以，即，過(guò)點(diǎn)，的直線方程為，故原點(diǎn)到該直線的距離為，解得，故，所以橢圓的方程是．（2）記，．將代入得，，則，解得或，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，則，．由，得，∴，∴，得或，由于或，故，均使方程沒(méi)有兩相異實(shí)根，∴滿足條件的k不存在．22．（12分）已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過(guò)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交于，證明：