第02講 7.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義（解析版）

第02講7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系。②掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念。③.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法。1..理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系；2.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念；3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法；知識點(diǎn)01：復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面①軸——實(shí)軸②軸——虛軸③實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)知識點(diǎn)02：復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)平面向量知識點(diǎn)03：復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù))的模，記為或公式：，其中復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；特別的，時(shí)，復(fù)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于(的絕對值).【即學(xué)即練1】（2024上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】.故選：A知識點(diǎn)04：共軛復(fù)數(shù)（1）定義一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).（2）表示方法表示方法：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果，則.【即學(xué)即練2】（2023上·上海浦東新·高三?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則.【答案】/【詳解】.故答案為:.題型01復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示【典例1】（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)，其中，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】因?yàn)?，?shí)部為，虛部為，因?yàn)?，所以，，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D【典例2】（2023下·新疆哈密·高一?？计谀┧倪呅蜛BCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，，則點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．【答案】/【詳解】依題意，因?yàn)槿c(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，，所以，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以，設(shè)，則，故，解得，所以，則點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為:.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上給定四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，其中四個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，，則．【答案】或或【詳解】因?yàn)?，?又因?yàn)榭梢詷?gòu)成一個(gè)平行四邊形,分情況可得當(dāng)為平行四邊形,則;當(dāng)為平行四邊形,則,即當(dāng)為平行四邊形,則,即故答案為:或或【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)作出表示下列復(fù)數(shù)的點(diǎn)：(1)；(2)；(3)；(4)5．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【詳解】（1）解：如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為.（2）解：如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為.（3）解：如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為（4）解：如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為

題型02在各象限內(nèi)點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)的特征【典例1】（2023下·遼寧大連·高一大連八中校考期中）復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則，因此，角是第二象限角.故選：B.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則m的取值范圍為．【答案】【詳解】由已知可得，.根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.【典例3】（2023下·安徽宿州·高一統(tǒng)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第象限.【答案】三【詳解】由復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)為：，所以對應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故答案為：三.【變式1】（2023下·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可得.故選：C【變式2】（2021·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】∵，∴，，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D.【變式3】（2022上·北京·高二北京二中校考階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)且，z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限，則z的虛部為.【答案】【詳解】，，解得，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限，，.故答案為：.題型03實(shí)軸，虛軸上點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)【典例1】（2023下·高一單元測試）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則實(shí)數(shù)的取值集合為.【答案】【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，所以，解得或.故答案為：.【典例2】（2022上·廣東東莞·高二東莞市東華高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為Z，(1)求點(diǎn)Z在實(shí)軸上時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值；(2)求點(diǎn)Z在虛軸上時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值；(3)求點(diǎn)Z在第一象限時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)或；(2)或；(3)或.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)Z在實(shí)軸上，所以虛部，解得或.（2）點(diǎn)Z在虛軸上時(shí),復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，所以，解得或.（3）點(diǎn)Z在第一象限，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都大于0，即，解得或.【典例3】（2022下·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？计谥校?，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn).(1)點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍；(2)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以，即，解得，即的取值范圍為（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)【變式1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件．【答案】a＝0或2【詳解】∵復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，∴，解得或.【變式2】（2023下·陜西榆林·高一?？计谥校┣髮?shí)數(shù)m的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)分別滿足：(1)z是實(shí)數(shù)；(2)z是純虛數(shù)；(3)z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，所以，所以；（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，所以；（3）復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)樵擖c(diǎn)位于第三象限，所以，所以.【變式3】（2023下·天津河北·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)，.(1)若是實(shí)數(shù)，求的值；(2)若是純虛數(shù)，求的值；(3)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍.【答案】(1)或；(2)；(3)【詳解】（1）解：，且是實(shí)數(shù)，，解得或；（2）解：是純虛數(shù)，，解得；（3）解：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，，解得.題型04求復(fù)數(shù)的?！镜淅?】（2023·全國·模擬預(yù)測）若，z為純虛數(shù)，且，則（

）A． B．5 C． D．3【答案】A【詳解】因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以設(shè)，由得，所以，解得，所以，則，故選：A．【典例2】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?故選：B【典例3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)z的模的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，解得，，因?yàn)?，所以，則，所以復(fù)數(shù)z的模的取值范圍是.故選：A.【變式1】（2023上·安徽·高三安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，其中a，，是虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【詳解】若，即，得，解得，所以．故選：B【變式2】（2023下·高一單元測試）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】復(fù)數(shù)，則，故選：B【變式3】（多選）（2022上·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，，則下列正確的為（

）A．若z是實(shí)數(shù)，則 B．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)位于一條拋物線上C． D．若，則【答案】BC【詳解】選項(xiàng)A：由復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)可知，解之得.選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程，即點(diǎn)位于拋物線上.判斷正確；選項(xiàng)C：由，可得.判斷正確；選項(xiàng)D：即可得，解之得.選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤.故選：BC題型05根據(jù)復(fù)數(shù)的模求參數(shù)【典例1】（2023下·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)為純虛數(shù)（，是虛數(shù)單位），且，則（

）A．且 B．且 C．或 D．或【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，即，故，由，則或．故選：D．【典例2】（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┰O(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）且，若，則．【答案】【詳解】由題設(shè)，則，所以，又，則，，所以，則.故答案為：【典例3】（2021·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【詳解】由題意，，可得，整理得，所以，所以，故選：D．【典例4】（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，且，若向量，則向量的取值范圍為【答案】【詳解】不妨設(shè)，，因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛數(shù)根，所以也是的一個(gè)虛數(shù)根，從而

①，又因?yàn)闊o實(shí)根，所以

②，由①②可得，，因?yàn)?，所以，由一元二次函?shù)性質(zhì)易知，當(dāng)時(shí)，有最小值5；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，即，故向量的取值范圍為：.故答案為：.【變式1】（2023下·北京海淀·高一清華附中校考期末）已知復(fù)數(shù)的模為5，則.【答案】【詳解】由題意，可得，且，解得.故答案為：.【變式2】（2022下·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，若對任意實(shí)數(shù)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由，得，由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面上的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，而點(diǎn)在單位圓上，要使恒成立，則點(diǎn)必在圓上或其內(nèi)部，故，解得.故選：D.【變式3】（2023下·福建·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，且，則復(fù)數(shù)的虛部為．【答案】【詳解】由復(fù)數(shù)的實(shí)部為，可設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)?，可得，可得，解?故答案為：.【變式4】（2023下·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為A.(1)若點(diǎn)A在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求的最小值及此時(shí)實(shí)數(shù)m的值.【答案】(1)或(2)的最小值為，【詳解】（1）由，解得或.（2），令，∵，∴，則，所以當(dāng)，即時(shí)，有最小值.題型06判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限【典例1】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.【典例2】（2022下·高一校考單元測試）歐拉公式（i為虛數(shù)單位）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．當(dāng)時(shí)，.根據(jù)歐拉公式可知，對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】解析：因?yàn)?，所以，所以，故對?yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中位于第三象限．故選：C.【典例3】（多選）（2023·高一單元測試）設(shè)，復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ABD【詳解】由題意得：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為；令，①當(dāng)，即時(shí)，若，則，位于第一象限；若，則，在第二象限；②當(dāng)，即時(shí)，，位于第四象限；綜上所述：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)可能在第一、第二和第四象限.故選：ABD.【變式1】（2023上·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)的點(diǎn)為，所以在復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限.故選：D.【變式2】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】根據(jù)題意可知，復(fù)數(shù)的實(shí)部，虛部.當(dāng)時(shí)，，，故點(diǎn)可能在一、四象限；當(dāng)時(shí)，，，故點(diǎn)在第三象限.綜上，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第二象限.故選：B.題型07根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫出復(fù)數(shù)【典例1】（2023下·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，若，i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，所以對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故.故選：B.【典例2】（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，一個(gè)正方形的3個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋2i，－2＋i，0，則第4個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．【答案】B【詳解】復(fù)數(shù)1＋2i，－2＋i，0所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），由題意可知，正方形以為鄰邊，設(shè)另一點(diǎn)為D（x，y），所以則，解得，∴.故選：B．【典例3】（2022下·陜西西安·高二統(tǒng)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,-i,2+i,則點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為【答案】3+5i【詳解】試題分析：三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，設(shè)，則：，在平行四邊形中，有，即，，即對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：.故答案應(yīng)填：．【變式1】（2022上·廣西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，則復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：A【變式2】（2022下·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，.若為靠近點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)，點(diǎn)，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，，，則，，為靠近點(diǎn)的線段的三等分點(diǎn)，，，解得，，對應(yīng)復(fù)數(shù)為．故選：A．【變式3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)是一個(gè)正方形的3個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第4個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上分別對應(yīng)點(diǎn)設(shè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)是,則其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為,則,又故這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是題型08根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)【典例1】（2022下·廣東清遠(yuǎn)·高一校聯(lián)考期中）已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，則m的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)位于第三象限內(nèi)，則滿足,得,所以,故答案為：【典例2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，當(dāng)θ為何值時(shí)，(1)；(2)對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于x軸對稱；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，即，則，所以；（2）解：因?yàn)閷?yīng)點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以，即，則，所以；（3）解：由，得，即，所以，所以，所以.【變式1】（2022下·陜西延安·高二子長市中學(xué)?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)，，是虛數(shù)單位．(1)若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍．【答案】(1)0(2)【詳解】（1）∵復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，∴解得，∴的值為0．（2）∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴解得，故的取值范圍為．【變式2】（2022下·廣西柳州·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)(1)若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)2；(2).【詳解】（1）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則有，解得，所以實(shí)數(shù)m的值是2.（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)在第四象限，于是得，解得：，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.題型09共軛復(fù)數(shù)【典例1】（2023下·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第（

）A．一象限 B．二象限C．三象限 D．四象限【答案】A【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.【典例2】（多選）（2022下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的為（

）A． B． C．的虛部為 D．在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第二象限【答案】AB【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；，故B正確；的虛部是-3，故C錯(cuò)誤；在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)是，在第四象限，故D錯(cuò)誤.故選：AB【變式1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】解：，=，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為在第二象限故選：B【變式2】（2022下·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，那么的虛部是.【答案】-4【詳解】,,的虛部是.故答案為：題型10復(fù)數(shù)與三角函數(shù)、集合的綜合問題【典例1】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考期末）棣莫弗定理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)的，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：．根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】由題意得，因?yàn)?，，，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D【典例2】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，.(1)若點(diǎn)A位于第四象限，求m的取值范圍；(2)若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(3)若，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意對應(yīng)點(diǎn)A位于第四象限，故，解得，即m的取值范圍.（2）點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，（3），，即，由，可知，故的取值范圍為.【變式1】（2023下·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）在復(fù)平面上，設(shè)點(diǎn)、對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、，當(dāng)由連續(xù)變到時(shí)，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，點(diǎn)在單位圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是的面積與弓形的面積之和.由于，關(guān)于實(shí)軸對稱，所以的面積等于的面積(因?yàn)檫@兩個(gè)三角形同底且等高)，故向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形的面積，因?yàn)?，所以扇形的面積為等于.故選：B.

【變式2】（2023下·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，表示實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，表示純虛數(shù).求的值.(2)復(fù)數(shù)的長度記作，求的最大值.【答案】(1)(2)3【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，表示實(shí)數(shù)，所以，所以.

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)表示純虛數(shù)，所以，且所以.

從而.（2）因?yàn)?

當(dāng)時(shí)，，則取得最大值，此時(shí)的最大值為.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·廣東·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】因?yàn)椋詫?yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以位于第二象限，故選：B2．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【詳解】由題意知，，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，又該點(diǎn)在實(shí)軸上，所以，解得，所以，則.故選：D.3．（2023下·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)?？计谥校┤魪?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．D．【答案】C【詳解】由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,所以，故選：C4．（2022下·浙江寧波·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）已知（虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，故其虛部為3.故選：C5．（2023上·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）復(fù)平面上，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，平行于虛軸的非零向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)一定是（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．實(shí)部不為零的虛數(shù) D．純虛數(shù)【答案】D【詳解】由題意可設(shè)，所以對應(yīng)復(fù)數(shù)為，此復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故選：D.6．（2023上·北京·高三?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以，因此，故選：B7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】將整理化簡可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)位于第四象限可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A8．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）在復(fù)平面內(nèi)，是原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，由題意可知，與軸夾角為，繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后到達(dá)軸上點(diǎn)，又，所以的坐標(biāo)為，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：A.二、多選題9．（2023下·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的虛部為2 D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限【答案】ACD【詳解】對于A，，A正確；對于B，虛數(shù)可以相等，但不能用大于小于聯(lián)系，B錯(cuò)誤；對于C，的虛部為2，C正確；對于D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限，D正確．故選：ACD.10．（2023下·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若為實(shí)數(shù)，則B．若為純虛數(shù)，則或C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限D(zhuǎn)．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限【答案】A