新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)創(chuàng)新題型專題05 向量專題（數(shù)學(xué)文化）（原卷版）

專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀．理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程．已知圖①中正三角形的邊長(zhǎng)為6，則圖③中SKIPIF1<0的值為（

）A．24 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.下列關(guān)系中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉于SKIPIF1<0年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0分別為任意SKIPIF1<0的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2021秋·山東威?！じ呷y(tǒng)考期中）向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用．平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢(shì)，已知對(duì)任意平面向量SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0角得到向量SKIPIF1<0，叫做把點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0角得到點(diǎn)SKIPIF1<0，已知平面內(nèi)點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0后得到點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）我校八角形?；沼蓛蓚€(gè)正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南開人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開?；铡钡亩噙呅沃?，已知其由一個(gè)正方形與以該正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0后的正方形組合而成，已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022春·黑龍江黑河·高一嫩江市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面圖1是某晶體的陰陽(yáng)離子單層排列的平面示意圖．其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為SKIPIF1<0，且相鄰的圓都相切，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是其中四個(gè)圓的圓心，則SKIPIF1<0（

）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes1596～1650）創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來(lái)確定這個(gè)點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來(lái)描述空間上的點(diǎn)，因此直角坐標(biāo)系又被稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問(wèn)題歸結(jié)成代數(shù)形式的問(wèn)題，大大降低了問(wèn)題的難度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）.A．3 B．6 C．9 D．128．（2021春·福建福州·高一?？茧A段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0滿足“勾3股4弦5”，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．19．（2022春·北京·高一北京市第二十五中學(xué)?？计谥校?jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國(guó)西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有SKIPIF1<0滿足“勾3股4弦5”，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，則SKIPIF1<0=（

）A．3 B．4 C．9 D．不能確定10．（2022·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割〔SKIPIF1<0〕是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取SKIPIF1<0，就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取SKIPIF1<0一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的SKIPIF1<0處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂(lè)器的琴馬放在琴弦的SKIPIF1<0處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形SKIPIF1<0的長(zhǎng)寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長(zhǎng)邊為短邊SKIPIF1<0倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來(lái)美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很好的例子，達(dá)SKIPIF1<0芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比，黃金分割比為SKIPIF1<0其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國(guó)也有記載，雖沒(méi)有古希臘的早，但它是我國(guó)數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022秋·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國(guó)人所崇拜的圖騰．如圖，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的一條直徑，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的任意兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡(jiǎn)易側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點(diǎn)O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．28m B．20m C．31m D．22m13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2022春·江蘇南京·高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年第十屆中國(guó)花卉博覽會(huì)興辦在即，其中，以“蝶戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來(lái)生活中的賞心悅目，也展示了極致的數(shù)學(xué)美學(xué)世界．?dāng)?shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到SKIPIF1<0所形成的角記為SKIPIF1<0．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0隨著SKIPIF1<0的變化，就得到了SKIPIF1<0的軌跡，其形似“蝴蝶”．則以下4幅圖中，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（

）A． B． C． D．15．（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史?久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國(guó)內(nèi)外人士所喜愛．如圖甲是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖．已知正八邊形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正八邊形SKIPIF1<0邊上任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國(guó)建筑中有一定影響．如圖是受“八卦”的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若SKIPIF1<0是正八邊形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0能構(gòu)成一組基底 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022春·廣東揭陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且SKIPIF1<0，弦AC、BD均過(guò)點(diǎn)P，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．SKIPIF1<0為定值 B．SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0為定值 D．SKIPIF1<0的最大值為1218．（2021春·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個(gè)陰陽(yáng)魚，陽(yáng)魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有個(gè)陽(yáng)眼，表示萬(wàn)物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八邊形SKIPIF1<0）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0.則下述四個(gè)結(jié)論，正確結(jié)論是（

）A．以直線SKIPIF1<0為終邊的角的集合可以表示為SKIPIF1<0B．在以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心、SKIPIF1<0為半徑的圓中，弦SKIPIF1<0所對(duì)的弧長(zhǎng)為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<019．（2022·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的有（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<020．（2020春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在SKIPIF1<0年提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的外心?重心?垂心，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是銳角SKIPIF1<0內(nèi)的點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三個(gè)內(nèi)角，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空題22．（2020秋·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）早在兩千多年前，我國(guó)首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，就提出了宛田(扇形面積)的計(jì)算方法:“以徑乘周，四而一.”(直徑與弧長(zhǎng)乘積的四分之一).已知扇形SKIPIF1<0的弧長(zhǎng)為SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0等于__________．23．（2022秋·四川內(nèi)江·高三四川省隆昌市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖.已知正八邊形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正八邊形SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為___________.24．（2022秋·全國(guó)·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且SKIPIF1<0，點(diǎn)M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)P是SKIPIF1<0內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為__________.25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖（1）是八卦模型圖，將共簡(jiǎn)化成圖（2）的正八邊形SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______________．26．（2022春·福建泉州·高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知SKIPIF1<0的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列各式正確的有______．①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<027．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸正方向同向的單位向量，若向量SKIPIF1<0