新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)創(chuàng)新題型專題10 解析幾何專題（新定義）（原卷版）

專題10解析幾何專題（新定義）一、單選題1．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中（O為坐標(biāo)原點），把到定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0距離之積等于SKIPIF1<0的點的軌跡稱為雙紐線，記為Γ，已知SKIPIF1<0為雙紐線Γ上任意一點，有下列命題：①雙紐線Γ的方程為SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0面積最大值為SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．其中所有正確命題的序號是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④2．（2023春·四川達(dá)州·高二四川省宣漢中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義：橢圓SKIPIF1<0中長度為整數(shù)的焦點弦(過焦點的弦)為“好弦”．則橢圓SKIPIF1<0中所有“好弦”的長度之和為（

）A．162 B．166 C．312 D．3643．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的許多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對兩點SKIPIF1<0，定義兩點間“距離”為SKIPIF1<0，則平面內(nèi)與SKIPIF1<0軸上兩個不同的定點SKIPIF1<0的“距離”之和等于定值（大于SKIPIF1<0）的點的軌跡可以是（

）A． B．C． D．4．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日圓方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點.離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為蒙日圓上一個動點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若SKIPIF1<0面積的最大值為36，則橢圓SKIPIF1<0的長軸長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2023·全國·高三專題練習(xí)）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓的半徑為（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2021秋·四川成都·高二樹德中學(xué)校考階段練習(xí)）若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2021春·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谀┤羟€SKIPIF1<0上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2021·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，定義SKIPIF1<0稱為點SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”，其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，對于下列結(jié)論：（1）“SKIPIF1<0和”為1的點SKIPIF1<0的軌跡圍成的圖形面積為2；（2）設(shè)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上任意一點，則點SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”的最小值為2；（3）設(shè)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上任意一點，則使得“SKIPIF1<0和”最小的點有無數(shù)個”的充要條件是SKIPIF1<0；（4）設(shè)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上任意一點，則“SKIPIF1<0和”的最大值為SKIPIF1<0.其中正確的結(jié)論序號為（

）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）9．（2022秋·四川成都·高二成都外國語學(xué)校校考期中）若橢圓或雙曲線上存在點SKIPIF1<0，使得點SKIPIF1<0到兩個焦點SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，且存在SKIPIF1<0，則稱此橢圓或雙曲線存在“SKIPIF1<0點”，下列曲線中存在“SKIPIF1<0點”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在橢圓上，且滿足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點），則稱點SKIPIF1<0為“★”點.下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓SKIPIF1<0上的所有點都是“★”點B．橢圓SKIPIF1<0上僅有有限個點是“★”點C．橢圓SKIPIF1<0上的所有點都不是“★”點D．橢圓SKIPIF1<0上有無窮多個點（但不是所有的點）是“★”點11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中學(xué)?？计谥校┮阎獌啥cSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直線上存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則該直線為“SKIPIF1<0型直線”，給出下列直線，其中是“SKIPIF1<0型直線”的是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．①③ B．①② C．③④ D．①④12．（2017春·吉林·高一統(tǒng)考期末）已知平面上一點M(5,0)，若直線上存在點P使|PM|≤4，則稱該直線為“切割型直線”,下列直線中是“切割型直線”的是(

)①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0.A．①③ B．①② C．②③ D．③④二、多選題13．（2022秋·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo.設(shè)計師的靈感來源于曲線C：SKIPIF1<0.其中星形線E：SKIPIF1<0常用于超輕材料的設(shè)計.則下列關(guān)于星形線說法正確的是（

）A．E關(guān)于y軸對稱B．E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過SKIPIF1<0C．E上的點到原點距離的最小值為SKIPIF1<0D．曲線E所圍成圖形的面積小于214．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若對于任意的SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則稱曲線C為Σ曲線.下列方程所表示的曲線中，是Σ曲線的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2021秋·河北保定·高二順平縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，若曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為10，則稱曲線SKIPIF1<0為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．（2021秋·遼寧·高二遼寧實驗中學(xué)?？计谥校╇p紐線也稱伯努利雙紐線，是指定線段SKIPIF1<0長度為SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的軌跡稱為雙紐線.已知曲線SKIPIF1<0為雙紐線，下列選項判斷正確的是（

）A．曲線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0B．曲線SKIPIF1<0上的點的縱坐標(biāo)的取值范圍是SKIPIF1<0C．曲線SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱D．SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<017．（2021秋·江蘇南通·高二江蘇省包場高級中學(xué)?？计谥校S金分割比例SKIPIF1<0具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性，和諧性，蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)價值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例．我們把離心率SKIPIF1<0的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（

）A．橢圓SKIPIF1<0是“黃金橢圓”B．若橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”C．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左焦點為F，上頂點為B，右頂點為A，若SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”D．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”三、填空題18．（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為卵圓上任意一點，則下列說法中正確的是________.①卵圓SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱②卵圓上不存在兩點關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱③線段SKIPIF1<0長度的取值范圍是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<019．（2023·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在曲線C上存在一點P，使得∠APB為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點”，下列曲線中，有“鈍點”的曲線為______．（填序號）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．20．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）法國數(shù)學(xué)家蒙日SKIPIF1<0發(fā)現(xiàn)：雙曲線SKIPIF1<0的兩條互相垂直切線的交點SKIPIF1<0的軌跡方程為：SKIPIF1<0，這個圓被稱為蒙日圓.若某雙曲線SKIPIF1<0對應(yīng)的蒙日圓方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一條拋物線把平面劃分為二個區(qū)域，如果一個平面圖形完全落在拋物線含有焦點的區(qū)域內(nèi)，我們就稱此平面圖形被該拋物線覆蓋.那么下列命題中，正確的是___________.(填寫序號)（1）任意一個多邊形所圍區(qū)域總能被某一條拋物線覆蓋；（2）與拋物線對稱軸不平行?不共線的射線不能被該拋物線覆蓋；（3）射線繞其端點轉(zhuǎn)動一個銳角所掃過的角形區(qū)域可以被某二條拋物線覆蓋；（4）任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個平面.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義：點SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0外的一點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的兩個動點，則SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0叫點SKIPIF1<0對曲線SKIPIF1<0的張角.已知點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動點，設(shè)SKIPIF1<0對圓SKIPIF1<0的張角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.23．（2022·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M不與原點О重合，稱射線OM與SKIPIF1<0的交點N為點M的“中心投影點”，曲線SKIPIF1<0上所有點的“中心投影點”構(gòu)成的曲線長度是_______24．（2020·浙江·高二期末）把橢圓SKIPIF1<0的短軸和焦點連線段中較長者?較短者分別作為橢圓SKIPIF1<0的長軸?短軸，使橢圓SKIPIF1<0變換成橢圓SKIPIF1<0，稱之為橢圓的一次“壓縮”.按上述定義把橢圓SKIPIF1<0“壓縮”成橢圓SKIPIF1<0，得到一系列橢圓SKIPIF1<0，…當(dāng)短軸長與焦距相等時終止“壓縮”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，某個橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0次“壓縮”后能終止，則橢圓SKIPIF1<0的離心率可能是①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0中的______.（填寫所有正確結(jié)論的序號）25．（2018·北京·高二統(tǒng)考期末）已知兩定點SKIPIF1<0,若直線上存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,則該直線為“SKIPIF1<0型直線”.給出下列直線,其中是“SKIPIF1<0型直線”的是___________.①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<026．（2017·河南漯河·漯河高中?？既＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若曲線SKIPIF1<0上存在一點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則稱曲線SKIPIF1<0為“合作曲線”，有下列曲線①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，其中“合作曲線”是__________．（填寫所有滿足條件的序號）27．（2016·河北衡水·統(tǒng)考一模）如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的縱軸繞原點SKIPIF1<0順時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0后，構(gòu)成一個斜坐標(biāo)平面SKIPIF1<0.在此斜坐標(biāo)平面SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0的坐標(biāo)定義如下：過點SKIPIF1<0作兩坐標(biāo)軸的平分線，分別交兩軸于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上表示的數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上表示的數(shù)為SKIPIF1<0.那么以原點SKIPIF1<0為圓心的單位圓在此斜坐標(biāo)系下的方程為___________.28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）稱離心率為SKIPIF1<0的雙曲線SKIPIF1<0為黃金雙曲線.如圖是雙曲線SKIPIF1<0的圖象，給出以下幾個說法：①雙曲線SKIPIF1<0是黃金雙曲線；②若SKIPIF1<0，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若F1，F(xiàn)2為左右焦點，A1，A2為左右頂點，B1(0,b)，B2(0,-b)且∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若MN經(jīng)過右焦點F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線.其中正確命題的序號為____________四、解答題29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）焦距為2c的橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求SKIPIF1<0的值；(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關(guān)于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．30．（2022·高二課時練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓短軸的上端點，SKIPIF1<0為橢圓上異于SKIPIF1<0點的任一點，若SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0點距離的最大值僅在SKIPIF1<0點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”.（1）若SKIPIF1<0，判斷橢圓SKIPIF1<0是否為“圓橢圓”；（2）若橢圓SKIPIF1<0是“圓橢圓”，求SKIPIF1<0的取值范圍.31．（2021·四川·四川省綿陽南山中學(xué)校考模擬預(yù)測）定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個端點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．若兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將“特征三角形”的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是“相似橢圓”，已知橢圓SKIPIF1<0的短半軸長為SKIPIF1<0．（1）寫出橢圓SKIPIF1<0的方程（用SKIPIF1<0表示）；（2）若橢圓SKIPIF1<0的焦點在SKIPIF1<0軸上，且SKIPIF1<0上存在兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．32．（2020春·上海青浦·高三校考開學(xué)考試）我們稱點P到圖形C上任意一點距離的最小值為點P到圖形C的距離，記作SKIPIF1<0.（1）求點SKIPIF1<0到拋物線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0是長為2的線段，求點集SKIPIF1<0所表示圖形的面積.33．（2020秋·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.若三角形SKIPIF1<0的三個頂點都在拋物線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則稱該三角形為“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”