考點23 銳角三角函數(shù)（精講）-2024年中考數(shù)學一輪復習之核心考點精講精練 （原卷版）

考點26.銳角三角函數(shù)（精講）【命題趨勢】銳角三角函數(shù)及其應用是數(shù)學中考中比較重要的考點,主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)，尤其是應用主要在綜合題中考查，是考查重點，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型，分值為12分左右。預計2024年各地中考還將以選填題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵?！局R清單】1：銳角三角函數(shù)（☆☆）1）銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2）正弦、余弦、正切的概念：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．3）特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°【補充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應的銳角.4）銳角三角函數(shù)的性質(zhì)當0°＜∠A＜90°時，sinA隨∠A的增大而增大；cosA隨∠A的增大而減??；tanA隨∠A的增大而增大。2：解直角三角形（☆☆）1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．2）在解直角三角形的過程中，常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．3：解直角三角形的應用（☆☆☆）1）解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語：（1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角。仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角。俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角。（2）方位角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．（3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．2）解直角三角形實際應用的一般步驟：（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準確；（4）得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．3）測量物體的高度（距離）的常見模型：（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：（已知條件：，求高m）這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。（2）測量底部可以到達的物體高度解題方法：1）已知測量儀高m，水平距離n，角α，求高h；2）已知水平距離n，角α，角β，求高h=h1+h2；這兩種模型種可結(jié)合水平距離和相應角度，用正切值解題。（3）測量底部不可到達的物體的高度注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素（至少有一條邊），可求出其余的三個未知元素（知二求三）；2）已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定?！疽族e點歸納】1.若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習慣省略角的符號“∠”，如tanA、sina、cosA；若銳角是用三個大寫英文字母或一個數(shù)字表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時，不能省略角的符號“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1。2.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的，而且由銳角三角函數(shù)的定義可知，其本質(zhì)特征是兩條線段長的比。因此,銳角三角函數(shù)只有數(shù)值，沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形的邊長無關(guān)。3.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形?！竞诵目键c】核心考點1.銳角三角函數(shù)例1：（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學真題）在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為．變式1．（2024·河北承德·九年級統(tǒng)考期末）在中，，若的三邊都擴大5倍，則的值（）A．放大5倍 B．縮小5倍 C．不能確定 D．不變變式2．（2023·廣東·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，則（

）

A． B．3 C． D．變式3.（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）在中，，已知，，那么下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．例2：（2023年山東省威海市中考數(shù)學真題）如圖，某商場有一自動扶梯，其傾斜角為，高為7米．用計算器求的長，下列按鍵順序正確的是（）

A．

B．

C．

D．

變式1.（2023年四川省南充市中考數(shù)學真題）如圖，小兵同學從處出發(fā)向正東方向走米到達處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米變式2．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，在中，，，，則．例3：（2023年廣東省深圳市中考數(shù)學真題）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：，）（

）

A．58J B．159J C．1025J D．1732J變式1.（2023·廣東潮州·統(tǒng)考一模）的值等于（）A． B． C．2 D．變式2．（2023·陜西西安·?？家荒＃┯嬎悖?1)，(2)．例4：（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形變式1．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）在中，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．變式2．（2023·廣東·?？级＃┰谥校?，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定例5：（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）若，則下列說法不正確的是（

）A．隨的增大而增大B．cos隨的減小而減小C．tan隨的增大而增大D．0<sin<1變式1．（2023·湖北恩施·?？寄M預測）已知銳角的正弦是一元二次方程的一個根，則．變式2．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知是銳角三角形，若，則（）A． B． C． D．變式3．（2023·上海·?？寄M預測）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．核心考點2.解直角三角形例6：（2023年江蘇省宿遷市中考數(shù)學真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則．

變式1．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）如圖，在的網(wǎng)格圖中，點A、B、C、D都在小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則的值是．

變式2．（2023·河北邯鄲·校考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點在網(wǎng)格線的交點上，則的值是（

）

A． B． C． D．變式3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預測）由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，，，三點都在格點上，則的正切值為（

）．

A． B． C． D．例7：（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學真題）第二十四屆國際數(shù)學家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（）和中間一個小正方形拼成的大正方形中，，連接．設(shè)，若正方形與正方形的面積之比為，則（

）

A．5 B．4 C．3 D．2變式1．（2023·陜西西安·?？寄M預測）國際數(shù)學大會是全世界數(shù)學家的大聚會．如圖是某次大會的會徽，選定的是我國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數(shù)學方面的成就，也弘揚了我國古代的數(shù)學文化．如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么的值等于．

變式2．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考模擬預測）如圖，用4個全等的直角三角形拼成正方形，并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中大正方形面積為，，則小正方形的面積為．

例8：（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學試題）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點，點在軸上，且點在點右方，連接，，若，則點的坐標為．

變式1．（2023·浙江·?？级＃┤鐖D，的半徑于點，連接并延長交于點，連接．若，，則為()

A． B． C． D．變式2．（2023·浙江杭州·?？级＃cE為正方形的邊上一點，連接，且與相交于點M．若，則．

變式3．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要方法，在計算時，如圖，在中，，，延長，使，連接，使得，所以，類比這種方法，計算．例9：（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)學九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．變式1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在Rt中，，，則．變式2．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：，，，，．據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角，，若，均有．(1)當，時，驗證是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示給予證明，其中所對的邊為，所對的邊為，斜邊為；若不成立，請舉出一個反例；(3)利用上面的證明方法，直接寫出與，之間的關(guān)系．變式3．（2023·湖南·?？家荒＃┩瑢W們，在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿足條件，求的值．核心考點3.解直角三角形的應用例10：（2023年山東省濟南市中考數(shù)學真題）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點到地面的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險?請說明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）變式1.（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當時，則點到桌面的最大高度是（

）

A． B． C． D．變式2．（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學真題）小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個端點固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，分別表示門框和門所在位置，M，N分別是上的定點，，的長度固定，的大小可變．

(1)圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，，，求的度數(shù)．(2)圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點F的位置如圖3所示，請在圖3中作出此時門的位置．（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)在門開合的過程中，的最大值為______．（參考數(shù)據(jù)：）例11：（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學真題）鄂州市蓮花山是國家級風景區(qū)，元明塔造型獨特，是蓮花山風景區(qū)的核心景點，深受全國各地旅游愛好者的青睞．今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶?；顒樱鐖D2，景區(qū)工作人員小明準備從元明塔的點G處掛一條大型豎直條幅到點E處，掛好后，小明進行實地測量，從元明塔底部F點沿水平方向步行30米到達自動扶梯底端A點，在A點用儀器測得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動扶梯到達扶梯頂端D點，測得點A和點D的水平距離為15米，且；然后他從D點又沿水平方向行走了45米到達C點，在C點測得條幅上端G的仰角為．（圖上各點均在同一個平面內(nèi)，且G，C，B共線，F(xiàn)，A，B共線，G、E、F共線，，）．

(1)求自動扶梯的長度；(2)求大型條幅的長度．（結(jié)果保留根號）變式1.（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學真題）如圖，從航拍無人機看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，無人機與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）

A． B． C． D．變式2．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學真題）如圖，某飛機于空中處探測到某地面目標在點處，此時飛行高度米，從飛機上看到點的俯角為飛機保持飛行高度不變，且與地面目標分別在兩條平行直線上同向運動．當飛機飛行米到達點時，地面目標此時運動到點處，從點看到點的仰角為，則地面目標運動的距離約為米．（參考數(shù)據(jù)：）

變式3．（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學真題）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號）

例12：（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學真題）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西方向往燈塔B行駛，沿線勘測石油資源，勘測發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號）

變式1.（2023年四川省眉山市中考數(shù)學真題）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．

變式2．（2023年海南省中考數(shù)學真題）如圖，一艘輪船在處測得燈塔位于的北偏東方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達處，測得燈塔位于的北偏東方向上，測得港口位于的北偏東方向上．已知港口在燈塔的正北方向上．(