湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試卷

湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)20172018學(xué)年度下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)（文科）試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.0B.3C.3D.22．對(duì)下列三種圖形，正確的表述為（）A.它們都是流程圖B.它們都是結(jié)構(gòu)圖C.（1）、（2）是流程圖，（3）是結(jié)構(gòu)圖D.（1）是流程圖，（2）、（3）是結(jié)構(gòu)圖3．已知函數(shù)f(x)＝，則＝()A.B.C.D.4.在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.4＋7iB.1＋3iC.4－4iD.－1＋6i5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問(wèn)題：“今有垣厚十尺，兩鼠對(duì)穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，則輸出結(jié)果n＝()A．4B．5C．2D．36．若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．97．已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排一列:，則第2017個(gè)整數(shù)對(duì)為（）A.B.C.D.8．已知，則下列三個(gè)數(shù)（）A.都大于6B.至少有一個(gè)不大于6C.都小于6D.至少有一個(gè)不小于69.在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時(shí)，其梯形的上底為()A.eq\f(r,2)B.eq\f(\r(3),2)rC.eq\f(\r(3),3)rD．r10．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線：在點(diǎn)處的切線方程為（）A.B.C.D.11．函數(shù)在的圖象大致為（）A.B.C.D.12．定義在上的減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)且僅當(dāng)B.當(dāng)且僅當(dāng)，C.對(duì)于D.對(duì)于,二、填空題：本大題4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上，答錯(cuò)位置，書(shū)寫(xiě)不清，均不得分.13．設(shè)集合，，若，則最大值是________14.根據(jù)下圖所示的流程圖，回答下面問(wèn)題：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，則輸出的數(shù)是________．15.已知球O的直徑長(zhǎng)為12，當(dāng)它的內(nèi)接正四棱錐的體積最大時(shí)，則該四棱錐的高為16．對(duì)于三次函數(shù)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心。給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算__________.三、解答題：共6題，共70分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．（本小題10分）已知復(fù)數(shù)z＝bi(b∈R)，eq\f(z－2,1＋i)是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)(m＋z)2所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18.(本小題12分)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，x應(yīng)取何值？(2)若廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，x應(yīng)取何值？19．（本小題12分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．20.（本小題12分）如圖所示，矩形ABCD中，AB＝3,BC＝4，沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；(2)求三棱錐A－BCD的體積．21．（本小題11分）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．22．（本小題13分）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)＋ax，x>1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a＝2，求函數(shù)f(x)的極小值；(3)若方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)20172018學(xué)年度下學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)（文科）參考答案一、選擇題：（本大題12小題，每小題5分，共60分）題號(hào)123456789101112答案ACACADCDDDCD二、填空題：（本大題4小題，每小題5分，共20分）13．14.50.615．8.16．2016三、解答題：（解答題共6題，共70分）17．（本題10分）解：(1)∵z＝bi(b∈R)，∴eq\f(z－2,1＋i)＝eq\f(bi－2,1＋i)＝＝=＋………3分∵eq\f(z－2,1＋i)是實(shí)數(shù)，∴eq\f(b＋2,2)＝0，∴b＝－2，即z＝－2i.……………………5分(2)∵z＝－2i，m∈R，∴(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，…………7分∵復(fù)數(shù)(m＋z)2所表示的點(diǎn)在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－4>0，,－4m>0.))解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．…………10分18.解(1)根據(jù)題意有S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2，（0<x<30）S′＝240－16x，令S′＝0，得x＝15.………………3分當(dāng)0<x<15時(shí)，S′>0，S（x）遞增；當(dāng)15<x<30時(shí)，S′<0，S（x）遞減．……5分所以x＝15cm時(shí)包裝盒側(cè)面積S(x)最大．……………6分(2)根據(jù)題意有V＝(eq\r(2)x)2·eq\f(\r(2),2)(60－2x)＝2eq\r(2)x2(30－x)，(0<x<30)V′＝6eq\r(2)x(20－x)，令V'=0，x=20……………9分當(dāng)0<x<20時(shí)，V′>0，V(x)遞增；當(dāng)20<x<30時(shí)，V′<0，V(x)遞減．……………11分所以x＝20cm時(shí)包裝盒容積V(x)最大．……………12分19．解：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))……………3分所以d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．………5分(2)證明：由(1)，得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).…………6分假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋eq\r(2)(2q－p－r)＝0.……………8分∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，,))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr∴(p－r)2＝0.……………10分∴p＝r，這與p≠r矛盾，∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．………12分20.(1)證明∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.……………1分又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.…………3分又CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.……………………5分(2)解由(1)知，CD⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴CD⊥AB.∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.………7分∴VA－BCD＝VB－ACD＝eq\f(1,3)·S△ACD·AB.……8分∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，……11分∴VA－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(7)×3×3＝eq\f(3\r(7),2)………12分21．解：(1)由題意得f'(x)＝x2－4x＋3，則f'(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．………4分(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))………………6分解得－1≤k＜0或k≥1，………………8分故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，……………9分得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．……11分22．解：(1)f'(x)＝eq\f(lnx－1,ln2x)＋a，由題意可得f'(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤eq\f(1,ln2x)－eq\f(1,lnx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,2)))2－eq\f(1,4).∵x∈(1，＋∞)，∴l(xiāng)nx∈(0，＋∞)，∴當(dāng)eq\f(1,lnx)－eq\f(1,2)＝0時(shí)，函數(shù)t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)的最小值為－eq\f(1,4)，∴a≤－eq\f(1,4)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4))).……4分(2)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝eq\f(x,lnx)＋2x，f'(x)＝eq\f(lnx－1＋2ln2x,ln2x)，………………5分令f'(x)＝0得2ln2x＋lnx－1＝0，解得lnx＝eq\f(1,2)或lnx＝－1(舍)，即x＝e.當(dāng)1<x<e時(shí)，f'(x)<0，f(x)在（1,e〕上單調(diào)遞減，當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)>0，f(x)在(e，+∞]上單調(diào)遞增…7分∴f(x)的極小值為f(e)＝eq\f(e,\f(1,2))＋2e＝4e.……………8分(3)將方程(2x－m)lnx＋x＝0