安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)等3校2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/22022～2023學(xué)年度第一學(xué)期高一期末考試數(shù)學(xué)試卷2023.1考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由得，所以，故選：D2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】若，則成立，逆命題不成立，可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，或，，所以“”是“”的不必要條件，即“”是“”充分不必要條件，故選：A.3.已知，則下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于，可以根據(jù)分式、根式、對(duì)數(shù)式、指數(shù)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性直接分析即可.【詳解】∵，∴，，，.只有B正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性并利用單調(diào)性比較大小，難度較易.4.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)解析式，列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得且，即函?shù)的定義域?yàn)?故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求具體函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題型.5.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可求得結(jié)果.【詳解】依題意.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及特殊角的正弦值，屬綜合簡(jiǎn)單題.6.設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，逐一計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，并分別判斷作答.【詳解】函數(shù)，對(duì)于A，，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)，A是；對(duì)于B，，其圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，不是奇函數(shù)，B不是；對(duì)于C，，其圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，不是奇函數(shù)，C不是；對(duì)于D，，其圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，不是奇函數(shù)，D不是.故選：A7.冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（）A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.無(wú)法判斷【答案】A【解析】【分析】由已知條件求出的值，則可得冪函數(shù)的解析式，再利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷即可【詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，可得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故．又，所以，所以，則．故選：A．8.德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割，如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是兩底角為的等腰三角形（另一種是兩底角為的等腰三角形）．例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金△ABC中，．根據(jù)這些信息，可得sin54°＝（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再借助倍角公式求出，通過(guò)誘導(dǎo)公式求出sin54°.【詳解】正五邊形的一個(gè)內(nèi)角為，則，，，所以．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.與角終邊相同的角是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】寫(xiě)出終邊相同角的集合，再判斷選項(xiàng).【詳解】與角終邊相同的角的集合是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：BD10.已知不等式的解集為，則以下選項(xiàng)正確的有（）A. B.C.的解集為 D.的解集為或【答案】AD【解析】【分析】依題意可以判斷，，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出，代入求解即可.【詳解】不等式的解集為根據(jù)一元二次不等式解法可知，且，故由上可知A正確，B錯(cuò)誤；由，可知：將，代入由可得：，解得：或故的解集為或，C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由圖象求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)及圖象變換判斷各選項(xiàng)．【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，所以，故A正確；利用五點(diǎn)法作圖，可得，可得，所以，令，求得，為最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；把的圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象，故D正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)（且）在定義域內(nèi)存在最大值，且最大值為，，若對(duì)任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B.0 C. D.3【答案】ABC【解析】【分析】先求出，得到時(shí)，再由題意得到，即可求出m的范圍，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得到正確答案.【詳解】定義域?yàn)?由題意知時(shí)，，即.此時(shí)，時(shí)，時(shí)，，由得.對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，可以選:ABC.故答案為：ABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若是鈍角，，則____________．【答案】##【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式求得，再由同角關(guān)系式求得．【詳解】，因?yàn)槭氢g角，所以，．故答案為：.14.已知半徑為3的扇形面積為，則這個(gè)扇形的圓心角為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由扇形的面積公式直接求解.【詳解】由扇形面積公式，可得圓心角，故答案為：.【點(diǎn)睛】(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷．(2)求扇形面積的最值應(yīng)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值.15.設(shè)二次函數(shù)（，）的值域是，則的最小值是____________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖象，由值域?yàn)?，求得，，再由基本不等式求解即?【詳解】當(dāng)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其值域?yàn)椋?，∴，?∴由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是．故答案為：.16.已知函數(shù)，若方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)分段函數(shù)解析式確定的區(qū)間性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點(diǎn)情況，進(jìn)而求k的范圍.【詳解】由題意，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即為與有3個(gè)交點(diǎn)，由的解析式知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為且；圖象如下圖示：∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)實(shí)根.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法確定參數(shù)的范圍.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.（1）計(jì)算；（2）若，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）化成同底數(shù)指數(shù)冪的形式，底數(shù)不變指數(shù)相加減，即可求出結(jié)果.（2）通過(guò)方程求出x的值，代入表達(dá)式即可.詳解】（1）原式．（2）∵，∴，∴．18.已知集合,．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知確定集合，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可；（2）若“”是“”的必要不充分條件，則B是A的真子集，列不等式求解，即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】解：若，則，又所以；【小問(wèn)2詳解】解：，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以B是A的真子集，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．19.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.（2）在給定條件下求出（1）中函數(shù)的相位，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，則的最小正周期，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由，得，當(dāng)，即時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值.20.已知函數(shù)，其中且．（1）求的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（3）已知在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)，求使的的取值范圍．【答案】（1），（2）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）由求解即可；（2）由函數(shù)奇偶性定義判斷并證明即可；（3）由，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.【小問(wèn)1詳解】由已知，，∴，解得（舍）或，∴．【小問(wèn)2詳解】為奇函數(shù)，證明如下：∵，∴由即，解得，∴的定義域?yàn)?，，都有，且，即，∴函?shù)是定義在上的奇函數(shù)．【小問(wèn)3詳解】∵在定義域上單調(diào)遞減，，∴解得，又∵的定義域?yàn)椋嗟娜≈捣秶牵?1.某公司生產(chǎn)“中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年”紀(jì)念手冊(cè)，向人們展示黨的百年光輝歷程，經(jīng)調(diào)研，每生產(chǎn)萬(wàn)冊(cè)，需要生產(chǎn)成本萬(wàn)元，若生產(chǎn)量低于20萬(wàn)冊(cè)，；若生產(chǎn)量不低于20萬(wàn)冊(cè)，.上市后每?jī)?cè)紀(jì)念冊(cè)售價(jià)50元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的紀(jì)念冊(cè)能全部售出.（1）設(shè)總利潤(rùn)為萬(wàn)元，求函數(shù)的解析式（利潤(rùn)=銷售額成本）；（2）生產(chǎn)多少冊(cè)紀(jì)念冊(cè)時(shí)，總利潤(rùn)最大？并求出最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)生產(chǎn)25萬(wàn)冊(cè)時(shí)，總利潤(rùn)最大，為300萬(wàn)元【解析】【分析】（1）按生產(chǎn)量不低于20萬(wàn)冊(cè)和低于20萬(wàn)冊(cè)兩種情況分別去求函數(shù)的解析式；（2）分段求得函數(shù)的最大值，二者中較大者為最大總利潤(rùn).【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值為225當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).）所以，即當(dāng)時(shí)，取得最大值為300.因?yàn)椋援?dāng)生產(chǎn)25萬(wàn)冊(cè)時(shí)，總利潤(rùn)最大，為300萬(wàn)元.22.已知函數(shù)，．（1）若的最小值是，求的值．（2）是否存在，使得當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，的值域?yàn)?？若存在，求的取值范圍；若不存在，?qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）討論、，結(jié)合換元法、二次函數(shù)的性質(zhì)及最值求參數(shù)即可.（2）根據(jù)（1）及已知判斷的單調(diào)性