2025年高考數(shù)學總復習 22 課時質量評價(二十二)

課時質量評價(二十二)1．(多選題)若cos(π－α)＝－12，則(A．sin(－α)＝32 B．sinπ2+C．cos(π＋α)＝－12 D．cos(α－π)＝－CD解析：由cos(π－α)＝－12，得cosα＝12，則sinα＝±A．sin(－α)＝－sinα＝±32B．sinπ2+α＝cosαC．cos(π＋α)＝－cosα＝－12D．cos(α－π)＝cos(π－α)＝－12故選CD．2．(2024·冀州模擬)若sin5π2+α＝15，則cos(π＋α)A．－25 B．－C．1B解析：因為sin5π2+α＝sin2π+π2+α＝sinπ2+α＝cosα＝15，所以3．已知角A，B，C為△ABC的三個內角，若sinA+B－C2＝sinA－BA．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形C解析：因為sinA+B－C2＝sinA－B+C所以sinπ－2C2＝sinπ－2B又因為B，C∈(0，π)，所以C＝B，c＝b，則△ABC一定是等腰三角形．4．(多選題)(2024·青島模擬)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，則下列結論正確的是(A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝ABD解析：由題意知sinθ＋cosθ＝15所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125，所以2sinθcosθ＝－2425又因為θ∈(0，π)，所以π2＜θ＜π，所以sinθ－cosθ＞0所以sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1－－2425＝4925＝7所以tanθ＝－43.故A，B，D5．已知sin3π2－α＋cos(π－α)＝sinα，則2sin2α－sinαcosα等于A．2110 B．C．32 D．D解析：由誘導公式可得sinα＝sin3π2－α＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2，所以2sin2α－sinαcosα＝2sin2α6．已知sinπ2+α＝－45，那么tanα920解析：因為sinπ2+α＝－45，所以cosα＝－45，sin2α＝1－cos2α＝1－1625＝925，所以tanα·sinα7．已知sin－π2－αcos－7π2+α＝1225，且0＜α＜π43545解析：sin－π2－αcos－7π2+α＝－cosα·(因為0＜α＜π4，所以0＜sinα＜cosα.又因為sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝35，cosα＝8．(2024·長沙模擬)已知sinπ4－α＝35，且π4－α為第二象限角，則sinα75解析：因為sinπ4－α＝35，且π4－α為第二象限角，所以所以sinα－13π4＋sinα+21π4＝sinπ4－α－cosπ4－9．已知α為第三象限角，f(α)＝sinα(1)化簡f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求f解：(1)f(α)＝sinα－π2·cos3π(2)因為cosα－3π2＝15，所以－sinα＝15，從而sin又α為第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－265，所以f(α)＝10．(2024·鄭州模擬)已知角α∈－π2，0，且tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，則sin(α＋2023π)A．154 B．C．－34 D．－A解析：因為tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0.因為α∈－π2，0，所以tanα<0且sinα<0，所以tanα－4sinα＝0，即sin所以cosα＝14，所以sinα＝－1－cos2α＝－154，所以sin(α＋2023π)11．(數(shù)學與生活)黑洞原指某種天體，它體積小，密度大，引力強，任何物體到了它那里都別想再出來．數(shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個數(shù)字串，長度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個數(shù)、奇數(shù)的個數(shù)以及總的數(shù)字個數(shù)，把這三個數(shù)從左到右寫成一個新數(shù)字串；重復以上的工作，最后會得到一個反復出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”．如果把這個數(shù)字設為a，則sinaπ2+πA．12 B．－C．32 D．－D解析：根據(jù)數(shù)字黑洞的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過第一步之后變?yōu)?14，經(jīng)過第二步之后變?yōu)?23，再變?yōu)?23……所以數(shù)字黑洞為123，即a＝123，所以sinaπ2+π6＝sin123π2+π12．(多選題)定義：角θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝π2，則稱θ與φ“廣義互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能與角α“廣義互余”的是(A．sinβ＝154 B．cos(π＋β)＝C．tanβ＝15 D．tanβ＝15AC解析：因為sin(π＋α)＝－sinα＝－14，所以sinα＝14，cosα＝±若α＋β＝π2，則β＝π2－A中，sinβ＝sinπ2－α＝cosα＝±15B中，cos(π＋β)＝－cosπ2－α＝－sinα＝－1C中，tanβ＝15，即sinβ＝15cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±154，故CD中，tanβ＝155，即sinβ＝155cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±6413．(2023·全國乙卷)若θ∈0，π2，tanθ＝12，則sinθ－－55解析：因為θ∈0，π2，則sinθ>0又因為tanθ＝sinθcosθ＝12，則cosθ所以cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－55(舍去所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－5514．是否存在α∈－π2，π2，β∈(0，π)使等式sin(3π－α)＝2cosπ2－β，3cos(－α)＝－解：存在．假設存在角α，β滿足條件．由已知條件可得sin由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，所以sin2α＝12，所以sinα＝±2因為α∈－π2，π2，所以當α＝π4時，由②式知cosβ＝3又β∈(0，π)，所以β＝π6，此時①當α＝－π4時，由②式知cosβ＝3又β∈(0，π)，所以β＝π6，此時①所以存在α＝π4，β＝π15．已知f(x)＝cos2nπ+x·(1)化簡f(x)的表達式；(2)求fπ2018＋f504π解：(1)當n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時，f(x