2025年高考數(shù)學總復習 28 課時質(zhì)量評價(二十八)

課時質(zhì)量評價(二十八)1．已知向量e1，e2是兩個不共線的向量，a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ等于()A．2 B．－2C．－12 D．C解析：因為a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，所以存在實數(shù)k(k≠0)，使得ka＝b，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因為向量e1，e2是兩個不共線的向量，所以2k＝1，－k2．(多選題)(2024·濟寧模擬)已知A，B，C是三個不同的點，OA＝a－b，OB＝2a－3A．AC＝2AB C．AC＝3BC D．A，BABD解析：由題可得AB＝OB－OA＝a－2b，AC＝AB＝BC，故AC＝2BC，故由AC＝2AB可得AC∥AB.又A為公共點，所以A，B，C三點共線，故3．若向量OA＝3OB－2OC(O，A，B，C互不重合)，A．2 B．2C．32 D．D解析：由已知可得OA－OB＝2OB－OC因為CA＝CB+BA，所以CA＝34．已知平面內(nèi)一點P及△ABC，若PA+PB+PC＝AB，則點P與A．點P在線段AB上B．點P在線段BC上C．點P在線段AC上D．點P在△ABC外部C解析：由PA+PB+PC＝AB，得PA+PB+PC5．(2024·山西大學附中診斷)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設xAB＝AM，yAC＝ANA．3 B．4C．5 D．6A解析：延長AG交BC于點H(圖略)，則H為BC的中點．因為G為△ABC的重心，所以AG＝23AH＝因為M，G，N三點共線，所以13x+13y＝16．已知A，B，C三點共線，且AC＝3BC，若AB＝λCB－2解析：已知點A，B，C三點共線，且AC＝3BC，即－BA＝2BC，故AB＝－2CB7．設向量a，b不平行，向量ta＋b與a＋3b平行，則實數(shù)t的值為________．13解析：因為向量ta＋b與a＋3b平行，所以存在實數(shù)k使得ta＋b＝k(a＋3b)因為向量a，b不平行，所以t＝k，1＝3k8．若點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足AM＝35AB+25AC，則2∶5解析：因為AM＝35AB+25所以點M在邊BC上，且BM＝25故S△所以△ABM與△ABC的面積之比為2∶5.9．已知O，A，B是不共線的三點，且OP＝mOA+nOB((1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.證明：(1)若m＋n＝1，則OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋所以OP－OB＝m即BP＝mBA，所以又因為BP與BA有公共點則A，P，B三點共線．(2)若A，P，B三點共線，則存在實數(shù)λ，使得BP＝所以OP－OB＝λ所以OP＝λOA＋(1－λ)又OP＝所以由①②得λOA＋(1－λ)OB＝因為OA，OB不共線，所以λ＝m，1－10．(多選題)(2024·石家莊模擬)下列說法，正確的為()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，若2OA+OB+3OC＝0，則S△AOC∶S△C．兩個非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，則a與b共線且反向D．若a∥b，則存在唯一實數(shù)λ使得a＝λbBC解析：對于A，若a∥b，b∥c，則a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共線，故錯誤；對于B，若2OA+OB+3OC＝0，延長OA到A′，使得OA′＝2OA，延長OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O為△BA設△AOC，△BOA，△BOC的面積分別為x，y，z，則△A′OB的面積為2y，△C′OB的面積為3z，△A′OC′的面積為6x.由三角形的重心的性質(zhì)可得2y＝3z＝6x.則S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正確；對于C，兩個非零向量a，b，若|a－b|＝a+b，則a－b2＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，整理得cos所以a與b共線且反向，正確；對于D，若a∥b，則存在唯一實數(shù)λ使得a＝λb，不正確，比如a≠0，b＝0，不存在實數(shù)λ.11．(數(shù)學與生活)圖1是世界最高橋——貴州北盤江大橋，圖2是根據(jù)圖1作的簡易側(cè)視圖(為便于計算，側(cè)視圖與實物有區(qū)別)．在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點O都在橋面同一側(cè)的水平直線上．已知AB＝8m，BO＝16m，PO＝12m，PB⊥PC.根據(jù)物理學知識得12PA+PB＋12PC+PD＝2A．28m B．20mC．31m D．22mD解析：因為PB⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC.因為BO＝16m，PO＝12m，所以OC＝9m.設線段AB的中點為M，線段CD的中點為N.因為12PA+PB＋12PC+PD＝2PO，所以因為AB＝8m，所以MO＝20m，即ON＝20m，所以CD＝22m．12．(多選題)(數(shù)學與文化)瑞士數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一條直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心的距離的一半．這個定理就是著名的歐拉線定理．設在△ABC中，點O，H，G分別是其外心、垂心、重心，則下列結(jié)論正確的有()A．GHB．GA+GBC．設BC邊的中點為D，則有AHD．OAAB解析：由題意作圖，如圖所示．對于A，根據(jù)歐拉線定理知，O，G，H三點共線，且GH＝2OG，所以GH＝2OG，故對于B，取BC的中點D，由題意得GB+GC＝2GD＝－GA，對于C，由題意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以AH＝2OD.因為OD⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD.所以AH＝2OD，故對于D，向量OA，OB，OC的模相等，方向不同，13．(多選題)設點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是()A．若BM＝13B．若AM＝2AC－3AB，則點C．若點M是△ABC的重心，則MA+MBD．若AM＝xAB+yAC且x＋y＝13，則ACD解析：對于A，AM＝AB+BM＝對于B，假設點M，B，C三點共線，則MB＝λBC，即AB－AM＝λAC－AB，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)·AB，當λ＝－2時，AM＝對于C，如圖，取BC中點H，連接AH，若點M是△ABC的重心，則點M在AH上，且MA＝2MH，所以－2MH＝MA.又MB+MC＝2MH，所以對于D，由于AM＝xAB+yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB+3yAC，其中3x＋3y＝1.不妨設AQ＝3AM，則點Q在直線BC上．由于△MBC與△ABC同底，而高之比等于MQ與AQ的比14．如圖，在?ABCD中，BM＝23(1)試用向量a，b來表示DN，(2)AM交DN于點O，若AO＝λOM，求解：(1)因為DN＝所以DN＝14因為AM＝所以AM＝(2)因為D，O，N三點共線，所以存在實數(shù)k，使得DO＝kDN＝14ka－kb，所以AO＝AD+因為A，O，M三點共線，所以存在實數(shù)m，使得AO＝mAM由①②得14k＝m，所以AO＝314AM，AO15．經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB