2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 37 課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十七)

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十七)1．在空間直角坐標(biāo)系中，AB＝(1，－1，0)，BC＝(－2，0，1)，平面α的一個(gè)法向量為m＝(－1，0，1)，則平面α與平面ABC夾角的正弦值為()A．336 B．C．34 D．A解析：設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AB=x－y=0，n·BC=－2x+z=0.取x＝1，則y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)是平面ABC的一個(gè)法向量．設(shè)平面α與平面ABC的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈m，n〉2．(數(shù)學(xué)與文化)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵．已知在塹堵ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90?，AB＝2，BC＝22，若直線CA1與直線AB所成角為60?，則AA1＝()A．3 B．2C．22 D．23B解析：如圖，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，22，0)．設(shè)A1(2，0，z)(z>0)，則BA＝(2，0，0)，CA1＝(2，－22，z)，所以|cos〈BA，CA1〉|＝42×12+z2＝3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1和DD1的中點(diǎn)，則平面ECF與平面ABCD夾角的余弦值為()A．33 B．C．13 D．B解析：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(0，0，0)，E(2，0，1)，F(xiàn)(0，2，1)，C(2，2，0)，所以CE＝(0，－2，1)，CF＝(－2，0，1)．設(shè)平面ECF的法向量為n＝(x，y，z)，則CE·n取x＝1，則y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)是平面ECF的一個(gè)法向量．易知m＝(0，0，1)是平面ABCD的一個(gè)法向量．設(shè)平面ECF與平面ABCD的夾角為θ，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·nmn＝所以平面ECF與平面ABCD夾角的余弦值為634．(多選題)如圖，三棱錐D-ABC的各棱長(zhǎng)均為2，OA，OB，OC兩兩垂直，則下列說法正確的是()A．OA，OB，OC的長(zhǎng)度相等B．直線OD與BC所成的角是45?C．直線AD與OB所成的角是45?D．直線OB與平面ACD所成的角的余弦值為3AC解析：因?yàn)槿忮FD-ABC的各棱長(zhǎng)均為2，OA，OB，OC兩兩垂直，所以O(shè)A＝OB＝OC＝2，故A正確．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(2，2，2)，所以O(shè)B＝(0，2，0)，AC＝(－2，0，2)，AD＝(0，2，2)，OD＝(2，2，2因?yàn)镺D·BC＝0，所以O(shè)D⊥BC，即直線OD與BC所成的角是90?，故B不正確．cos〈AD，OB〉＝AD·OBADOB＝22，可得直線AD設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AC取x＝1，則y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)為平面ACD的一個(gè)法向量．設(shè)直線OB與平面ACD所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈OB，n〉|＝OB·nOBn＝22×3＝335．如圖為一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點(diǎn)共線．已知三棱錐P-ADE四個(gè)面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，AB∥CD，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值為()A．34 B．C．155 D．C解析：以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，2)，C(2，2，0)，A(0，0，0)，E(2，－1，0)，則有PC＝(2，2，－2)，AE＝(2，－1，0)，AP＝(0，0，2)．設(shè)平面PAE的法向量n＝(x，y，z)，則n·AE令x＝1，則y＝2，z＝0，即n＝(1，2，0)，所以cos〈PC，n〉＝PC·nPC所以直線PC與平面PAE所成角的正弦值為155.故選C6．在空間直角坐標(biāo)系中，若A(1，－2，0)，B(2，1，6)，則向量AB與平面Oxz的法向量的夾角的正弦值為________．74解析：設(shè)平面Oxz的法向量為n＝(0，t，0)(t≠0)．由題意知AB＝(1，3，6)，所以cos〈n，AB〉＝n·ABnAB＝3t4t.因?yàn)椤磏，AB〉∈[0，π]，所以sin〈7．若在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60?，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為________．24解析：設(shè)M為AC的中點(diǎn)，連接MB，MA1，如圖，由題意知△ABC所以BM⊥AC，同理A1M⊥AC.因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM?平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1.因?yàn)锳1M?平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，所以AC，BM，A1M兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，MA，MB，MA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AA1＝AC＝AB＝2，則A(1，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，3)，C1(－2，0，3)，所以AC1＝(－3，0，3)，A1B＝(0，3，－設(shè)異面直線AC1與A1B所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈AC1，A1B〉|＝AC故異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為248．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2，直線CC1與平面ACD1所成角的正弦值為13，則正四棱柱的高為________4解析：以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)DD1＝a(a＞0)，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，a)，C1(0，2，a)，所以AC＝(－2，2，0)，AD1＝(－2，0，a)，CC1＝(0，0，a設(shè)平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AC取x＝1，則y＝1，z＝2a，所以n＝1，1，故cos〈n，CC1〉＝n·CC1n因?yàn)橹本€CC1與平面ACD1所成角的正弦值為13，所以22a2+4＝139．在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2，AC＝22，PB⊥平面ABC，點(diǎn)M，N分別為AC，PB的中點(diǎn)，MN＝6，Q為線段AB上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)A，B)．若異面直線PM與CQ所成角的余弦值為3434，則BQBA＝(A．14 B．C．12 D．A解析：因?yàn)锳B＝BC＝2，AC＝22，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC.因?yàn)镻B⊥平面ABC，AB，BC?平面ABC，所以PB⊥AB，PB⊥BC.以B為原點(diǎn)，BA，BC，BP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，C(0，2，0)，M(1，1，0)，A(2，0，0)，所以BM＝2.因?yàn)镸N＝6，所以BN＝MN2－BM2＝2，所以PB＝4，則P(0，設(shè)BQBA＝λ，則BQ＝λBA(0<λ<1)，所以Q(2λ，0，0)易知PM＝(1，1，－4)，CQ＝(2λ，－2，0)，所以PM·CQ＝1×2λ＋1×(－2)＋(－4)×0＝2λ－2，|PM|＝12+12+－42＝3因?yàn)楫惷嬷本€PM與CQ所成角的余弦值為3434所以|cos〈PM，CQ〉|＝PM·CQPMCQ＝2λ－232×4λ2+4＝10．(多選題)(2024·嘉興模擬)如圖，在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，下列說法正確的是()A．直線EF與直線AB所成的角為πB．直線EF與直線AD所成的角為πC．直線EF與平面BCD所成的角的正弦值為3D．直線EF與平面ABD所成的角的正弦值為2ABC解析：如圖，將正四面體ABCD放在正方體AGBH-MCND中，設(shè)正方體AGBH-MCND的棱長(zhǎng)為2，以A為原點(diǎn)，AG，AH，AM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(2，0，2)，D(0，2，2)，E(1，1，0)，F(xiàn)(1，1，2)．因?yàn)镋F＝(0，0，2)，AB＝(2，2，0)，所以EF·AB＝0，即EF⊥AB，故A正確．因?yàn)锳D＝(0，2，2)，cos〈EF，AD〉＝EF·ADEF所以直線EF與直線AD所成的角為π4，故B設(shè)平面BCD的法向量為m＝(x1，y1，z1)，BC＝(0，－2，2)，BD＝(－2，0，2)，則m·BC取x1＝1，則y1＝1，z1＝1，所以m＝(1，1，1)為平面BCD的一個(gè)法向量．所以cos〈EF，m〉＝EF·mEFm＝故直線EF與平面BCD所成的角的正弦值為33，故C設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則n·AB取x2＝1，則y2＝－1，z2＝1，所以n＝(1，－1，1)為平面ABD的一個(gè)法向量．所以cos〈EF，n〉＝EF·nEFn＝223＝33，故直線EF11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90?.若PA＝PD＝AB＝DC＝2，∠APD＝60?，則平面PBC與平面PAB夾角的余弦值為______．77解析：如圖，取AD的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)E，連接PF，F(xiàn)E，由已知可得FE∥AB，F(xiàn)E∥DC因?yàn)椤螧AP＝∠CDP＝90?，所以AB⊥PA，DC⊥PD，所以FE⊥PA，F(xiàn)E⊥PD.又因?yàn)镻A∩PD＝P，PA，PD?平面PAD，所以FE⊥平面PAD.因?yàn)锳D，PF?平面PAD，所以FE⊥AD，F(xiàn)E⊥PF.因?yàn)镻A＝PD，所以PF⊥AD.以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)E，F(xiàn)P所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻A＝PD＝AB＝DC＝2，∠APD＝60?，所以AD＝2，所以A(1，0，0)，P(0，0，3)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)．所以BC＝(－2，0，0)，BP＝(－1，－2，3)，BA＝(0，－2，0)．設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，則n·BC取y1＝3，則x1＝0，z1＝2，所以n＝(0，3，2)是平面PBC的一個(gè)法向量．設(shè)m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，則m·BP取x2＝3，則y2＝0，z2＝1，所以m＝(3，0，1)是平面PAB的一個(gè)法向量．設(shè)平面PBC與平面PAB的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n，m〉|＝n·mnm＝所以平面PBC與平面PAB夾角的余弦值為7712．(2024·廣東一模)如圖，已知圓柱OO1的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)P是圓O1，上異于點(diǎn)C，D的任意一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)D到平面ACP的距離為233，證明：O1P⊥(2)求OC與平面ACP所成角的正弦值的取值范圍．(1)證明：如圖1，連接DP，過點(diǎn)D作DH⊥AP,垂足為H.因?yàn)镃D是圓O1的直徑，所以CP⊥DP.因?yàn)锳D是圓柱側(cè)面的母線，所以AD⊥平面CDP.因?yàn)镃P?平面CDP，所以AD⊥CP.又因?yàn)锳D，DP?平面ADP，AD∩DP＝D，所以CP⊥平面ADP.因?yàn)镈H?平面ADP,所以DH⊥CP.又因?yàn)镈H⊥AP，AP，PC?平面ACP，AP∩PC＝P，所以DH⊥平面ACP.所以點(diǎn)D到平面ACP的距離為DH，即DH＝23設(shè)DP＝a(a>0)，則AP＝a2由AD·DP＝AP·DH，得2·a＝a2+4·233因?yàn)镃D＝2，所以DP＝PC＝2.因?yàn)镺1是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)1P⊥CD．圖1圖2(2)(方法一)如圖2，在平面PCD內(nèi)，過點(diǎn)O1作O1E⊥O1C交圓O1于點(diǎn)E，連接OO1.因?yàn)镺O1⊥平面PCD，所以O(shè)1E，O1C，O1O兩兩相互垂直，以O(shè)1為原點(diǎn)，分別以O(shè)1E，O1C，O1O所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，2)，C(0，1，0)，A(0，－1，2)．設(shè)點(diǎn)P(m，n，0)，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O1上，所以m2＋n2＝1，且n∈(－1，1)．則OC＝(0，1，－2)，AC＝(0，2，－2)，CP＝(m，n－1，0)．設(shè)平面ACP的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AC=0，n·CP=0，即2y－2z=0，mx+n－1設(shè)OC與平面ACP所成角為θ，則sinθ＝|cos〈OC，n〉|＝OC·nOCn＝m5因?yàn)閚－121－n2＝n－1n－11－n1+所以－1＋21+n∈(0，＋所以2+n－121－n所以sinθ＝15·2所以O(shè)C與平面ACP所成角的正弦值的取值范圍是0，(方法二)由(1)知，點(diǎn)D到平面ACP的距離為DH.連接OD交AC于點(diǎn)F，如圖3.圖3因?yàn)镺A∥CD,且OA＝12CD,所以O(shè)F＝12所以點(diǎn)O到平面ACP的距離為12DH在Rt△ADP中，由等面積法得DH＝AD·DPAP＝2DP4+DP所以DH＝2DP4+DP2＝2DP24+設(shè)OC與平面ACP所成角為θ，所以O(shè)C與平面ACP所成角的正弦值sinθ＝12DHOC所以sinθ＝DH25∈所以O(shè)C與平面ACP所成角的正弦值的取值范圍是0，13．(2024·1月·九省適應(yīng)性測(cè)試)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45?.(1)證明：C1O⊥平面ABCD；(2)求平面BAA1與平面AA1D