2025年高考數(shù)學總復習 38 課時質(zhì)量評價(三十八)

課時質(zhì)量評價(三十八)1．已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為()A.36 B．3C．233 DB解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A所以DA1＝(1，0，－1)，DC1＝(0，1，－1)，AD＝(－1，0設平面A1C1D的法向量為m＝(x，y，z)，則m·DA取x＝1，則y＝1，z＝1，所以m＝(1，1，1)為平面A1C1D的一個法向量．顯然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d＝AD·2．(數(shù)學與文化)(2024·滁州模擬)《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以基，其形露矣．”文中“陽馬”是底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，則點A到平面PBD的距離為()A．23 B．C．62 D．B解析：如圖，連接BD，取BD的中點E，連接PE.因為ABCD為長方形，AB＝AD＝2，所以BD＝22.因為PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以PB＝PA2+AB2＝5，PD＝PA2+AD2＝5.所以PE⊥BD，PE＝PB2－BE2＝3.設點A到平面PBD的距離為h，則三棱錐P-3．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則△D1GF的面積為()A．102 B．C．2 D．3B解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，則D1(0，0，2)，G(0，2，1)，F(xiàn)(1，1，0)，所以FD1＝(－1，－1，2)，F(xiàn)G＝(－1，1，1)所以點D1到直線GF的距離d＝FD1又FG＝3，所以S△4．(多選題)在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在棱DC上運動(不與頂點重合)，則點B到平面AD1P的距離可以是()A．2 B．3C．2 D．5CD解析：如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)．設P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以AP＝(－3，t，0)，AD1＝(－3，0，3)，AB＝(0，3，0)設平面AD1P的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AP取y＝3，則x＝t，z＝t，所以n＝(t，3，t)為平面AD1P的一個法向量．所以點B到平面AD1P的距離為d＝n·因為0＜t＜3，所以點B到平面AD1P的距離的取值范圍是3，5．已知兩平行平面α，β分別經(jīng)過點O(0，0，0)和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量為n＝(－1，0，1)，則這兩個平面間的距離是________．22解析：因為兩平行平面α，β分別經(jīng)過點O(0，0，0)和點A(2，1，1)，OA＝(2，1，1)，且兩平面的一個法向量為n＝(－1，0，1)，所以這兩個平面間的距離d＝n6．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE之間的距離為________．22121解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，C10,2，2，E0，2，1，所以AE＝設BC1與AE的公垂線的方向向量為n＝(x，y，z)，則n·AE取z＝1，則x＝2，y＝12，所以n＝2，12，1為又因為AB＝(0，2，0)，所以異面直線BC1與AE之間的距離為d＝AB·7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F(xiàn)為線段AB的中點．(1)求點B到直線AC1的距離；(2)求直線FC到平面AEC1的距離．解：(1)以D1為原點，D1A1，D1C1，D1D所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，12，0)，F(xiàn)(1，12，所以AB＝(0，1，0)，AC1＝(－1，1，－1)，F(xiàn)C＝取a＝AB＝(0，1，0)，u＝AC1則點B到直線AC1的距離為a2(2)因為FC＝所以FC∥EC1，而FC?平面AEC1，EC1?平面AEC1，所以FC∥平面AEC1，所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．設平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·AE取z＝1，則x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1)為平面AEC1的一個法向量．又因為AF＝所以點F到平面AEC1的距離為AF·nn＝66，即直線FC8．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一個動點(不含端點)，過點M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得截面的面積為y.若平面α與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是()C解析：如圖1，過點M作MN⊥AB，交AB于點N，則MN⊥平面ABCD，過點N作NQ∥AD，交CD于點Q，過點Q作QH∥PD，交PC于點H，連接MH，則平面MNQH是所作的平面α.圖1因為MN⊥平面ABCD，平面MNQH∥平面PAD，所以平面MNQH與平面PAD之間的距離x＝AN，MNQH為直角梯形，所以y＝S梯形MNQH.由題意得2－x2＝MN4，解得MN由HQ∥PD得CQCD＝QHPD，即2－x2＝QH2圖2如圖，過點H作HE⊥NQ，則HE＝MN.在Rt△HEQ中，EQ＝HQ2－HE2＝所以NE＝2－(2－x)＝x，所以MH＝x.所以y＝f(x)＝x+24－2x2＝－所以函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖2所示．故選C．9．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠DAB＝π3，PD⊥底面ABCD.若點D到平面PAC的距離為2，則PD＝(A．22 B．2C．1 D．2D解析：設E為BC的中點，連接DE，因為底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠DAB＝π3，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA以D為原點，DA，DE，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設PD＝a(a＞0)，則D(0，0，0)，P(0，0，a)，A(4，0，0)，C－2所以PA＝(4，0，－a)，AC＝－6，23，0設平面PAC的法向量為n＝(x，y，z)，則n·PA＝0，n·AC＝0，所以4x－az＝所以n＝a，3a，設點D到平面PAC的距離為d，所以d＝DA·nn＝4a4a10．(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E為AA1的中點，平面α過B，C1，E三點，下列說法正確的是()A．CD與平面α平行B．平面A1B1CD與平面α垂直C．平面α截正方體所得截面的面積為9D．正方體的頂點到平面α距離的最大值為3BC解析：因為平面α過B，C1，E三點，所以AB與平面α相交．因為CD∥AB，所以CD與平面α不可能平行，故A錯誤．因為在正方體中，CD⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.又因為B1C⊥BC1，B1C∩CD＝C，B1C，CD?平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD.因為BC1?平面α，故平面A1B1CD與平面α垂直，故B正確．如圖，平面α截正方體所得截面為等腰梯形EFC1B，其中F是A1D1的中點，EF＝2，BC1＝22，計算得梯形EFC1B的高為322，所以梯形EFC1以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則E(2，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，D(0，0，0)，所以BE＝(0，－2，1)，BC1＝(－2，0，2)，DB＝(2，2，0)設平面BEC1的法向量為m＝(x，y，z)，則m·BE取y＝1，則x＝2，z＝2，所以m＝(2，1，2)為平面BEC1的一個法向量．所以點D到平面BEC1的距離為DB·mm即正方體的頂點D到平面α的距離為2，大于32，故D錯誤11．如圖，在空間直角坐標系中有棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1，點M是線段DC1上的動點，則點M到直線AD1距離的最小值為________．33a解析：由題意知D1(0，0，a)，A(a，0，0)．設M(0，m，m)(0≤m≤a)易知s＝－22，0，22為直線AD1的一個單位方向向量，MD1＝(0故點M到直線AD1的距離為d＝MD12＝32m2所以當m＝a3時，d取得最小值，為13a2＝33a12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝2，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O為AD的中點．試問：在線段AD上是否存在點Q，使點Q到平面PCD的距離為32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，解：存在．因為PA＝PD，O為AD的中點，所以PO⊥AD.因為側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PO?平面PAD，PO⊥平面PAD，所以PO⊥底面ABCD.連接OC，建立如圖所示的空間直角坐標系，易得C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，所以CP＝(－1，0，1)