2025年高考數(shù)學總復習 42 課時質(zhì)量評價(四十二)

課時質(zhì)量評價(四十二)1．已知公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2a1－2qn，則a1＝()A．12 B．C．2 D．4B解析：由題意可得a1＝S1＝2a1－2q，即a1＝2q，又a2＝S2－S1＝2a1－2q2－a1＝2q－2q2，故a2a1＝2q－2q22q＝q，解得q2．(2024·岳陽模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足a5－a3＝8，a6－a4＝24，則a3等于()A．1 B．－1C．3 D．－3A解析：由題知a5－a3＝8，a6－a4＝24，即a解得a1＝19，q＝3，所以a3＝a13．在數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于()A．2 B．3C．4 D．5C解析：令m＝1，則由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an.又由題設易知an≠0，則an+1an＝a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n.故ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝2ka1+a2+…+a10＝2k×2×1－2101－2＝2k+1×4．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2a10＝4a6，Sn為等差數(shù)列{bn}的前n項和，且S6＝S10，a6＝b7，則b9＝()A．43 B．－4C．－83 D．－B解析：因為{an}為等比數(shù)列，且a2a10＝a62＝4a6，所以a6＝4.設等差數(shù)列{bn}的公差為d，因為S6＝S10，所以b7＋b8＋b9＋b10＝2(b7＋b10)＝0，則b7＋b10＝0.因為b7＝a6＝4，所以b10＝－4，所以3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，所以d＝－83，所以b9＝b7＋2d＝4＋25．(多選題)(數(shù)學與文化)中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”現(xiàn)打算按此比例償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人應分別償還a升、b升、c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是()A．a(chǎn)＝50B．c＝50C．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列D．a(chǎn)，b，c依次成公比為12BD解析：由題意得a，b，c依次成公比為12的等比數(shù)列，則c＋2c＋4c＝50，解得c＝507.故選BD6．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若數(shù)列{3n－an}也是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式可以為________．(寫出一個即可)an＝3n-1(答案不唯一)解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q，令bn＝3n－an，則b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2.因為{bn}是等比數(shù)列，所以b22＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化為q2－6q＋9＝0，解得q＝3.取a1＝1，則an＝3n-1，經(jīng)驗證成立．(注：a1的值可取任意非零實數(shù)7．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝14，則a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________647(1－2-3n)解析：設數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝a5a2＝18，解得q＝12，所以a1＝a2q＝4，a3＝a2q＝1.易知數(shù)列{anan＋1an＋2}是首項為a1a2a3＝4×2×1＝8，公比為q3＝18的等比數(shù)列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋8．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋2n－3.(1)若bn＝an＋2n－1，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求{an}的前n項和Sn.(1)證明：因為an＋1＝2an＋2n－3，bn＝an＋2n－1，易知bn≠0，所以bn+1又b1＝a1＋2－1＝2，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．(2)解：由(1)可知bn＝2n，則an＝2n－2n＋1，故Sn＝21－1＋22－3＋…＋2n－2n＋1＝21＋22＋…＋2n－(1＋3＋…＋2n－1)＝2－2n+11－2－n19．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝8，a4＝－1，則數(shù)列{Sn}()A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項A解析：根據(jù)題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＝8，a4＝－1，則q3＝a4則Sn＝a1若n為奇數(shù)，則Sn＝1631+12n，此時有S1>S3>…若n為偶數(shù)，則Sn＝1631－12n，此時有S2<S4<…故S1最大，S2最小．10．(多選題)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且{Sn}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是()A．{an＋Sn}是等差數(shù)列B．{an·Sn}是等比數(shù)列C.{aD．SnACD解析：由數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，所以a2＝a3.因為{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以a2＝a2q，可得q＝1.所以an＝a1>0，Sn＝na1.an＋Sn＝(n＋1)a1，所以數(shù)列{an＋Sn}是等差數(shù)列，因此A正確；an·Sn＝na12，所以{an·Sn}不是等比數(shù)列，因此an2＝a12，所以{an2Snn＝a1>0，所以Snn是常數(shù)列，是等比數(shù)列，11．設{an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23，19，37，82}中，則6q＝______．－9解析：因為數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在{－53，－23，19，37，82}中，且bn＝an＋1，則an＝bn－1，所以{an}有連續(xù)四項在{－54，－24，18，36，81}中．又{an}是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項則q<0，且負數(shù)項為相隔兩項．又|q|＞1，則等比數(shù)列各項的絕對值遞增，按絕對值由小到大的順序排列上述數(shù)值為18，－24，36，－54，81.相鄰兩項相除得－24由此易知，－24，36，－54，81是{an}中連續(xù)的四項，所以q＝－32，所以6q＝－912．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝1－an，記Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，則an＝______，Tn＝________．12n1151－116n解析：由題意，得a1＝1又當n≥2時，由Sn＝1－an，Sn－易知an≠0，則anan－1＝12，故數(shù)列{an}是以12為首項，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a3＝a2所以數(shù)列{a2n－1a2n＋1}是以a22＝116則Tn＝a213．(2024·佛山模擬)設公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5＝20，a32＝a2a(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn＋bn＋1＝2an，求數(shù)列{b2n}的前n項和T解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由題知S5＝5a3＝20，則a3＝4.又a32＝a2a5，即16＝(4－d)(4＋2d)，且公差d不為0，所以d＝因為a1＝a3－2d＝0，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝0＋2(n－1)＝2n－2.(2)由(1)知bn＋bn＋1＝2an＝22n-2＝2n-則(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋(b5＋b6)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝20＋22＋24＋…＋22n-2＝1×(b1＋b2)＋(b2＋b3)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝20＋21＋22＋…＋22n-2＝1×1－22n－11①×2－②，得b1＋b2n＝2×4n3－13－22n又b1＝1，所以b2n＝23Tn＝8314．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an>0，4S1＋S2＝S3.(1)求數(shù)列{an}的公比q；(2)?n∈N*，不等式an－a1Sn+n2+17解：(1)由4S1＋S2＝S3，得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，整理得4a1＝a3，所以4a1＝a1q2.因為a1≠0，所以q2＝4，由題意得q>0