2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 47 第六章 微專題 立體幾何中的動態(tài)問題

微專題立體幾何中的動態(tài)問題立體幾何中的“動態(tài)問題”是指空間圖形中的某些點(diǎn)、線、面的位置是不確定的、可變的一類開放型問題，因其某些點(diǎn)、線、面位置的不確定，往往成為學(xué)生進(jìn)行一些常規(guī)思考、轉(zhuǎn)化的障礙．但又因其是可變的、開放的，更有助于學(xué)生空間想象能力及綜合思維能力的培養(yǎng)，以下利用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)對幾種動態(tài)問題的類型加以分析，探求解決此類問題的若干途徑．類型一空間位置關(guān)系的判定【例1】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1上的動點(diǎn)，且EH∥FG，則必有()A．BD1⊥EH B．AD∥FGC．平面BB1D1D⊥平面EFGH D．平面A1BCD1∥平面EFGHB解析：當(dāng)E與A1重合，H與D1重合時(shí)，BD1與EH的夾角即BD1與A1D1的夾角，顯然BD1與A1D1的夾角不是π2，故A錯誤當(dāng)FG不與B1C1重合時(shí)，因?yàn)镋H∥FG，EH?平面A1B1C1D1，F(xiàn)G?平面A1B1C1D1，所以FG∥平面A1B1C1D1.因?yàn)镕G?平面BCC1B1，平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1＝B1C1，所以FG∥B1C1∥AD.當(dāng)FG與B1C1重合時(shí)，顯然FG∥AD，故B正確．當(dāng)平面EFGH與平面BCC1B1重合時(shí)，顯然平面BB1D1D與平面BCC1B1不垂直，故C錯誤．當(dāng)FG與BC重合時(shí)，平面A1BCD1與平面EFGH相交，故D錯誤．【例2】如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線BC1上運(yùn)動，則下列結(jié)論一定成立的是()A．三棱錐A-A1PD的體積大小與點(diǎn)P的位置有關(guān)B．A1P與平面ACD1相交C．平面PDB1⊥平面A1BC1D．AP⊥D1CC解析：對于選項(xiàng)A，VA-A1PD＝VP-AA1D.在正方體中，BC1∥平面AA1D，所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)其到平面AA1D的距離不變，即三棱錐P-AA1D的高不變．又△AA1D的面積不變，因此三棱錐P-AA1D的體積不變，即三棱錐A-A1PD的體積與點(diǎn)P的位置無關(guān)，故A不成立．對于選項(xiàng)B，由于BC1∥AD1，AD1?平面ACD1，BC1?平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，同理可證BA1∥平面ACD1.又BA1∩BC1＝B，BA1，BC1?平面BA1C1，所以平面BA1C1∥平面ACD1.因?yàn)锳1P?平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B不成立．對于選項(xiàng)C，因?yàn)锳1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以A1C1⊥平面BB1D，則A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D.又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平面A1BC1.又B1D?平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立．對于選項(xiàng)D，當(dāng)B與P重合時(shí)，AP與D1C的夾角為π4，故D解決空間位置關(guān)系的動點(diǎn)問題(1)應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化．(2)建立“坐標(biāo)系”計(jì)算．類型二軌跡問題【例3】(2024·韶關(guān)模擬)設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為底面正方形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)．若△APC1的面積S＝12，則動點(diǎn)P的軌跡是(A．圓的一部分 B．雙曲線的一部分C．拋物線的一部分 D．橢圓的一部分D解析：設(shè)d是△APC1邊AC1上的高，則S△APC1＝12AC1·d＝32d＝12，所以d＝33，即點(diǎn)P到直線AC1的距離為定值33，所以點(diǎn)P在以直線【例4】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方形ABB1A1內(nèi)的動點(diǎn)．若C1M∥平面CD1EF，則點(diǎn)M的軌跡長度為________.2解析：如圖，取A1B1的中點(diǎn)H，B1B的中點(diǎn)G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E.又C1G?平面CD1EF，D1E?平面CD1EF，所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1EF.因?yàn)镃1H∩C1G＝C1，C1H，C1G?平面C1GH，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由點(diǎn)M是正方形ABB1A1內(nèi)的動點(diǎn)可知，若C1M∥平面CD1EF，則點(diǎn)M在線段GH上，所以點(diǎn)M的軌跡長度為12解決與幾何體有關(guān)的動點(diǎn)軌跡問題的方法(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定．(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進(jìn)行計(jì)算．(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除．類型三最值問題【例5】已知在如圖所示的正三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA，PB，PC的長為2，底面三角形ABC的邊長為2，D為AC的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，M是PD上的動點(diǎn)，N是平面PCE上的動點(diǎn)，則AM＋MN的最小值為()A．6+24C．64 D．B解析：將正三棱錐P-ABC放入棱長為2的正方體AGIJ-PCHB中，如圖1所示，先固定點(diǎn)M，那么MN的最小值即點(diǎn)M到平面PCE的距離．連接GH，設(shè)GH的中點(diǎn)為F，連接PF，DG.由題意，得平面PGF⊥平面PCE，且交線為PF，故MN⊥PF，所以點(diǎn)M在PD上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)N在PF上運(yùn)動．把平面AGP和平面PGF沿PG展開，示意圖如圖2所示，作AN′⊥PF交PG于點(diǎn)M′，則AN′即所求，(AM＋MN)min＝AN′＝AP·sin(45?＋30?)＝3+【例6】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為a，側(cè)棱長為b，且a≥b，點(diǎn)D是BC1的中點(diǎn)，則直線AD與側(cè)面ABB1A1所成角的正切值的最小值是()A．13013 B．C．33 D．D解析：如圖，取A1B1的中點(diǎn)E，連接BE，C1E，則C1E⊥A1B1.由正三棱柱的性質(zhì)可知，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，所以C1E⊥平面ABB1A1，取BE的中點(diǎn)F，連接AF，DF.因?yàn)镈為BC1的中點(diǎn)，所以DF∥C1E，所以DF⊥平面ABB1A1，所以∠DAF即為直線AD與側(cè)面ABB1A1所成的角．在Rt△AFD中，DF＝12C1E＝34a，AF＝34a2+1在動態(tài)變化過程中