2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 72 第八章 第八節(jié) 第4課時 圓錐曲線中的定點、定直線與定值問題

第4課時圓錐曲線中的定點、定直線與定值問題定點問題【例1】(2024·煙臺模擬)已知橢圓Ω：x2a2+y2b2＝1(a(1)求Ω的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過Ω的右焦點F作相互垂直的兩條直線l1，l2(均不垂直于x軸)，l1交Ω于A，B兩點，l2交Ω于C，D兩點．設(shè)線段AB，CD的中點分別為M，N，證明：直線MN過定點．(1)解：因為離心率e＝ca＝55，2c＝2，且a2＝b2所以c＝1，a＝5，b＝2，故Ω的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25(2)證明：由(1)知F(1，0)．設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立y消去y，得(5k2＋4)x2－10k2x＋5k2－20＝0，則x1＋x2＝10k所以點M的坐標(biāo)為5k因為CD⊥AB，所以CD的斜率為－1k將點M坐標(biāo)中的k換為－1k，可得點N的坐標(biāo)為5當(dāng)k≠±1時，設(shè)直線MN的斜率為kMN，則kMN＝y(tǒng)N所以直線MN的方程為y－4k即y＝－9k5k2當(dāng)k＝±1時，直線MN的方程為x＝59，也過點5綜上所述，直線MN過定點591．求解直線過定點問題的基本思路由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線必過定點(0，m)．2．求解曲線過定點問題的基本思路把曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是曲線所過的定點．已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b(1)求橢圓C的方程；(2)若經(jīng)過點P(t，0)(不與點M重合)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，實數(shù)t取何值時以AB為直徑的圓恒過點M?解：(1)由題意知b＝c，bc＝2，又a2－b2＝c2，則a＝2，所以橢圓C的方程為x24(2)由(1)知M(2，0)．若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝t(－2<t<2)，此時At，由MA·MB＝0，得t－解得t＝23或t＝2(舍)，即t＝2若直線l的斜率存在，不妨設(shè)直線l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立y得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0，則Δ＝32k2－8k2t2＋16＞0，所以x1＋x2＝4k由題意知MA·MB＝0，即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)4k2t＋(4＋k2t2)·(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0.因為k不恒為0，故解得t＝23或t＝2(舍)，當(dāng)t＝23時，滿足Δ綜上，當(dāng)t＝23時，以AB為直徑的圓恒過點M定直線問題【例2】(2024·成都模擬)已知A1(－3，0)和A2(3，0)是橢圓η：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右頂點，直線l與橢圓η相交于M，N兩點，直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點O，且不與坐標(biāo)軸平行，直線A1M(1)求橢圓η的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線OM與橢圓η的另外一個交點為S，直線A1S與直線A2N相交于點P，直線PO與直線l相交于點Q，證明：點Q在一條定直線上，并求出該定直線的方程．(1)解：不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知kA1M·kA2M＝y(tǒng)1x1又因為a＝3，所以x129+y所以－59x12－9＝b21則橢圓η的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29(2)證明：設(shè)直線l的方程為x＝my＋n(m≠0，n≠0)，聯(lián)立x消去x并整理得(5m2＋9)y2＋10mny＋5n2－45＝0，此時Δ＝180(5m2－n2＋9)＞0，由韋達定理得y1y2＝5n由橢圓的對稱性可得S(－x1，－y1)．不妨設(shè)P(x0，y0)，由P，S，A1三點共線，得y0由P，N，A2三點共線，得y0所以2＝2m＋(n－3)y1+y2y1y2＝2此時直線OP的斜率kOP＝y(tǒng)0所以直線OP的方程為y＝n+3聯(lián)立x＝my+n，y故點Q在一條定直線上，該定直線的方程為x＝－3.關(guān)于定直線問題此類問題往往涉及動點，一般的解題方法是表示出動點的坐標(biāo)，利用消元法、觀察法等得到動點滿足的不變關(guān)系，即動點所在的定直線方程．已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的離心率為233，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P的動直線l與C的左、右兩支分別交于兩點A，B，若點M在線段AB上，滿足APAM＝BP(1)解：因為雙曲線C的離心率e＝ca設(shè)a＝3t，c＝2t，t＞0，所以F1(－2t，0)，F(xiàn)2(2t，0)，PF1＝(－2t－3，－1)，PF2＝(2t－3，－所以PF1·PF2＝(－2t－3)(2t－3)＋解得t＝1或t＝－1(舍)．又a2＋b2＝c2，所以a＝3，b＝1，所以雙曲線C的方程為x23－y2(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線l斜率不存在時，不成立．設(shè)l：y－1＝k(x－3)，即y＝kx＋1－3k，k∈－3由y可得(1－3k2)x2－6k(1－3k)x－3(2－6k＋9k2)＝0.由于點P在雙曲線內(nèi)部且k∈－33，33所以x1＋x2＝6k1－3k1－3設(shè)M(x0，y0)，根據(jù)題意，x1＜x0＜x2＜3，又APAM＝BP整理得6x0＋2x1x2＝(x0＋3)(x1＋x2)，即6x0－62－6k+9k2化簡得x0－2＝kx0－3k.又y0＝kx0＋1－3k，消去k，得x0－y0－1＝0，所以點M在定直線x－y－1＝0上．定值問題考向1長度或距離成定值問題【例3】雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左頂點為A，焦距為4，過右焦點F作垂直于實軸的直線交C(1)求雙曲線C的方程．(2)已知M，N是C上不同的兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為2，且MN的中垂線為直線l，是否存在半徑為1的定圓E，使得l被圓E截得的弦長為定值？若存在，求出圓E的方程；若不存在，請說明理由．解：(1)因為△ABD是直角三角形，所以∠BAD＝90?.又焦距為4，所以c＝2.由|AF|＝|BF|，可得a＋c＝b2整理得a2＋2a＝22－a2，解得a＝1或a＝－2(舍去)，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，則雙曲線C的方程為x2－y23(2)不妨設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為p(x0，y0).因為M，N是C上不同的兩點，且MN中點的橫坐標(biāo)為2，所以x由(1)知雙曲線C的方程為x2－y23＝所以x兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)－y1+y當(dāng)直線MN的斜率存在時，kMN＝y(tǒng)1因為MN的中垂線為直線l，所以l的方程為y－y0＝－y06(x－2)，即l：y＝－y06(所以直線l過定點T(8，0)．當(dāng)直線MN的斜率不存在時，M，N兩點關(guān)于x軸對稱，MN的中垂線l為x軸，此時直線l也過T(8，0)，所以存在以(8，0)為圓心的定圓E：(x－8)2＋y2＝1，使得直線l被圓E截得的弦長為定值2.解答圓錐曲線定值問題的技巧(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)引進變量法，解題流程為考向2斜率或代數(shù)式成定值問題【例4】(2024·呼和浩特模擬)已知橢圓x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的一個焦點為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B是x軸上的兩個動點，且|AM|＝|BM|，直線AM，BM分別交橢圓于點P，Q(均不同于M)，證明：直線PQ的斜率為定值．(1)解：由已知c＝2，得a2－b2＝4①.將點M3，－1代入橢圓方程得3a聯(lián)立①②，解得a2＝6，b2＝2，所以橢圓方程為x26(2)證明：顯然直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立x26+y22＝1，y＝kx+m，得(3k2滿足Δ＞0時，有x1＋x2＝－6由|AM|＝|BM|，得kMP＋kMQ＝0，即y1+1即kx1+m化簡得2kx1x2＋m+1－3k(x1＋x2)－23(m即33k2＋3k(m＋2)＋3(m＋1)＝0，即3k+又點M3，－1所以3k＋m＋1≠0，所以3k＋3＝0，所以k＝－33故直線PQ的斜率為定值－33關(guān)于直線的斜率或代數(shù)式的定值問題利用坐標(biāo)或參數(shù)表示出斜率或代數(shù)式是關(guān)鍵，通過化簡及變量滿足的關(guān)系得出定值即可．考向3平面圖形的面積成定值問題【例5】(2024·臨沂模擬)已知動點M(x，y)與點F(1，0)的距離和它到直線x＝4的距離之比是12，點M的軌跡為曲線C(1)求C的方程；(2)若點A，B，D，E在C上，且AB＝2DE，AD與BE交于點P，點P在橢圓x212+(1)解：由題意知x－化簡整理得曲線C的方程為x24(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由題意知x02由AB＝2DE，可知D，E分別為AP所以Dx1由x得x024+因為x0212+y029＝1，所以x024+y023同理3x0x2＋4y0y2＝0，所以A，B都在直線3x0x＋4y0y＝0上．由3得x2＝16y又因為直線AB過坐標(biāo)原點，所以|AB|＝2x2又點P到直線AB的距離d＝3x所以S△PAB＝12ABd＝又因為x0212+y02故S△PAB＝6，所以△PAB的面積為定值6.關(guān)于幾何圖形面積定值問題利用點的坐標(biāo)、直線斜率及相關(guān)的參數(shù)表示出幾何圖形的面積，再根據(jù)這些量滿足的關(guān)系論證幾何圖形面積為定值．1．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，其焦點為F，O為坐標(biāo)原點，直線l與拋物線C相交于不同的兩點A，B，M為AB的中點．(1)若p＝2，M的坐標(biāo)為(1，1)，求直線l的方程；(2)若直線l過焦點F，AB的垂直平分線交x軸于點N，求證：2MN(1)解：當(dāng)p＝2時，拋物線C：y2＝4x.由題意知直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)直線l的方程為x－1＝t(y－1)，即x＝ty＋1－t.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝ty+1－t，y2＝4x，所以Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)>0，則有y1＋y2＝4t，所以4t＝2，即t＝12所以直線l的方程為2x－y－1＝0.(2)證明：因為拋物線C：y2＝2px(p>0)，所以焦點F的坐標(biāo)為p2由題意知直線l的斜率存在且不為0，又因為直線l過焦點F，故設(shè)直線l的方程為x＝ty＋p由x＝ty+p2，y2＝2px所以Δ＝4p2t2＋4p2>0，y1＋y2＝2pt.所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，所以Mpt2所以MN的方程為y－pt＝－tx－令y＝0，解得x＝pt2＋3p所以Npt2+3p2，0，所以MN2＝p2＋p2t2，|FN|＝所以2MN2FN＝2．如圖，曲線C1是以原點O為中心，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點的橢圓的一部分，曲線C2是以O(shè)為頂點，F(xiàn)2為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C1和C2的一個交點，且∠AF2F1為鈍角，若|AF1|＝72，AF(1)求曲線C1和C2所在橢圓和拋物線的方程．(2)過F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1和C2交于B，E，C，D四點，若G為CD的中點，H為BE的中點，問BE·解：(1)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2＝1a＞b設(shè)A(x，y)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，則(x＋c)2＋y2＝722，(x－c)2＋y2＝兩式相減得x·c＝32由拋物線的定義可知|AF2|＝x＋c＝52則c＝1，x＝32或x＝1，c＝3又因為∠AF2F1為鈍角，所以x＞c，所以c＝1，x＝32所以曲線C1所在的橢圓方程為x2曲線C2所在的拋物線方程為y2＝4x0≤(2)設(shè)B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，代入x29+y28＝1，得8yk+1即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，Δ＝(16k)2＋4×(8＋9k2)×64k2＞0，則y1＋y2＝－16k將y＝k(x－1)(k≠0)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0，Δ＝16＋4×k×4k＞0，則y3＋y4＝4k，y3y4＝－4所以BE·GF2CD＝－16k23．已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)(1)求橢圓C的方程；(2)已知點P，M，N為橢圓C上的三點，若四邊形OPMN為平行四邊形，證明：四邊形OPMN的面積S為定值，并求該定值．(1)解：由橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)所以a2－b2a2＝12，則將Qb，ab代入橢圓C的方程，得b解得b2＝4，所以a2＝8，所以橢圓C的方程為x28(2)證明：當(dāng)直線PN的斜率k不存在時，直線PN的方程為x＝2或x＝－2，從而有|PN|＝23，所以四邊形OPMN的面積為S＝12PN·當(dāng)直線PN的斜率k存在時，設(shè)直線PN的方程為y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)．將PN的方程代入C整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，Δ＝16k2m2－4×(1＋2k2)(2m2－8)＞0，所以x1＋x2＝－4y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝2m由OM＝OP+ON，將M點坐標(biāo)代入橢圓C的方程，得m2＝1＋2k2.又點O到直線PN的距離為d＝m1+k2，|PN所以四邊形OPMN的面積為S＝d·|PN|＝|m|·|x1－x2|＝1+2k綜上，四邊形OPMN的面積S為定值16k課時質(zhì)量評價(五十六)1．(2024·重慶模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于異于點B的兩點P，Q，直線BP，BQ與x軸相交于M(xM，0)，N(xN，0)，若1xM+1x(1)解：橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a＞橢圓的上頂點B到兩焦點的距離之和為4，則2a＝4，所以a＝2，c＝3，從而b2＝a2－c2＝1，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2(2)證明：將y＝kx＋m代入x24＋y2＝1，消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝－8由于B(0，1)，則直線BP：y－1＝y(tǒng)1－令y＝0，得xM＝x11－y1，同理可得若1xM+1xN＝1，則xM＋xN則x1x2＝x1＋x2－(x1y2＋x2y1)，即(2k＋1)x1x2＝(1－m)(x1＋x2)，整理得(m－1)·(2k＋m＋1)＝0，所以2k＋m＋1＝0或m＝1.當(dāng)m＝1時，直線l：y＝kx＋1過定點(0，1)，與條件“直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于異于點B的兩點P，Q”矛盾；當(dāng)2k＋m＋1＝0時，直線l：y＝kx＋m可化為y＝k(x－2)－1，過定點(2，－1)．綜上，直線l過一定點，定點坐標(biāo)為(2，－1)．2．如圖，已知拋物線C：y＝12x2，直線y＝kx＋2交拋物線C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，設(shè)拋物線C在點A處的切線為l1，在點B處的切線為l2，證明：l1與l2的交點M證明：設(shè)Ax1，12x12，B把y＝kx＋2代入y＝12x2，得x2－2kx－4＝0，Δ＝4k2＋16＞0則x因為y＝12x2，所以y′＝x故經(jīng)過點Ax1，12x12的切線l1的方程為y－12x12＝x1(x－x同理，經(jīng)過點Bx2，12x22的切線l2的方程為y由①②消去x，可得y＝12x1x2＝－2，即y0＝－所以點M在定直線y＝－2上．3．已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的一個焦點為F1(－1，0)，其左頂點為A，上頂點為B，且F1到直線(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓E：x2a2+y2b2＝λ(λ＞0且λ≠1)，則稱橢圓E為橢圓C的λ倍相似橢圓．已知橢圓E是橢圓C的3倍相似橢圓，直線l：y＝kx＋m與橢圓C，E交于四點(依次為點M，N，P，Q，如圖)，且MQ+(1)解：由題可知A(－a，0)，B(0，b)，且a＞1，所以直線AB的方程為x－a+yb＝1，即bx－ay所以F1(－1，0)到直線AB的距離為d＝ab－b所以a2＋b2＝7(a－1)2.又b2＝a2－1，解得a＝2或a＝45(舍去)，b＝3所以橢圓C的方程為x24(2)證明：橢圓C的3倍相似橢圓E的方程為x212+設(shè)N，P，M，Q各點的坐標(biāo)依次為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，將y＝kx＋m代入橢圓C的方程，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，所以Δ1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝48(4k2＋3－m2)＞0(*)，x1＋x2＝－8km所以|x1－x2|＝x1將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－36＝0，Δ2＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－36)＞0，所以x3＋x4＝－8km|x3－x4|＝x3+x所以x1＋x2＝x3＋x4，所以線段NP與MQ的中點相同，所以|MN|＝|PQ|.由MQ+PQ＝2NQ，得NM所以|x3－x4|＝3|x1－x2|，所以4312k2+化簡得12k2＋9＝4m2，滿足(*)式，所以4m29即點(k，m)在定曲線4y294．已知橢圓E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，過點P(－1，－1)且與x軸平行的直線與橢圓E恰有一個公共點，過點(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點P的動直線與橢圓E交于M，N兩點，T為y軸上的一點，設(shè)直線MT和NT的斜率分別為k1和k2，若1k1+解：(1)由題意可得b＝1，由1a2＋y2＝可得|y|＝1－由題意可知21－1a2＝3所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2(2)設(shè)T(0，t)，顯然直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為x＝m(y＋1)－1＝my＋m－1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立x＝my+m－1，x2+4y2＝4，整理可得(4＋m2)y2＋2mΔ＝4m2(m－1)2－4(4＋m2)[(m－1)2－4]＞0，y1＋y2＝－2m由題意可得1k1＝2my1＝－8因為其值為定值，所以當(dāng)t＝－1時，定值為－8，所以T(0，－1)．5．已知橢圓E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F1(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，橢圓E的下頂點為A，過點B(0，2)作一條與y軸不重合的直線，該直線交橢圓E于C，D兩點．直線AD，AC分別交x軸于點H，G.求證：△ABG與△AOH的面積之積為定值，并求出該定值．(1)解：過F1且斜率為2