三角形全等幾何模型-“一線三直角”模型(專項練習(xí))(培優(yōu)篇)八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練(人教版)

專題12.25三角形全等幾何模型-“一線三直角”模型（專項練習(xí)）（培優(yōu)篇）知識儲備：1、模型一：三垂直全等模型圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA2、拓展：模型二：三等角全等模型圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA一、單選題1．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位線，點D在AB上，把點B繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°<α<180°）角得到點F，連接AF，BF．下列結(jié)論：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，則α=2∠BAC或2∠ABC；③若α=90°，連接EF，則；其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③二、填空題2．如圖，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，分別以，為直角邊在第三、第四象限作等腰，等腰，連接交軸于點，點的坐標(biāo)是______．3．如圖，AO⊥OM，OA=7，點B為射線OM上的一個動點，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點，當(dāng)點B在射線OM上移動時，則PB的長度____________．三、解答題4．在中，．(1)如圖①，以點為直角頂點，為腰在右側(cè)作等腰，過點作交的延長線于點．求證：．(2)如圖②，以為底邊在左側(cè)作等腰，連接，求的度數(shù)．(3)如圖③，中，,垂足為點，以為邊在左側(cè)作等邊,連接交于，,求的長．5．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點E為△ABC內(nèi)一點，連接AE，CE，CE⊥AE，過點B作BD⊥AE，交AE的延長線于D．（1）如圖1，求證BD=AE；（2）如圖2，點H為BC中點，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點M為CH上的一點，連接EM，點F為EM的中點，連接FH，過點D作DG⊥FH，交FH的延長線于點G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長．6．如圖1，在中，，，分別過、兩點作過點的直線的垂線，垂足為、；（1）如圖1，當(dāng)、兩點在直線的同側(cè)時，猜想，、、三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.（2）如圖2，當(dāng)、兩點在直線的兩側(cè)時，、、三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.（3）如圖3，，，.點從點出發(fā)沿路徑向終點運動；點從點出發(fā)沿路徑向終點運動.點和分別以每秒2和3個單位的速度同時開始運動，只要有一點到達(dá)相應(yīng)的終點時兩點同時停止運動；在運動過程中，分別過和作于，于.問：點運動多少秒時，與全等？（直接寫出結(jié)果即可）7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點P從點A出發(fā)，沿折線AC—CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點B出發(fā)沿折線BC—CA以每秒3個單位長度的速度向終點A運動，P、Q兩點同時出發(fā)．分別過P、Q兩點作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)點P的運動時間為t（秒）：（1）當(dāng)P、Q兩點相遇時，求t的值；（2）在整個運動過程中，求CP的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)△PEC與△QFC全等時，直接寫出所有滿足條件的CQ的長．8．（1）如圖1，已知：在中，，，直線經(jīng)過點，，垂足分別為點、．證明：①；②．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，、、三點都在上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長交于點，求證：是的中點．9．如圖，A（-2，0），B（0，4）以B點為直角頂點在第二象限作等腰直角△ABC（1）求C點的坐標(biāo)；（2）如圖2點E為y軸正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角△AEM，過M作MN⊥x軸于N，求OE-MN的值．10．如圖，，，，求的度數(shù).11．綜合與實踐．積累經(jīng)驗我們在第十二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在一些探究題中經(jīng)常用以上知識轉(zhuǎn)化角和邊，進而解決問題．例如：我們在解決：“如圖1，在中，，，線段經(jīng)過點，且于點，于點.求證：，”這個問題時，只要證明，即可得到解決，（1）請寫出證明過程；類比應(yīng)用（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，中，，，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，求點的坐標(biāo)．拓展提升（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為____________．12．問題背景：（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．請寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）實際應(yīng)用：（3）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點C的坐標(biāo)為(－2，0)，點A的坐標(biāo)為(－6，3)，請直接寫出B點的坐標(biāo)．13．如圖，中，，，點為射線上一動點，連結(jié)，作且．（1）如圖1，過點作交于點，求證：；（2）如圖2，連結(jié)交于點，若，，求證：點為中點．（3）當(dāng)點在射線上，連結(jié)與直線交于點，若，，則______．（直接寫出結(jié)果）14．如圖，以的邊和，向外作等腰直角三角形和，連接，是的高，延長交于點，過點作的垂線交于點．（1）求證：；（2）求證：點是的中點．15．如圖，等腰中，，，點，分別在坐標(biāo)軸上．（1）如圖1，若點的橫坐標(biāo)為，直接寫出點的坐標(biāo)_______；圖1（2）如圖2，若點的坐標(biāo)為，點在軸的正半軸上運動時，分別以，為邊在第一、第二象限作等腰，等腰，連接交軸于點，當(dāng)點在軸的正半軸上移動時，的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．圖216．提出問題：如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點B，另一條直角邊交邊DC與點E，求證：PB=PE分析問題：學(xué)生甲：如圖1，過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N通過證明兩三角形全等，進而證明兩條線段相等．學(xué)生乙：連接DP，如圖2，很容易證明PD=PB，然后再通過“等角對等邊”證明PE=PD，就可以證明PB=PE了．解決問題：請你選擇上述一種方法給予證明．問題延伸：如圖3，移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點B，另一條直角邊交DC的延長線于點E，PB=PE還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．17．（提出問題）如圖1，在直角中，∠BAC=90°，點A正好落在直線l上，則∠1、∠2的關(guān)系為

（探究問題）如圖2，在直角中，∠BAC=90°，AB=AC，點A正好落在直線l上，分別作BD⊥l于點D，CE⊥l于點E，試探究線段BD、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（解決問題）如圖3，在中，∠CAB、∠CBA均為銳角，點A、B正好落在直線l上，分別以A、B為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分別過點E、F作直線l的垂線，垂足為M、N．①試探究線段EM、AB、FN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC=3，BC=4，五邊形EMNFC面積的最大值為18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點分別是x軸上兩點，點是y軸正半軸上的動點，過點P作，且．（1）如圖1，連接相交于點E，求證：；（2）如圖1，連接，求證：平分；（3）如圖2，連與y軸相交于點Q，當(dāng)動點P在y軸正半軸上運動時，線段的長度是否改變？如果不變，請求出其值；如果改變，請求出其變化范圍．19．在中，，，點是的中點，點是射線上的一個動點（點不與點、、重合），過點作于點，過點作于點，連接，．（問題探究）如圖1，當(dāng)點在線段上運動時，延長交于點，（1）求證：≌；（2）與的數(shù)量關(guān)系為：______（直接寫結(jié)論，不需說明理由）；（拓展延伸）（3）①如圖2，當(dāng)點在線段上運動，的延長線與的延長線交于點，的大小是否變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請說明理由；②當(dāng)點在射線上運動時，若，，直接寫出的面積，不需證明．20．如圖，線段AB=4，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊作正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點E，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A、B不重合）．（1）求證：AEP≌CEP；（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）請直接寫出AEF的周長．

參考答案1．C【分析】①根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可判斷；②分兩種情況討論：或，分別求α即可；③先根據(jù)題意畫出圖形，首先證明，然后得出，最后利用即可求解．【詳解】①∵DE是△ABC的中位線，．由旋轉(zhuǎn)可知，，．，，即，∴△ABF是直角三角形，故①正確；，．若△ABF和△ABC全等，當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上所述，若△ABF和△ABC全等，則α=2∠BAC或2∠ABC，故②正確；過點F作交ED的延長線于點G，∵DE是的中位線，，．，．，，．，．，D為AB中點，．在和中，，，故③正確；所以正確的有：①②③．故選：C．【點撥】本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．【分析】作軸于，求出，證，得BN=AO，再由，證，推出=2，由點的坐標(biāo)為即可得出點的坐標(biāo)為．【詳解】解：如圖，作軸于，，，，，在和中，，，OA=BN，在和中，，，，又因為點的坐標(biāo)為，，，又∵點的坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)為．故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，有一定的難度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．3．【分析】根據(jù)題意過點E作EN⊥BM，垂足為點N，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；進而證明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作EN⊥BM，垂足為點N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO與△BEN中，，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，∴BF=NE，在△BPF與△NPE中，，∴△BPF≌△NPE（AAS），∴BP=NP=BN，BN=AO，∴BP=AO=×7=．故答案為：．【點撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形并靈活運用有關(guān)定理進行分析．4．（1）見解析；（2）；（3）4+6【分析】（1）根據(jù)“一線三垂直”模型，可以證得；（2）過點C作CM⊥CO交BO于M，AC與BO交于點N，利用旋轉(zhuǎn)模型證明≌，由外角的性質(zhì)計算即可；（3）在CE上截取一點H，使CH=AE，連接OH，利用等腰直角△AOB，等邊△BOC證得≌，通過等角代換證明為等邊三角形，由線段和計算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）∵∠BAC=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，在△AOB和△CDA中，∴△AOB≌△CDA（AAS）（2）如圖②，過點C作CM⊥CO交BO于M，AC與BO交于點N，，，，，，∵AC=BC，≌，，，，故答案為：135°．（3）如圖③，在CE上截取一點H，使CH=AE，連接OH，∵△AOB是等腰直角三角形，△BOC是等邊三角形，所以，，≌，，AE=CH=3，∠AOE=∠COH，，∠AOB=90°，，，∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°，，為等邊三角形，，Rt△ADE中，∠DAE=45°-15°=30°，

∴AE=2DE，

設(shè)DE=x，則AE=2x，AD=x，

∵AD=OD，

∴2+x=x，

x=+1，

∴AE=2x=2+2，

∴AC=CH+HE+AE=2+2+2+2+2=4+6．故答案為：4+6．【點撥】本題考查了“一線三垂直”模型，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等角代換的應(yīng)用，計算線段和的應(yīng)用，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）見解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，進而利用全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BD即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，進而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）過點M作MS⊥FH于點S，過點E作ER⊥FH，交HF的延長線于點R，過點E作ET∥BC，根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△CAE與△ABD中∴△CAE≌△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）連接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，∴∠EAH＝∠DBH，在△AEH與△BDH中∴△AEH≌△BDH（SAS），∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°即∠EHD＝90°，∴∠EDH＝∠DEH＝；（3）過點M作MS⊥FH于點S，過點E作ER⊥FH，交HF的延長線于點R，過點E作ET∥BC，交HR的延長線于點T．∵DG⊥FH，ER⊥FH，∴∠DGH＝∠ERH＝90°，∴∠HDG+∠DHG＝90°∵∠DHE＝90°，∴∠EHR+∠DHG＝90°，∴∠HDG＝∠HER在△DHG與△HER中∴△DHG≌△HER（AAS），∴HG＝ER，∵ET∥BC，∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，∠ETF＝∠FHM，∵∠EHB＝∠BHG，∴∠HET＝∠ETF，∴HE＝HT，在△EFT與△MFH中，∴△EFT≌△MFH（AAS），∴HF＝FT，∴，∴ER＝MS，∴HG＝ER＝MS，設(shè)GH＝6k，F(xiàn)H＝5k，則HG＝ER＝MS＝6k，，k＝，∴FH＝5，∴HE＝HT＝2HF＝10．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于壓軸題．6．（1）（2）（3）當(dāng)點運動6秒或10秒時與全等【分析】（1）根據(jù)題意首先證明，在采用等量替換即可證明.（2）根據(jù)題意首先證明，在采用等量替換即可證明.（3）根據(jù)與全等，列方程即可，注意要分類討論.【詳解】（1）.理由如下：∵在中，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴.（2）..理由如下：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）解：①當(dāng)點在上，點在上時，，解得，②當(dāng)點在上，點在上時，，解得.③當(dāng)點在上，點在上時，（t>11）解得：t=6(舍)④當(dāng)點運動到點，點在上時，（11<t≤），解得（舍）.所以當(dāng)點運動6秒或10秒時與全等.【點撥】本題主要考查三角形的全等證明,關(guān)鍵在于第三問的分類討論思想,這是數(shù)學(xué)的一個重要思想，應(yīng)當(dāng)熟練掌握.7．（1）t的值為秒；（2）CP的長為；（3）當(dāng)△PEC與△QFC全等時，滿足條件的CQ的長為5或或6【分析】（1）由題意得t+3t=6+8，即可求得P、Q兩點相遇時，t的值；

（2）根據(jù)題意即可得出CP的長為；

（3）分兩種情況討論得出關(guān)于t的方程，解方程求得t的值，進而即可求得CQ的長．【詳解】解：（1）由題意得t＋3t＝6＋8，解得：t＝（秒），當(dāng)P、Q兩點相遇時，t的值為秒；（2）由題意可知AP＝t，則CP的長為；（3）當(dāng)P在AC上，Q在BC上時，∵∠ACB＝90，∴∠PCE＋∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC＋∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；當(dāng)P在AC上，Q在AC上時，即P、Q重合時，則CQ＝PC，由題意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝，∴CQ＝3t﹣8＝，當(dāng)P在BC上，Q在AC上時，即A、Q重合時，則CQ＝AC＝6，綜上，當(dāng)△PEC與△QFC全等時，滿足條件的CQ的長為5或或6．【點撥】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，線段的動點問題，根據(jù)題意得出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．8．（1）①見解析；②見解析；（2）成立：DE=BD+CE；證明見解析；（3）見解析【分析】（1）①根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可求解；②由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD＋CE；（2）由條件可知∠BAD＋∠CAE＝180°?α，且∠DBA＋∠BAD＝180°?α，可得∠DBA＝∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；（3）由條件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結(jié)論I是EG的中點．【詳解】（1）①∵BD⊥直線l，CE⊥直線l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立：DE=BD+CE證明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE=BD、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如圖過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中∴△EMI≌△GNI（AAS）∴EI=GI∴I是EG的中點．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解題的關(guān)鍵．9．（1）C（-4，6）；（2）OE－MN=2．【分析】（1）作CE⊥y軸于E，易證△CBE≌△BAO，即可得點C的坐標(biāo)；（2）作MF⊥y軸于F，易證△AOE≌△EFM，可得OE－MN=EF=OA即可求得答案．【詳解】（1）作CE⊥y軸于E，如圖1，∵A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，∵∠CBA=90°，∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，∴∠ECB=∠ABO，在△CBE和△BAO中∴△CBE≌△BAO，∴CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，∴C（-4，6）．（2）如圖2，作MF⊥y軸于F，則∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，∴∠AEO=∠EMF，在△AOE和△EMF中，∴△AEO≌△EMF，∴EF=AO=2，MF=OE，∵MN⊥x軸，MF⊥y軸，∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，∴四邊形FONM是矩形，∴MN=OF，∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．考點：全等三角形的判定及性質(zhì)．10．∠ACB=90°.【分析】作AM⊥直線OC于M，BN⊥直線OC于N．通過AAS證明△AOM≌△OBN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作AM⊥直線OC于M，BN⊥直線OC于N．∵∠ACO=135°，∴∠ACM=45°，∴AM=CM，在△AOM與△OBN中，，∴△AOM≌△OBN(AAS)，∴OM=BN，ON=AM=CM，∴NC=OM=BN，又∵BN⊥NS．∴∠BCN=45°，∴∠ACB=∠ACO-∠BCN=90°.【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，有一定的綜合性，難點是作出輔助線．11．（1）見解析；（2）B的坐標(biāo)（3，1）；（3）（3，4）【分析】（1）根據(jù)AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，進而證明，最后再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出AD=CE，CD=BE；（2）如圖4，過點B作BE⊥x軸于點E，通過證明，進而得出AO=CE，CO=BE，再根據(jù)點A的坐標(biāo)為（0，2），點C的坐標(biāo)（1，0），求得OE=3，最后得出B的坐標(biāo)（3，1）；（3）如圖5，過點C做CF⊥x軸與點F，再過點A、B分別做AE⊥CF，BD⊥CF，通過證明，進而得出BD=CE=，AE=CD，最后根據(jù)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，得出B坐標(biāo)（3，4）.【詳解】（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE∴∠D=∠E=90°∴∠DAC+∠ACD=90°又∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°∴∠DAC=∠BCE在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB∴AD=CE，CD=BE（2）解：如圖，過點B作BE⊥x軸于點E∵∠AOC=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠ACB=90°∴∠ACO+∠BCE=90°∴∠OAC=∠BCE在△AOC和△CEB中∴△AOC≌△CEB∴AO=CE，CO=BE又∵點A的坐標(biāo)為（0，2），點C的坐標(biāo)（1，0）∴AO=2，CO=1∴CE=2，BE=1∴OE=3∴B的坐標(biāo)（3，1）（3）（3，4）解：如圖5，過點C做CF⊥x軸與點F，再過點A、B分別做AE⊥CF，BD⊥CF，∵AE⊥CF，BD⊥CF∴，∴,又∵，∴，∴,∴在和中，∴（AAS）∴BD=CE，AE=CD，又∵的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，∴CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2設(shè)B點坐標(biāo)為（a，b），則a=4-1=3，b=2+2=4，∴B坐標(biāo)（3，4）.【點撥】本題綜合考查了全等三角形的證明以及平面直角坐標(biāo)系中求點坐標(biāo)的綜合應(yīng)用問題；通過構(gòu)建“一線三等角”模型，再利用直角三角形的性質(zhì)以及同角的余角相等解決角關(guān)系是本題的關(guān)鍵.12．（1）證明見解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)【分析】（1）證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明∠ABD=∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；

（3）根據(jù)△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答．【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD∵在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE即：DE＝BD＋CE（2）解：數(shù)量關(guān)系：DE＝BD＋CE理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，

∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，

∴∠ABD=∠CAE，

在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如圖，作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，

由（1）可知，△AEC≌△CFB，

∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，

∴OF=CF-OC=1，

∴點B的坐標(biāo)為B（1，4）．【點撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（1）見解析；（2）見解析；（3）或【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；

（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長，得到答案；

（3）過F作FD⊥AG的延長線交于點D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計算即可．【詳解】解：（1）證明：∵FD⊥AC，

∴∠FDA=90°，

∴∠DFA+∠DAF=90°，

同理，∠CAE+∠DAF=90°，

∴∠DFA=∠CAE，

在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），

∴DF=AC，

∵AC=BC，∴FD=BC；

（2）作FD⊥AC于D，

由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，

在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），

∴DG=CG=1，

∴AD=2，

∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，

∴E點為BC中點；

（3）當(dāng)點E在CB的延長線上時，過F作FD⊥AG的延長線交于點D，

BC=AC=4，CE=CB+BE=7，

由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE=7，，∴，同理，當(dāng)點E在線段BC上時，，故答案為：或.【點撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且，利用得到；（2）由（1）利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到，再，交延長線于點，同理可得到，等量代換得到，再由一對直角相等且對頂角相等，利用得到，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證．【詳解】證明：（1）∵，，，，，在和中，，，（2）由（1）得，，作，交延長線于點，如圖；同理得到，，，在和中，，，．即點是的中點．【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握K字形全等進行證明是解本題的關(guān)鍵．15．（1）；（2）不變，PB的值為3【分析】（1）作CD⊥BO，可證△ABO全等于△BCD，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；（2）作EG⊥y軸，可證△BAO全等于△EBG全等于△EGP全等于△FBP，可得BG=OA和PB=PG,即可求得PB是AO的2倍，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖，作CD⊥BO于D，∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBD=∠BAO,在△ABO和△BCD中，∴△ABO≌△BCD,∴CD=BO=5,∴B點的坐標(biāo)（0,5）故答案為：．（2）不發(fā)生改變，理由如下：作軸于，，，．在和中，，，在和中，．．∴不變，PB的值為3．【點撥】本題考查三角形全等、等腰直角三角形性質(zhì)、勾股定理、角平分線性質(zhì)，熟練掌握添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．16．解決問題：證明見解析；問題延伸：成立，證明見解析.【分析】解決問題：對于圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，則四邊PMCN為矩形，根據(jù)角平分線性質(zhì)得PM=PN，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根據(jù)“AAS”證明△PBM≌△PEN，則PB=PE；對于圖2，連結(jié)PD，根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，CA平分∠BCD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠BCP=∠DCP，再根據(jù)“SAS”證明△CBP≌△CDP，則PB=PD，∠CBP=∠CDP，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補角相等得到∠PBC=∠PED，則∠PED=∠PDE，所以PD=PE，于是得到PB=PD；問題延伸：對于圖3，過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥BC，PN⊥CD，得到四邊PMCN為矩形，PM=PN，則∠MPN=90°，利用等角的余角相等得到∠BPM=∠EPN，然后根據(jù)“AAS”證明△PBM≌△PEN，所以PB=PE．【詳解】解決問題：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊PMCN為矩形，PM=PN，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBM=∠PEN，在△PBM和△PEN中∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE；如圖2，連結(jié)PD，∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCP=∠DCP，在△CBP和△CDP中，∴△CBP≌△CDP（SAS），∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PDE，∴PD=PE，∴PB=PD；問題延伸：如圖3，PB=PE還成立．理由如下：過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊PMCN為矩形，PM=PN，∴∠MPN=90°，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠BPM+∠MPE=90°，而∠MEP+∠EPN=90°，∴∠BPM=∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE．17．提出問題：；探究問題：，理由見解析；解決問題：①，理由見解析；②．【分析】提出問題：根據(jù)平角的定義、角的和差即可得；探究問題：先