人教版高中物理舉一反三-必修一3.4.1力的合成和分解（教師版）

3.4.1力的合成和分解解析版目錄TOC\o"1-1"\h\u一、【力的合成與分解概念知識點梳理】 1二、【力的三角形定則和多邊形定則知識點梳理】 2三、【合力和分力的大小關(guān)系知識點梳理】 4四、【有限制條件力的合成和分解知識點梳理】 5五、【按力的效果分解力知識點梳理】 7六、【力的正交分解知識點梳理】 10【力的合成與分解概念知識點梳理】共點力、合力和分力1.共點力：幾個力如果都作用在物體的同一點，或者它們的作用線相交于一點，這幾個力叫作共點力。2.合力和分力(1)合力：假設(shè)一個力單獨作用的效果跟某幾個力共同作用的效果相同，這個力就叫作那幾個力的合力。(2)分力：假設(shè)幾個力共同作用的效果跟某個力單獨作用的效果相同，這幾個力就叫作那個力的分力。力的合成(1)定義：求幾個力的合力的過程叫作力的合成。(2)平行四邊形定則：在兩個力合成時，以表示這兩個力的有向線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就代表合力的大小和方向。(3)合力的求解方法：①作圖法；②計算法：根據(jù)平行四邊形定則作出示意圖，然后利用數(shù)學(xué)知識求解對角線，即為合力。(4)合力的大?。簗F1-F2|≤F合≤F1+F2(5)多個共點力合成的方法：先求出任意兩個力的合力，再求出這個合力跟第三個力的合力，直到把所有的力都合成進(jìn)去，最后得到的結(jié)果就是這些力的合力?！玖Φ暮铣膳c分解概念舉一反三練習(xí)】1．（多選）下列說法正確的是（）A．分力和合力同時作用在同一物體上B．位移、加速度、彈力、摩擦力都是矢量，進(jìn)行矢量運算時遵循平行四邊形法則C．物體的形狀改變后，其重心位置不會改變D．質(zhì)點同時受三個力而靜止，其中一個力大小為5N，另外兩個力的合力大小一定是5N【答案】BD【詳解】A．合力是分力的相同效果的力，是等效替代關(guān)系，不是物體受到的力，選項A錯誤；B．位移、加速度、彈力、摩擦力都是既有大小又有方向的物理量，是矢量，進(jìn)行矢量運算時遵循平行四邊形法則，選項B正確；C．物體的形狀改變后，其重心位置可能會改變，選項C錯誤；D．質(zhì)點同時受三個力而靜止，則三個力的合力為零，若其中一個力大小為5N，另外兩個力的合力大小一定是5N，選項D正確。故選BD。2．（多選）下列關(guān)于力的合成與分解的說法中正確的有（）A．合力可能小于任一個分力B．用平行四邊形定則求合力，兩條對角線都是合力C．已知合力和兩個分力的方向，分解結(jié)果是唯一的D．兩個力的夾角一定，只讓其中的某個分力增大，則合力一定增大【答案】AC【詳解】A．由平行四邊形定則可知，合力可能大于、小于或等于任意一個分力，故A正確；B．兩個力合成時，以表示這兩個力的線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就代表合力的大小和方向，所以力的合成的平行四邊形定則只適用于共點力，與兩個分力共點的那條對角線所表示的力才是它們的合力，故B錯誤；C．根據(jù)平行四邊形定則可知，若已知合力和兩個分力的方向，分解結(jié)果是唯一的，故C正確；D．若兩個力反向，兩個力的夾角一定，只讓其中的某個分力增大，則合力可能減小，故D錯誤；故選AC。3．（多選）下面關(guān)于合力和它的兩個分力的關(guān)系的敘述中，正確的是（）A．合力一定大于其中任意的一個分力B．合力有可能小于其中任意一個分力C．兩個分力的大小不變，夾角在0～之間變化，夾角越大，其合力也越大D．兩個力F1和F2的夾角θ不變，F(xiàn)1大小不變，F(xiàn)2增大，合力F可能減小【答案】BD【詳解】AB．合力可能等于分力、可能小于分力、可能大于分力，故A錯誤，B正確；C．兩個分力的大小不變，夾角在0～之間變化，夾角越大，其合力越小，故C錯誤；D．兩個力F1和F2的夾角θ不變，F(xiàn)1大小不變，F(xiàn)2增大，若與方向相反且，則合力F減小，故D正確。故選BD。4．如圖所示，將光滑斜面上的物體的重力mg分解為、兩個力，下列結(jié)論不正確的是（）A．、與mg的關(guān)系滿足平行四邊形定則B．物體受mg、、、四個力作用C．物體只受重力mg和彈力的作用D．、、三個力的合力不為零【答案】B【詳解】ABC．在光滑斜面上的物體只受重力、支持力作用，、是重力的分力，分力與合力滿足平行四邊形定則，故AC正確，B錯誤；D．FN、F2的合力等于零，所以FN、F1、F2三個力的合力大小等于F1，方向沿斜面向下，故D正確。故選B。【力的三角形定則和多邊形定則知識點梳理】1.定義：三角形定則是指兩個力（或其他矢量）合成，其合力應(yīng)當(dāng)將一個力的起始點移動到另一個力的終止點，合力的方向為從第一個的起點指向第二個的終點。合力與分力組成首尾相接的矢量三角形此法由平行四邊形定則演化而來，因為平行四邊形法無法應(yīng)用到共線力的合成，故而此法應(yīng)用更為廣泛，還有一點：矢量可以平移，但前提是不能改變它的方向和大小。其實三角形定則是平行四邊形定則的簡化。如果物體受到三個共點力達(dá)到平衡，順次平移這些力的作用線，使其首尾相接，則必構(gòu)成一個封閉的三角形。當(dāng)物體受到幾個共點力達(dá)到平衡時，順次平移這些力的作用線，使其首尾相接，則必構(gòu)成一個封閉的多邊形。【力的三角形定則和多邊形定則舉一反三練習(xí)】5．如圖所示，在每個選項中都有三個力，大小分別為，，，三個力恰好圍成封閉的直角三角形，頂角為直角，則這三個力的合力的最大的是（）A．B．C． D．【答案】B【詳解】由矢量合成的法則可知，A中的合力的大小為：；B圖中三個力的合力為：；C圖中三個力的合力為0；D圖中三個力的合力為：所以B圖合力最大，B正確。故選B。6．（多選）速度是矢量，速度的變化量Δv也是矢量，一輛汽車的初速度為v1，末速度為v2，下列關(guān)于初速度、末速度及速度變化量的矢量關(guān)系圖中，可能正確的是（）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】由題意可得根據(jù)矢量相加的法則可知，滿足該條件的只有AB選項。故選AB。7．如圖，有五個力作用于同一點O，表示這五個力的有向線段恰分別構(gòu)成一個正六邊形的兩條鄰邊和三條對角線。已知，則這五個力的合力大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解法一：利用平行四邊形定則，如圖所示最大力為，根據(jù)平行四邊形定則，與的合力為，與的合力為，這五個力的合力為3倍的，已知，根據(jù)幾何關(guān)系可知所以合力的大小為故選D。解法二：利用三角形定則，如圖所示將力、平移到與、與的首端之間，、的合力等于，、的合力等于，由幾何關(guān)系可知故這五個力的合力大小為故選D。解法三：利用對稱法，如圖所示由對稱性，和的夾角為，，則合力在其夾角的平分線上，合力的大小等于其分力的大小，故力和的合力同理，和的合力也在其夾角的平分線上，由圖中幾何關(guān)系可知故這五個力的合力為故選D。解法四：利用正交分解法，建立如圖所示的正交坐標(biāo)系將正交分解，在y軸方向合力為零，故這五個力的合力等于在x軸方向的合力再由圖中幾何關(guān)系有故這五個力的合力為故選D。8．如圖所示，三角形ABC三邊中點分別是D、E、F，在三角形中任取一點O，如果、、三個矢量代表三個力，其中有向線段、、的長度和指向分別代表該力的大小和方向，那么這三個力的合力為（??）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于、、均表示矢量，故故而根據(jù)三角形定則，有由于故故故選A。【點睛】本題是矢量運算問題，關(guān)鍵是運用三角形定則分析，其實是數(shù)學(xué)模塊中向量運算的內(nèi)容。9．如圖所示，是等邊三角形的中心，是三角形中的任意點，如果作矢量、、分別表示三個力，三個力的方向如圖中箭頭所示，則這三個力的合力大小用的長度表示為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為是等邊三角形的中心，現(xiàn)增加三個力：矢量、、，如圖所示因矢量、、互成，故、、三者的合力為零，不影響、、三力的合成，根據(jù)三角形定則可知，與的合力為，與的合力為，與的合力為，故、、這三個力的合力為，C正確，ABD錯誤。故選C?！竞狭头至Φ拇笮￡P(guān)系知識點梳理】1.合力F的大小與兩個分力F1、F2的大小及分力的夾角θ(0°≤θ≤180°)的關(guān)系在兩個分力F1、F2大小一定的情況下，改變兩個分力F1、F2之間的夾角θ，合力F會發(fā)生改變：當(dāng)θ角減小時，合力F增大；當(dāng)θ角增大時，合力F減小；當(dāng)θ=0°時，F(xiàn)最大，有Fmax=F1+F2；當(dāng)θ=180°時，合力最小，有Fmin=F1總結(jié)：二力的合力大小的取值范圍是F1-F2≤F≤F1+F3.當(dāng)兩個分力的夾角θ一定時，兩個分力增大，其合力不一定增大。如兩個分力F1、F2的大小分別為6N、2N，當(dāng)夾角為180°時，F(xiàn)1、F2的大小分別變?yōu)?N、6N，其合力大小從4N變?yōu)?N。4.三個共點力的合力大小范圍(1)最大值：三個力方向相同時，合力最大，F(xiàn)max=F1+F2+F3。(2)最小值①若|F1-F2|≤F3≤F1+F2，則合力的最小值為零。②若F3不在|F1-F2|~(F1+F2)范圍內(nèi)，則合力的最小值不可能為零，合力的最小值等于三個力中最大的力減去另外兩個力。【合力和分力的大小關(guān)系舉一反三練習(xí)】10．關(guān)于大小分別為7N和5N的兩個力的合力，下列說法正確的是（

）A．合力可能為12NB．合力不可能為10NC．合力可能為15ND．合力不可能為4N【答案】A【詳解】大小分別為7N和5N的兩個力的合力范圍為即A．合力可能為12N，故A正確；B．合力可能為10N，故B錯誤；C．合力不可能為15N，故C錯誤；D．合力可能為4N，故D錯誤。故選A。11．（多選）下列說法中正確的是（）A．一個2N的力可分解為7N和4N的兩個分力B．一個2N的力可分解為9N和9N的兩個分力C．一個6N的力可分解為4N和3N的兩個分力D．一個8N的力可分解為4N和3N的兩個分力【答案】BC【詳解】A．7N和4N的合力范圍是3N≤F≤11N所以不可能是大小為2N分解得兩個力，故A錯誤；B．9N和9N的合力范圍是0≤F≤18N所以可能是大小為2N分解得兩個力，故B正確；CD．4N和3N的合力范圍是所以可能是大小為6N分解得兩個力，不可能是大小為8N分解得兩個力，故C正確，D錯誤。故選BC。12．有三個共點力，，，，它們的合力F的最小值是（）A．9N B．1N C．0N D．-1N【答案】C【詳解】與的合力在兩個力反向時最小為1N，合力在兩個力同向時最大為5N，即與的合力大小介于1N和5N之間。如果與的合力大小取4N，再與反向，三個力的合力就為零，故三個力的合力的最小值為零。故選C。13．兩個力F1和F2之間的夾角為θ，其合力為F。下列關(guān)于合力F和兩個分力F1、F2的說法中正確的是（）A．若F1和F2大小不變，θ越小，則合力F就越大B．合力F總比力F1和F2中的任何一個都大C．若夾角θ不變，力F1大小不變，F(xiàn)2增大，則合力一定增大D．合力F的大小等于力F1、F2的大小之和【答案】A【詳解】A．若F1和F2大小不變，根據(jù)平行四邊形定則可知，θ越小，則合力F就越大，故A正確；BCD．合力F的取值范圍為可知合力F可以比任一分力都大，也可以比任一分力都小；合力F的大小不一定等于力F1、F2的大小之和，若夾角θ不變，力F1大小不變，F(xiàn)2增大，合力不一定增大，故BCD錯誤。故選A?！居邢拗茥l件力的合成和分解知識點梳理】在力的平行四邊形中，合力為平行四邊形的對角線，合力一定時，對角線的大小、方向就確定。1.若已知合力和兩個分力的方向，力的平行四邊形是唯一的，有唯一解。2.已知合力和一個分力的大小和方向時，力的平行四邊形也是唯一的，有唯一解。3.已知合力F以及一個分力F1的方向和另一個分力F2的大小，求F1的大小和F2的方向時，可以合力F的箭頭端為圓心、以表示分力F2大小的線段為半徑作圓，用有向線段表示分力F1、F2。分析如下：(1)若F與F1的夾角為θ(θ<90°)，有下面幾種可能：①當(dāng)F2<Fsinθ時，無解，如圖甲所示；②F2=Fsinθ時，有唯一解，如圖乙所示；③Fsinθ<F2<F時，有兩個解，如圖丙所示；④F2≥F時，有唯一解，如圖丁所示。甲甲乙丙丁(2)若F與F1的夾角為θ(θ≥90°)，有下面兩種可能：若F2≤F，則無解，如圖戊所示；若F2>F，則有唯一解，如圖己所示。戊

己【有限制條件力的合成和分解舉一反三練習(xí)】14．要使物體所受合力的方向沿OO′方向，其中一個分力F1=10N且與OO′方向成θ=30°，另一個分力F2的最小值是（）

A．0 B．5NC．N D．10N【答案】B【詳解】當(dāng)F2的方向與OO′垂直時，F(xiàn)2有最小值，大小為故選B。15．兩個共點力、的合力F大小為60N，的方向與合力F的方向成角，的大小為40N。則（）A．的大小是唯一的 B．的方向是唯一的C．可取任意方向 D．有兩個可能的方向【答案】D【詳解】作出、和F的矢量三角形圖，如圖所示

由于且有所以的大小有兩種可能，即和，的方向有兩種可能，即的方向和的方向。故選D。16．（多選）如圖所示，將一個豎直向下F=180N的力分解成F1、F2兩個分力，F(xiàn)1與F的夾角為α=37°，F(xiàn)2與F的夾角為θ，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列說法中正確的是（

）

A．當(dāng)θ=90°時，F(xiàn)2=240N B．當(dāng)θ=37°時，F(xiàn)2=112.5NC．當(dāng)θ=53°時，F(xiàn)2=144N D．無論θ取何值，F(xiàn)2大小不可能小于108N【答案】BD【詳解】A．當(dāng)θ=90°時，有Ftanα=F2解得F2=135N故A錯誤；B．當(dāng)θ=37°時，有F=2F1cosα，F(xiàn)2=F1解得F1=F2=112.5N故B正確；C．當(dāng)θ=53°時，有F2=Fsinα解得F2=108N故C錯誤；D．當(dāng)F2與F1垂直且F1、F2和F構(gòu)成一個封閉的三角形時F2有最小值，且最小值為F2min=Fsinα解得F2min=108N故D正確。故選BD。17．（多選）如圖所示，作用于O點的三個力平衡。其中一個力為F1，沿-y方向，另一個大小未知的力F2與+x方向夾角θ，下列說法正確的是（）

A．力F3的最小值為F1cosθB．力F3只可能在第二、三象限C．力F3可能在第三象限的任意區(qū)D．力F3與F2夾角越小，則力F3與F2越小【答案】AB【詳解】A．由幾何知識知，當(dāng)F2⊥F3時，即虛線位置時，F(xiàn)3有最小值：

且最小值為故A正確；BC．三個力平衡時，合力必須為零，任意兩個力的合力與第三個力必須大小相等、方向相反，所以可知：力可能在第二象限的任意方向上，也可能在第三象限，故B正確，C錯誤；D．根據(jù)平衡條件得知：F3與F2的合力與F1大小相等、方向相反，F(xiàn)1大小不變，所以力F3與F2夾角越小時，F(xiàn)3與F2的合力不變，故D錯誤；故選AB?！景戳Φ男Ч纸饬χR點梳理】對一個實際力進(jìn)行分解，關(guān)鍵是根據(jù)力的作用效果確定分力的方向，然后畫出力的平行四邊形，這樣問題就轉(zhuǎn)化為了一個根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行求解的幾何問題。常見典型力的分解分為面模型、繩模型和桿模型。面模型中，兩個分力一定垂直于接觸面或沿接觸面；繩模型中，力對繩的作用效果一定沿著繩，并指向繩伸長的方向；桿模型中，力對輕桿的作用效果不一定沿桿方向，需要根據(jù)力的平衡及已知條件求解。常見典型力的分解如下：實例分析?斜面上靜止的物體的重力產(chǎn)生兩個效果：一是使物體具有沿斜面下滑的趨勢，相當(dāng)于分力F1的作用；二是使物體壓緊斜面，相當(dāng)于分力F2的作用。F1=mgsinα，F(xiàn)2=mgcosα(α為斜面傾角)?用斧頭劈柴時，力F產(chǎn)生的作用效果為垂直于兩個側(cè)面向外擠壓接觸面，相當(dāng)于分力F1、F2的作用，且F1=F2=Ld?質(zhì)量為m的光滑小球被豎直擋板擋住而靜止于斜面上時，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是使球壓緊擋板，相當(dāng)于分力F1的作用；二是使球壓緊斜面，相當(dāng)于分力F2的作用。F1=mgtanα，F(xiàn)2=mgcosα(α?A、B、O三點位于同一豎直平面內(nèi)，AB沿水平方向，質(zhì)量為m的物體被AO、BO兩輕繩拉住，物體的重力產(chǎn)生兩個效果：一是使物體拉AO繩，相當(dāng)于分力F1的作用；二是使物體拉BO繩，相當(dāng)于分力F2的作用。F1=F2=mg?質(zhì)量為m的光滑小球被輕質(zhì)懸線掛在豎直墻壁上，其重力產(chǎn)生兩個效果：一是使球垂直壓緊墻面，相當(dāng)于分力F1的作用；二是使球拉線，相當(dāng)于分力F2的作用。F1=mgtanα，F(xiàn)2=mg?質(zhì)量為m的物體通過輕繩被OA、OB兩線拉住，OB水平，連接物體的繩的拉力產(chǎn)生兩個效果：一是拉緊OA線，相當(dāng)于分力F1的作用；二是拉緊OB線，相當(dāng)于分力F2的作用。F1=mgcosθ，F(xiàn)2?質(zhì)量為m的物體通過輕繩被支架懸掛而靜止(OA為可繞A轉(zhuǎn)動的桿，OB可繩可桿，且OB能繞B轉(zhuǎn)動)，連接物體的繩的拉力產(chǎn)生兩個效果：一是壓桿OA，相當(dāng)于分力F1的作用；二是拉OB，相當(dāng)于分力F2的作用。F1=mgtanθ，F(xiàn)2=?AB為可繞A轉(zhuǎn)動的桿，BC為可繞C轉(zhuǎn)動的桿，質(zhì)量為m的物體通過輕繩被支架懸掛而靜止，連接物體的繩的拉力產(chǎn)生兩個效果：一是拉AB，相當(dāng)于分力F1的作用；二是壓BC，相當(dāng)于分力F2的作用。F1=mgtanα，F(xiàn)2=mg【按力的效果分解力舉一反三練習(xí)】18．用輕質(zhì)細(xì)繩系住一小球，小球靜止在光滑斜面上，如圖所示，1為水平方向、2為沿斜面方向、3為沿繩方向、4為豎直方向、5為垂直斜面方向。若要按照力的實際作用效果來分解小球的重力，下列敘述中正確的是（）A．將小球的重力沿1和5方向分解B．將小球的重力沿2和5方向分解C．將小球的重力沿3和5方向分解D．將小球的重力沿3和2方向分解【答案】C【詳解】小球的重力有兩個效果：一個效果是拉細(xì)線、一個效果是壓斜面。故選C。19．如圖所示，重力為G的小球靜止在斜面上，下列關(guān)于重力的兩個分力說法正確的是（）

A．F1是小球?qū)醢宓膲毫?，大小為B．F2是小球?qū)π泵娴恼龎毫?，大小為C．F1是小球所受重力的一個分力，大小為D．由于重力的存在，小球同時受G、F1、F2的作用【答案】C【詳解】AB．F1和F2是小球重力的兩個分力，不是小球?qū)醢濉⑿泵娴恼龎毫Γ皇谴笮∨c小球?qū)醢?、斜面的正壓力相等，故AB錯誤；C．F1是小球所受重力的一個分力，由幾何關(guān)系可知，其大小為，故C正確；D．F1、F2均是重力的分力，是重力產(chǎn)生的兩個效果，不是小球受到的力，故D錯誤。故選C。20．如圖所示，光滑斜面的傾角為，有兩個相同的小球分別被光滑擋板擋住。擋板A沿豎直方向，擋板B垂直于斜面，斜面受到a、b兩小球的壓力大小之比是多少（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖1所示，球的重力作用效果，是同時擠壓斜面和擋板，則重力的兩個分力方向分別垂直斜面和擋板。由圖1可得斜面受到的壓力大小為如圖2所示，斜面受到的壓力大小為故即兩擋板受到小球的壓力大小之比為。故選A。21．某壓榨機的結(jié)構(gòu)示意圖如圖所示，其中B點為固定鉸鏈，若在A鉸鏈處作用一垂直于臂的力F，則由于力F的作用，使滑塊C壓緊物體D，設(shè)C與D光滑接觸，桿的重力及滑塊C的重力不計，壓榨機的尺寸如圖所示（單位：cm），求物體D所受壓力大小是F的倍?！敬鸢浮?/5.0【詳解】將力F沿兩桿方向分解為力、力，如圖甲所示則有即再將力沿水平方向和豎直方向分解，如圖乙所示題圖可看出可得到C對D的壓力由幾何關(guān)系得得所以物體D所受的壓力是F的5倍。22．如圖所示，一輕質(zhì)三腳架的B處懸掛一定滑輪(質(zhì)量不計)。一體重為500N的人通過拉跨過定滑輪的輕繩勻速提起一重為300N的物體。（1）此時地面對人的支持力是多大？（2）斜桿BC、橫桿AB所受的力各是多大？

【答案】（1）200N；（2）400N，200N【詳解】（1）物體勻速運動，繩上的拉力為T＝300N，對人進(jìn)行受力分析，如圖所示。

根據(jù)平衡條件G＝T＋NN＝G－T＝500N－300N＝200N（2）B點受到繩子向下的拉力F＝600N，產(chǎn)生的作用