10.1 隨機事件與概率（解析版）（人教A版2019必修第二冊）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

10.1隨機事件與概率考法一事件的類型【例1-1】（2024浙江）給出下列事件：①函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；②小學(xué)生和張怡寧打乒乓球，張怡寧勝利；③一所學(xué)校共有名學(xué)生，有名學(xué)生的生日相同；④若集合、、滿足，，則；⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，河流在時結(jié)冰；⑥從、、中任選兩數(shù)相加，其和為偶數(shù).其中屬于隨機事件的是，屬于必然事件的是，屬于不可能事件的是（填序號）.【答案】②③④⑥①⑤【解析】①中函數(shù)在定義域為減函數(shù)，說法不正確，故為不可能事件；②中可能張怡寧勝利也可能小學(xué)生勝利，故為隨機事件；③中，因為，所以，有可能有名學(xué)生的生日相同，也有可能沒有名學(xué)生的生日相同，故為隨機事件；④中，根據(jù)集合的包含關(guān)系，④中說法正確，故為必然事件；⑤中的說法不正確，故為不可能事件；⑥中任意兩奇數(shù)和均為偶數(shù)，說法正確，故為必然事件.故答案為：②③；④⑥；①⑤.【例1-2】（2024四川巴中）如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時，下列事件為必然事件的是（

）A．A燈亮，B燈不亮 B．A燈不亮，B燈亮C．A，B兩盞燈均亮 D．A，B兩盞燈均不亮【答案】C【解析】由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時，可知A，B兩盞燈均亮.故選：C.【一隅三反】1．（2023陜西咸陽·階段練習(xí)）下列事件中，隨機事件的個數(shù)為（

）①甲，乙兩人下棋，甲獲勝；②小明過馬路，遇見車的車牌號尾號是奇數(shù)；③某種彩票的中獎率為99%，某人買一張此種彩票中獎；④用任意平面截球體，所得截面圖形是橢圓形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】根據(jù)隨機事件的知識可知：①②③是隨機事件，④是不可能事件，所以隨機事件的個數(shù)為個.故選：C2．（2023湖北咸寧）在不透明的布袋中，裝有大小、形狀完全相同的3個黑球、1個紅球，從中摸一個球，摸出1個黑球這一事件是（

）A．必然事件 B．隨機事件 C．確定事件 D．不可能事件【答案】B【解析】根據(jù)題意，從布袋中摸出一個球，有可能是黑球，也有可能是紅球，故摸出1個黑球是隨機事件.故選：B.3．（2023云南）判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？（1）拋擲一塊石子，下落；.（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化；（3）某人射擊一次，中靶；（4）如果，那么；（5）擲兩枚硬幣，均出現(xiàn)反面；（6）拋擲兩枚骰子，點數(shù)之和為15；（7）從分別標(biāo)有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽；（8）某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；（9）綠葉植物，不會光合作用；（10）在常溫下，焊錫熔化；（11）若為實數(shù)，則；（12）某人開車通過十個路口，都遇到綠燈；其中必然事件有；不可能事件有；隨機事件有【答案】（1）、（4）、（11）（2）、（6）、（9）、（10）（3）、（5）、（7）、（8）、（12）【解析】（1）拋擲一塊石子，下落，是必然事件；（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時，冰不可能融化，是不可能事件；（3）某人射擊一次，可能中靶，也可能不中靶，是隨機事件；（4）如果，那么必然成立，是必然事件；（5）擲兩枚硬幣，有四種情況，均出現(xiàn)反面可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是隨機事件；（6）拋擲兩枚骰子，點數(shù)之和最大為12，所以點數(shù)之和為15不可能發(fā)生，是不可能事件；（7）從分別標(biāo)有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，有5種情況，得到4號簽是隨機事件；（8）某電話機在1分鐘內(nèi)收到呼叫次數(shù)不確定，所以收到2次呼叫是隨機事件；（9）綠葉植物，都會光合作用，所以是不可能事件；（10）焊錫熔點一般為183度，所以常溫不可能熔化，是不可能事件；（11）若為實數(shù)，則必然成立，是必然事件；（12）某人開車通過十個路口，紅綠燈都可能遇到，所以都遇到紅燈是隨機事件；故答案為：（1）、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）考法二樣本點與樣本空間【例2-1】（2023高一·全國·隨堂練習(xí)）寫出下列試驗的樣本空間：(1)連續(xù)拋擲一枚硬幣2次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加演講比賽，通過抽簽確定演講的順序，記錄抽簽的結(jié)果；(3)連續(xù)拋擲一枚骰子2次，觀察2次擲出的點數(shù)之和；(4)設(shè)袋中裝有4個白球和6個黑球，從中不放回地逐個取出，直至白球全取出，記錄取球的次數(shù)．【答案】(1)正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面；(2)答案見解析；(3)；(4)．【解析】（1）第一次硬幣向上面與第二次硬幣向上的面構(gòu)成一個樣本點，樣本空間為：正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面（2）四個同學(xué)的一個排列構(gòu)成一個樣本點，樣本空間為：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙；（3）第一枚骰子和第二枚骰子的點數(shù)和構(gòu)成一個樣本點，樣本空間為：；（4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，樣本空間為：．【例2-2】（2023北京）在一個袋子中裝有分別標(biāo)注1，2，3，4，5的五個小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的事件包含的樣本點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的事件包含的樣本點為，所以取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的事件包含的樣本點個數(shù)為4.故選：C【一隅三反】1．（2023廣東深圳）做投擲2枚均勻骰子的試驗，用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)．寫出：(1)試驗的樣本空間Ω；(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”包含的樣本點；(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的樣本點；(4)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和等于7”包含的樣本點．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)【解析】（1）試驗的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．（2）“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”包含以下10個樣本點：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).（3）“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下6個樣本點：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).（4）“出現(xiàn)點數(shù)之和等于7”包含以下6個樣本點：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).2．（2023高一·全國·課時練習(xí)）從兩名男生（記為和）和兩名女生（記為和）這四人中依次選取兩名學(xué)生．(1)請寫出有放回簡單隨機抽樣的樣本空間；(2)請寫出不放回簡單隨機抽樣的樣本空間．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】（1）有放回簡單隨機抽樣時，樣本空間為：,共16個樣本點.（2）不放回簡單隨機抽樣時，樣本空間為：,共12個樣本點.考法三互斥與對立事件【例3-1】（2023安徽）從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥不對立的事件是（

）A．恰有一個黃球與恰有一個藍球 B．至少有一個黃球與都是黃球C．至少有一個黃球與都是藍球 D．至少有一個黃球與至少有一個藍球【答案】A【解析】從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內(nèi)任取3個球，不同的取球情況共有以下4種：①3個球全是黃球；②2個黃球和1個藍球；③1個黃球2個藍球；④3個球全是藍球．對于A，恰有一個黃球是情況③，恰有一個藍球是情況②，∴恰有一個黃球與恰有一個藍球是互斥不對立的事件，故A正確；對于B，至少有一個黃球是情況①②③，都是黃球是情況①，∴至少有一個黃球與都是黃球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；對于C，至少有一個黃球是情況①②③，都是藍球是情況④，∴至少有一個黃球與都是藍球是對立事件，故C錯誤；對于D，至少有一個黃球是情況①②③，至少有一個藍球是情況②③④，∴至少有一個黃球與至少有一個藍球能同時發(fā)生，不是互斥事件，故D錯誤．故選：A．【例3-2】（2023·新疆）一個人打靶時連續(xù)射擊3次，則事件“至少有兩次中靶”的對立事件為（

）A．至多有一次中靶 B．至多有兩次中靶C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶【答案】A【解析】由題意，事件“至少有兩次中靶”的對立事件為“至多有一次中靶”.故選：A.【一隅三反】1．（2023·湖南岳陽）從1，2，3，4，5中任取2個數(shù)，設(shè)事件“2個數(shù)都為偶數(shù)”，“2個數(shù)都為奇數(shù)”，“至少1個數(shù)為奇數(shù)”，“至多1個數(shù)為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與是互斥事件 B．與是互斥但不對立事件C．與是互斥但不對立事件 D．與是對立事件【答案】A【解析】根據(jù)題意，則，所以與是互斥事件，A正確；，所以與是互斥且對立事件，B錯誤；，所以與是互斥且對立事件，C錯誤；所以與不是對立事件，D錯誤.故選：A.2．（2023陜西）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．甲與丙是互斥事件 B．乙與丙是對立事件C．甲與丁是對立事件 D．丙與丁是互斥事件【答案】D【解析】對于A，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，則兩次取球的情況有，所以事件甲丙可能同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯誤；對于B，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，是互斥不對立的事件，B錯誤；對于C，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則兩次取球的情況有等，所以甲丁可能同時發(fā)生，不是互斥事件，C錯誤；對于D，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，兩個事件不會同時發(fā)生，是互斥事件，D正確；故選：D．3．（2024陜西）從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機選取1張，下列每組事件是否為互斥事件？若是互斥事件，則是否互為對立事件？若不是對立事件，請分別說出事件、事件的對立事件．(1)表示“抽出的牌是紅心”，表示“抽出的牌是方片”；(2)表示“抽出的牌是紅心”，表示“抽出的牌是K”；(3)表示“抽出的牌是紅色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；(4)表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；(5)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；(6)表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一張方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一張方片”．【答案】(1)答案見解析(2)與不互斥也不對立(3)與互斥且與對立．(4)與不互斥也不對立(5)與互斥且與對立．(6)答案見解析【解析】（1）因為表示“抽出的牌是紅心”，表示“抽出的牌是方片”，所以與互斥，但與不對立．的對立事件是“抽出的牌不是紅心”，的對立事件是“抽出的牌不是方片”．（2）因為表示“抽出的牌是紅心”，表示“抽出的牌是K”；當(dāng)出現(xiàn)紅心K時，事件、都發(fā)生，所以與不互斥也不對立．（3）因為表示“抽出的牌是紅色牌”，表示“抽出的牌是黑色牌”；所以與互斥且與對立．（4）因為表示“抽出的牌面是2，3，4，6，10之一”，表示“抽出的牌是方片”；當(dāng)出現(xiàn)方片2，3，4，6，10之一，則事件、都發(fā)生，所以與不互斥也不對立．（5）因為表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”，表示“抽出的牌面是J，Q，K，A之一”；所以與互斥且與對立．（6）因為表示“抽出的牌面是2，3，4，5，6，7之一的一張方片”，表示“抽出的牌面是8，9，10，J，Q，K，A之一的一張方片”．所以與互斥，但與不對立．的對立事件是“抽出的牌面不是方片2，3，4，5，6，7之一”，的對立事件是“抽出的牌面不是方片8，9，10，J，Q，K，A之一”．考法四事件的關(guān)系與運算【例4-1】（2023山東）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一彈擊中飛機}，D＝{至少有一彈擊中飛機}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】用表示試驗的射擊情況，其中表示第1次射擊的情況，表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒中，則樣本空間.由題意得，，，，則，，且.即ABC都正確；又，..故D不正確.故選：D.【一隅三反】1．（2023·全國·單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故，，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故，故B正確，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D錯誤，故選：D.2（2023甘肅）1.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.(1)試判斷事件A與事件B，C，E的關(guān)系；(2)試求AD，B+C所包含的樣本點，并判斷AD與B+C的關(guān)系.【答案】(1)B?A，C?A，E?A，A=B+C+E(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，AD=B+C【解析】（1）事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三個基本事件，所以B?A，C?A，E?A，A=B+C+E（2）“至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三個基本事件，可以看出事件A與事件D有相同的兩個基本事件，即“一次正面向上，兩次反面向上”，“兩次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或兩次正面向上}，B+C={一次正面向上或兩次正面向上}，所以AD=B+C3．（2023湖南）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：=“點數(shù)為i”，其中；=“點數(shù)不大于2”，=“點數(shù)大于2”，=“點數(shù)大于4”；E=“點數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.（1）與互斥；（2），為對立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F(xiàn)為對立事件；（9）；（10）【答案】（1）正確；（2）錯誤；（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）正確；（7）正確；（8）正確；（9）正確；（10）正確.【解析】該試驗的樣本空間可表示為,由題意知,,,,,.（1）,,滿足,所以與互斥,故正確；（2）,,滿足但不滿足.所以為互斥事件,但不是對立事件,故錯誤；根據(jù)對應(yīng)的集合易得,（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）,所以,故正確；（7）,故正確；（8）因為,,所以E,F為對立事件,故正確；（9）正確；（10）正確.4．（2024廣西）設(shè)某隨機試驗的樣本空間，事件，，，求下列事件：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】1）由已知；（2）由題意；（3）由已知，，所以（4）由已知，，所以．考法五古典概型【例5-1】（2024河南洛陽）從集合中任取兩個元素，則這兩個元素的差的絕對值為2的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】從集合中任取兩個元素的取法有，共6種，其中滿足兩個元素的差的絕對值為2的取法有，共3種.故這兩個元素的差的絕對值為2的概率為.故選：B.【例5-2】（2024河南南陽）（多選）下列情境適合用古典概型來描述的是（

）A．向一條線段內(nèi)隨機地投射一個點，觀察點落在線段上不同位置B．五個人站一排，觀察甲乙兩人相鄰的情況C．從一副撲克牌（去掉大、小王共52張）中隨機選取1張，這張牌是紅色牌D．某同學(xué)隨機地向靶心進行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)，命中9環(huán)，命中1環(huán)和脫靶【答案】BC【解析】對于A，實驗結(jié)果有無數(shù)個，顯然不是古典概型，故錯誤，對于B，實驗結(jié)果有限且等可能，故正確，對于C，實驗結(jié)果有限且等可能，故正確，對于D，顯然實驗并非等可能，故錯誤.故選：BC【一隅三反】1．（2024高一上·山東威海）甲、乙兩校各有名教師報名支教，若從報名的名教師中任選名，則選出的名教師來自不同學(xué)校的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)甲校報名支教的兩名教師為，乙校報名支教的兩名教師為，從這報名的名教師中任選名，共有這6種情況，選出的名教師來自不同學(xué)校共有這4種情況，所以所求概率為.故選：C.2．（2024湖北咸寧）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】三名男工人記為，兩名女工人記為，任選兩人的試驗的樣本空間，共10個樣本點，選出兩人恰好都是男工人的事件，共3個樣本點，所以這兩名工人恰好都是男工人的概率.故選：C3．（2024上海）安徽省新高考擬采用“”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選科目，“1”指的是從物理或歷史兩科中選一科，即“首選科目”，“2”指的是從化學(xué)、生物、思想政治、地理四科中選兩科，即“再選科目”.已知某工業(yè)大學(xué)工程類招生選科要求首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物中至少有1科.從所有選科組合中任意選取1個，則選科組合符合該工業(yè)大學(xué)工程類招生選科要求的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用，，，，，分別表示“選擇物理”“選擇歷史”“選擇化學(xué)”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間，共有12個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同.設(shè)事件表示“選科組合符合該工業(yè)大學(xué)工程類招生選科要求”，則，共有5個樣本點，∴.故選：C.4（2024山東）1981年，在大連召開的第一屆全國數(shù)學(xué)普及工作會議上，確定將數(shù)學(xué)競賽作為中國數(shù)學(xué)會及各省、市、自治區(qū)數(shù)學(xué)會的一項經(jīng)常性工作，每年9月第二個星期日舉行“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽”，競賽分為一試（滿分120分）和二試（滿分180分），在這項競賽中取得優(yōu)異成績的學(xué)生有資格參加由中國數(shù)學(xué)會奧林匹克委員會主辦的“中國數(shù)學(xué)奧林匹克暨全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營”，已知2023年某地區(qū)有50名學(xué)生參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，其取得的一試成績繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求實數(shù)的值并估計這50名學(xué)生一試成績的70%分位數(shù)；(2)若一試成績在100分及以上的試卷需要主委會抽樣進行二次審閱，評審員甲在這50名學(xué)生一試成績中按照分層抽樣的原則從和內(nèi)抽取3份試卷進行審閱，已知同學(xué)的成績是105分，同學(xué)的成績是111分，求這兩位同學(xué)的試卷同時被抽到的概率．【答案】(1)，70%分位數(shù)為91；(2).【解析】（1）由上表可知，，解得，設(shè)這50名學(xué)生一試成績的70%分位數(shù)為，由于前三個矩形面積，前四個矩形面積，故得，，解得，即這50名學(xué)生一試成績的70%分位數(shù)約為91．（2）由圖知，成績在有人，成績在有人，根據(jù)分層抽樣的原則，成績在抽2份，成績在抽1份，設(shè)，，，四位同學(xué)的成績在，，兩位同學(xué)的成績在，根據(jù)分層抽樣的原則有，，，，，，，，，，，共12個樣本，符合條件的，，共3個樣本，所以符合條件的概率為，即，兩位同學(xué)的試卷都被抽到的概率為．考法六概率的基本性質(zhì)【例6-1】（2024河南）已知，.（1）如果，那么，，；（2）如果A，B互斥，那么，，.【答案】0.50.30.20.800.5【解析】（1）如果，那么，，所以，，.（2）如果A，B互斥，那么，則，，.故答案為：0.5；0.3；0.2；0.8；0；0.5【例6-2】（2023高一上·全國·專題練習(xí)）（多選題）設(shè)為兩個隨機事件，以下命題錯誤的為（）A．若是對立事件，且，則B．若是對立事件，則C．若是互斥事件，，，則D．若是互斥事件，，則【答案】AC【解析】對于選項A，若是對立事件，則，故A項錯誤；對于選項B，當(dāng)是對立事件時，，故B項正確；對于選項C，當(dāng)是互斥事件，，，則，故C項錯誤；對于選項D，若是互斥事件，，則，故D項正確.故選：AC.【一隅三反】1．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故選：C2（2023高一上·全國·專題練習(xí)）（多選題）設(shè)為古典概率模型中的兩個隨機事件，以下命題正確的為（）A．若，，則當(dāng)且僅當(dāng)時，是互斥事件B．若，，則是必然事件C．若，是互斥事件，，則；D．若，是對立事件，則；【答案】AD【解析】對于A，因為，所以是互斥事件，所以A正確，對于B，若事件為“拋骰子點數(shù)出現(xiàn)1或2”，則，若事件為“拋骰子點數(shù)出現(xiàn)的是小于等于4”，則，而此時不是必然事件，所以B錯誤，C選項，由是互斥事件，則，故C錯誤；D選項，由是對立事件，則為必然事件，即，故D正確；故選：AD3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）下列說法中不正確的是（

）A．若事件A與事件B是互斥事件，則B．若事件A與事件B滿足條件，則事件A與事件B是對立事件C．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D．從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，則事件“取到紅色牌”與事件“取到梅花”是互斥事件【答案】ABC【解析】對于A，事件A與事件B是互斥事件，但不一定是對立事件，故A不正確；對于B，若是在同一試驗下，由，說明事件A與事件B一定是對立事件，但若在不同試驗下，雖然有，但事件A與事件B不一定對立，故B不正確；對于C，一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故C不正確；對于D，事件“取到紅色牌”與事件“取到梅花”是互斥事件，故D正確．故選：ABC.單選題1.（2024河北）袋中有2個黑球、6個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是（）A．取到的球的個數(shù)B．取到紅球的個數(shù)C．至少取到1個紅球D．至少取到1個紅球的概率【答案】B【解析】A的取值不具有隨機性，C是一個事件而非隨機變量，D中概率值是一個定值而非隨機變量，只有B滿足要求故選：B2．（20241·河北）同時擲兩枚大小相同的骰子，用（x，y）表示結(jié)果，記事件A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】因為事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，共包含6個樣本點3（2023河南焦作·期末），，，，，是半徑為1的圓的六等分點，從中任選2點連接起來，則所得線段長度小于2的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】任意連接6個點中的2個可得到15條線段，其中長度為2的線段有，，，共3條，其余線段長度為1或，所以所得線段長度小于2的概率為.故選：A4．（2023四川攀枝花）已知隨機事件和互斥，且，，則事件的對立事件的概率為（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【解析】根據(jù)題意，因為，事件和互斥，所以，所以，所以事件的對立事件發(fā)生的概率為.故選：D.5．（22-23高一下·全國·課時練習(xí)）給出下列命題，其中說法正確的是（

）A．若A，B為兩個隨機事件，則B．若事件A，B，C兩兩互斥，則C．若A，B為互斥事件，則D．若，則【答案】C【解析】對于A選項：當(dāng)A，B為兩個互斥事件時，才有，所以A選項錯誤；對于B選項：當(dāng)事件A，B，C兩兩互斥，且時，才有，所以B選項錯誤；對于C選項：當(dāng)A，B為互斥事件時，，所以C選項正確；對于D選項：由概率的性質(zhì)可知，若，則，所以D選項錯誤；故選：C.6．（2023湖南）一個射手進行一次射擊，事件A:命中環(huán)數(shù)大于8;事件B:命中環(huán)數(shù)大于5，則（）A．A與B是互斥事件 B．A與B是對立事件C．A?B D．A?B【答案】C【解析】事件A:命中環(huán)數(shù)大于8即命中9或10環(huán);事件B:命中環(huán)數(shù)大于5即命中6或7或8或9或10環(huán)，故A?B.故選：C7．（2024·全國·模擬預(yù)測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數(shù)，記“點數(shù)之和為5”是事件，“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（

）A．為不可能事件 B．與為互斥事件C．為必然事件 D．與為對立事件【答案】B【解析】同時拋擲兩顆骰子，有36個結(jié)果，“點數(shù)之和為5”是事件有共有4種情況；“點數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件有共有9種情況；對于選項A:表示“點數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”，不是不可能事件.故A錯誤；對于選項B：A與B不可能同時發(fā)生．故B正確；對于選項C：表示“點數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)”，是不可能事件，故C錯誤；對于選項D：與不能包含全部基本事件，故D錯誤.故選:B．8．（2023甘肅天水）從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一個黑球與都是黑球 B．至少有一個黑球與都是紅球C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球 D．至少有一個黑球與至少有一個紅球【答案】C【解析】根據(jù)題意，記2個紅球分別為A、B，2個黑球分別為a，b，則從這4個球中任取2個球的總基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：A、都是黑球的基本事件為ab，至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，兩個事件有交事件ab，所以不為互斥事件，故A錯誤；B、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是紅球的基本事件為AB，兩個事件不僅是互斥事件，也是對立事件，故B錯誤；C、恰有兩個黑球的基本事件為ab，恰有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件是互斥事件，但不是對立事件，故C正確；D、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一個紅球的基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件不是互斥事件，故D錯誤.故選：C.多選題9．（2024陜西漢中）在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，其中是隨機事件的是（

）A．5件都是正品 B．至少有1件次品C．有3件次品 D．至少有3件正品【答案】AB【解析】在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取5件產(chǎn)品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是隨機事件，A、B正確，在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，則“有3件次品”不是隨機事件，是不可能事件，C錯誤；在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中取5件，則“至少有3件正品”為必然事件，不是隨機事件，D錯誤.故選：AB10．（2024安徽亳州）中國四大名樓是一種泛稱，特指山西永濟鸛雀樓、江西南昌滕王閣、湖北武漢黃鶴樓、湖南岳陽岳陽樓．記事件“只去黃鶴樓”，事件“至少去兩個名樓”，事件“只去一個名樓”，事件“一個名樓也不去”，事件“至多去一個名樓”，則下列命題正確的是（

）A．E與H是互斥事件 B．F與I是互斥事件，且是對立事件C． D．【答案】ABC【解析】對于A，事件E，H不可能同時發(fā)生，是互斥事件，故A正確；對于B，事件F與I不可能同時發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且為對立事件，故B正確；事件“至多去一個名樓”剛好包含事件“只去一個名樓”與事件“一個名樓也不去”，所以，，故C正確，D錯誤故選：ABC．11．（2023江蘇）如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到9，1→3→4→5→6→7→8→9就是一條移動路線，（

）A．從1移動到9，一共有34條不同的移動路線B．從1移動到9過程中，恰好漏掉兩個數(shù)字的移動路線有15條．C．若每次移動都是隨機的，則移動過程中恰好跳過4的概率為D．若每次移動都是隨機的，記為經(jīng)過的概率，則【答案】AB【解析】畫出樹狀圖，結(jié)合圖形則從1移動到9，一共有34條不同的移動路線，A正確；從1移動到9過程中，恰好漏掉兩個數(shù)字的移動路線，即上圖倒數(shù)第三行有9的路線，有15條，B正確；若每次移動都是隨機的，則移動過程中恰好跳過4的路線共有10條，則其概率為，C錯誤；若每次移動都是隨機的，記為經(jīng)過的概率，則為最大值，，D錯誤.故選：AB12．（2023云南·期中）設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，則下列說法正確的是（

）A．如果事件與事件互斥，那么B．如果事件與事件互斥，那么C．如果事件與事件對立，那么D．如果事件與事件對立，那么【答案】ACD【解析】對于A，事件與事件互斥，則，A正確；對于B，事件與事件互斥，事件不一定是必然事件，即不一定為1，B錯誤；對于C，事件與事件對立，則事件與事件互斥，有，C正確；對于D，事件與事件對立，事件是必然事件，則，D正確.故選：ACD填空題13．（2024高一上·湖南）一個不透明口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，4，現(xiàn)隨機取一個小球然后放回，再隨機取出一個小球，則第一次取出的小球標(biāo)號大于第二次取出的小球標(biāo)號的概率為．【答案】【解析】畫出樹狀圖:由樹狀圖可知：基本事件的總數(shù)共有16種，其中第一次取出的小球標(biāo)號大于第二次取出的小球標(biāo)號有6種，所以第一次取出的小球標(biāo)號大于第二次取出的小球標(biāo)號的概率為.故答案為：.14．（2024·廣西·開學(xué)考試）甲?乙兩人下象棋，已知甲獲勝的概率是，平局的概率是，則乙獲勝的概率是.【答案】/0.25【解析】設(shè)事件表示“乙獲勝”，則，則.故答案為：.15．（2024四川涼山·期中）若A，B互為對立事件，，，且，，則的最小值是.【答案】8【解析】因為A，B互為對立事件，則，且，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是8.故答案為：8.16．（2023山西）《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖，這是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由3根線組成（“”表示1根陽線，“”表示1根陰線），從八卦中任取兩卦，則兩卦的6根線中恰有4根陽線和2根陰線的概率為．

【答案】【解析】由題意可知，從八卦中任取兩卦，則樣本空間{（乾，坤），（乾，震），（乾，巽），（乾，坎），（乾，離），（乾，艮），（乾，兌），（坤，震），（坤，巽），（坤，坎），（坤，離），（坤，艮），（坤，兌），（震，巽），（震，坎），（震，離），（震，艮），（震，兌），（巽，坎），（巽，離），（巽，艮），（巽，兌），（坎，離），（坎，艮），（坎，兌），（離，艮），（離，兌），（艮，兌）}，共包含28個樣本點．八卦中，3根都是陽線的有一卦，2根陽線、1根陰線的有三卦，1根陽線、2根陰線的有三卦，3根都是陰線的有1卦，記事件“從八卦中任取兩卦，這兩卦的6根線中恰有4根陽線和2根陰線”為A，則{（乾，震），（乾，坎），（乾，艮），（巽，離），（巽，兌），（離，兌）}，共包含6個樣本點，故所求概率為故答案為：.解答題17．（2024北京）從學(xué)號為1，2，3，4，5，6的六名同學(xué)中選出一名同學(xué)擔(dān)任班長，其中1，3，5號同學(xué)為男生，2，4，6號同學(xué)為女生，記：C1＝{選出1號同學(xué)}，C2＝{選出2號同學(xué)}，C3＝{選出3號同學(xué)}，C4＝{選出4號同學(xué)}，C5＝{選出5號同學(xué)}，C6＝{選出6號同學(xué)}，D1＝{選出的同學(xué)學(xué)號不大于1}，D2＝{選出的同學(xué)學(xué)號大于4}，D3＝{選出的同學(xué)學(xué)號小于6}，E＝{選出的同學(xué)學(xué)號小于7}，F(xiàn)＝{選出的同學(xué)學(xué)號大于6}，G＝{選出的同學(xué)學(xué)號為偶數(shù)}，H＝{選出的同學(xué)學(xué)號為奇數(shù)}，等等.據(jù)此回答下列問題：(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是隨機事件？哪些是不可能事件？(2)如果事件C1發(fā)生，則一定有哪些事件發(fā)生？在集合中，集合C1與這些集合之間的關(guān)系怎樣描述？(3)如果事件H發(fā)生，則可能是哪些事件發(fā)生？在集合中，集合H與這些集合之間的關(guān)系怎樣描述？(4)有沒有某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生的情況？應(yīng)用集合的語言如何表示這種關(guān)系？(5)兩個事件的交事件也可能為不可能事件，在上述事件中能找出這樣的例子嗎？【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析(5)答案見解析【解析】（1）必然事件有：E；隨機事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，G，H；不可能事件有：F；（2）如果事件C1發(fā)生，則事件D1，D3，E，H一定發(fā)生，D1＝C1，D3?C1，E?C1，H?C1；（3）可能是C1，C5，C3，D3發(fā)生，H＝C1∪C5∪C3；（4）D2和D3同時發(fā)生時，即為C5發(fā)生了.D2∩D3＝C5；（5）有，如：C1和C2；C2和C4等等.18．（2024廣州）箱子里有3雙不同的手套，從中隨機拿出2只，記事件拿出的手套不能配對，事件拿出的都是同一只手上的手套，事件拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對．(1)寫出該試驗的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件、事件、事件；(3)說出事件、事件、事件的關(guān)系．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)，，【解析】（1）設(shè)3雙手套為，，，其中，，代表左手手套，，，代表右手手套，樣本空間為，，，，，，，，，，，，，，．（2），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）根據(jù)（2）知，，．19．（2023海南?？冢┝?xí)近平總書記對制止餐飲浪費行為作出重要指示，要求進一步加強宣傳教育，切實培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社：會營造浪費可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動．現(xiàn)有高一120人、高二80人，高三40人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬按年級采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動．(1)第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人？(2)現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽取的兩人都是高二學(xué)生的概率【答案】(1)6；4；2(2)【解析】（1）根據(jù)題意，報名的學(xué)生共有人，則抽取高一人數(shù)為；抽取高二人數(shù)為；抽取高三的人數(shù)為．（2）（2）記高二抽取的4位學(xué)生為a、b、c、d，高三抽取的2位學(xué)生為E、F，則從中抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件，其中抽取的兩人都是高二學(xué)生的有：，，，，，，共6個基本事件，抽取的兩人都是高二學(xué)生的概率為．20．（2023河南焦作·期末）某校組織《反間諜法》知識競賽，將所有學(xué)生的成績（單位：分）按照，，…，分成七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這次競賽成績平均數(shù)的估計值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）(2)從競賽成績不低于85分的學(xué)生中用分層隨機抽樣的方法抽取12人，再從第六組和第七組被抽到的學(xué)