蘇科版八年級數學上冊重難點專題提優(yōu)訓練專題09解題技巧專題：利用等腰三角形的“三線合一”作輔助線(原卷版+解析)

考點一利用“三線合一”作輔助線解決線段的有關問題考點二利用“三線合一”作輔助線解決角的有關問題考點三利用“三線合一”作輔助線證垂直考點一利用“三線合一”作輔助線解決線段的有關問題例題：（2022·山東·薛城區(qū)北臨城中學八年級階段練習）如圖，已知，點P在邊上，，點M，N在邊上，，若，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【變式訓練】1．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延長BC到D，在∠ACD內作射線CE，使得∠ECD=15°．過點A作AF⊥CE，垂足為F．若AF=，則AB的長為（）A． B．2 C．4 D．62．（2022·江蘇·八年級）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．13．（2022·山西呂梁·八年級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在BC的延長線上，連接AD．點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．若EF＝3，則AD的長為（

）A．3 B． C．6 D．4．（2022·福建龍巖·八年級期末）課堂上，王老師將一副標準三角板如圖放置，若，那么點到的距離為_________．5．（2022·陜西·西北大學附中八年級期中）如圖，等邊邊長為，點在的延長線上，點在的延長線上，且滿足．已知，，則的值為_________．6．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．7．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學八年級期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為___．考點二利用“三線合一”作輔助線解決角的有關問題例題：（2022·全國·八年級專題練習）如圖，中，，于點D，，若，則的度數為_____．【變式訓練】1.（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，在中，，AD為BC邊上的中線，，則的度數為（

）A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2021·湖北恩施·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，∠ADE＝20°，則∠BAC的度數為（

）A．120° B．110° C．100° D．90°3．（2021·山東濟南·七年級期末）如圖，平分，，的延長線交于點，若，則的度數為______．4．（2022·北京·人大附中八年級期中）如圖，在中，，，為等邊三角形，連接，則_____，的面積為_____．5．（2022·浙江麗水·八年級期末）如圖，在△ABC中，，AD為BC邊上的中線，E為AC上一點，且，，求∠CDE的度數．考點三利用“三線合一”作輔助線證垂直例題：（2022·江蘇·八年級）如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數．【變式訓練】1．（2022·陜西·交大附中分校八年級階段練習）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點O是底邊BC的中點，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．試說明：AD=AE．2．（2021·浙江杭州·八年級期末）如圖﹐在中﹐﹐D為的中點﹐點F在上﹐延長至點E﹐使﹐求與之間的位置關系．3．（2022·河南鄭州·七年級期末）如圖，在中，，，D為BC的中點，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．(1)若E點在線段AB上（非端點），則線段DE與DF的數量關系是______________；(2)若E點在線段AB的延長線上，請你作圖（用黑色水筆），此時線段DE與DF的數量關系是_____________，請說明理由．4．（2022·四川綿陽·八年級期末）如圖，在中，，是上任意一點，過分別向，引垂線，垂足分別為，，是邊上的高．(1)當點在的什么位置時，？并證明．(2)，，的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以證明；(3)若在底邊的延長線上，（2）中的結論還成立嗎？若不成立，請直接寫出，，之間的數量關系，不必證明．專題09解題技巧專題：利用等腰三角形的“三線合一”作輔助線考點一利用“三線合一”作輔助線解決線段的有關問題考點二利用“三線合一”作輔助線解決角的有關問題考點三利用“三線合一”作輔助線證垂直考點一利用“三線合一”作輔助線解決線段的有關問題例題：（2022·山東·薛城區(qū)北臨城中學八年級階段練習）如圖，已知，點P在邊上，，點M，N在邊上，，若，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】過P作PQ⊥MN，利用三線合一得到Q為MN中點，求出MQ的長，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OQ的長，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作PQ⊥MN于點Q，∵PM=PN，，∴MQ=NQ=1，在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，∴∠OPQ=30°，∴，∴ON=OQ+QN=6+1=7．故選A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，以及含30度直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延長BC到D，在∠ACD內作射線CE，使得∠ECD=15°．過點A作AF⊥CE，垂足為F．若AF=，則AB的長為（）A． B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】過點C作CH⊥AB于H，根據等腰三角形的性質以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，則CA平分∠HCF，根據角平分線的性質可得AH＝AF，即可得AB的長．【詳解】解：過點C作CH⊥AB于H，∵CA＝CB，∠ACB＝110°，∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，∵∠ECD＝15°．∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，∴∠ACH＝∠ACF＝55°，∴CA平分∠HCF，∵AF⊥CE，CH⊥AB，∴AH＝AF，∴AB＝2AH＝2．故選：B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，等腰三角形的性質以及三角形的內角和定理，解決問題的關鍵是得出CA平分∠HCF．2．（2022·江蘇·八年級）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1【答案】D【分析】過點A作AE⊥BC于E，根據等腰三角形的性質可得DE＝ECCD＝2，根據含30度角的直角三角形的性質可得BE＝3，根據BD＝BE﹣DE即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝ECCD＝2．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BEAB6＝3，∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，準確作出輔助線求出BE與DE是解題的關鍵．3．（2022·山西呂梁·八年級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在BC的延長線上，連接AD．點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．若EF＝3，則AD的長為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】連接AE，根據等腰三角形三線合一得到AE⊥BC，再根據直角三角形的性質得到AD=2EF，故可求解．【詳解】連接AE，∵AB＝AC，E是BC中點，∴AE⊥BC，∴△ADE是直角三角形，∵F是AD中點，∴EF=，∴AD=2EF=6，故選C．【點睛】此題主要考查三角形內線段長度，解題的關鍵是熟知等腰三角形與直角三角形的性質．4．（2022·福建龍巖·八年級期末）課堂上，王老師將一副標準三角板如圖放置，若，那么點到的距離為_________．【答案】【分析】過點作，勾股定理求得，根據等腰直角三角形的性質可得，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】如圖，過點作，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2022·陜西·西北大學附中八年級期中）如圖，等邊邊長為，點在的延長線上，點在的延長線上，且滿足．已知，，則的值為_________．【答案】【分析】過D作DF⊥BE于F，利用等腰三角形三線合一的性質可得BF的長，利用含30度角的直角三角形的性質可得CF的長，進而可得答案．【詳解】解：過D作DF⊥BE于F，∵DB=DE，∴△DBE是等腰三角形，∵BE=4，∴BF=EF=2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠DCF=60°，∴∠CDF=30°，∴∴∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質，以及等腰三角形的性質，關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．6．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．【答案】【分析】作AF⊥BC于F，證明△BDE≌△ADF，根據全等三角形的性質得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性質即可求解．【詳解】解：作AF⊥BC于F，∵AB的垂直平分線交BC于點D．∴AD=BD，∵AF⊥BC，BE⊥DE，∴∠E=∠AFD=90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（AAS），∴DF=DE，∴CD-DE=CD-DF=CF，∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，∴CF=BC=．故答案為：．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．7．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學八年級期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為___．【答案】8【分析】連接AD，AM，根據等腰三角形的性質可知AD垂直BC，則根據△ABC的面積即可求出AD，由題意點B關于直線EF的對稱點為點A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即當A，M，D三點共線時，BM＋MD的值最小，最小為AD的長，進而即可求解．【詳解】解：如圖，連接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∵BC=4，△ABC的面積為12,∴，∴AD＝6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關于直線EF的對稱點為點A，∴AM=BM，∴BM＋MD=AM＋MD，即當A，M，D三點共線時，BM＋MD的值最小，∴AD的長為BM＋MD的最小值，∴△BDM的周長最短為BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，故答案為：8．【點睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．考點二利用“三線合一”作輔助線解決角的有關問題例題：（2022·全國·八年級專題練習）如圖，中，，于點D，，若，則的度數為_____．【答案】【分析】如圖（見詳解），根據等腰三角形的三線合一性質，過點A作于點E，可證，即可求出的度數．【詳解】解：如圖，過點A作于點E，∵AB=AC，∴E是BC的中點，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質以及直角三角形全等的判定定理，正確運用定理進行判定是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，在中，，AD為BC邊上的中線，，則的度數為（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】根據題意可得是等腰三角形，根據三線合一可知，據此即可求得．【詳解】解：∵，為邊上的中線，∴，，∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．2．（2021·湖北恩施·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，∠ADE＝20°，則∠BAC的度數為（

）A．120° B．110° C．100° D．90°【答案】C【分析】根據垂直的定義以及等腰三角形的性質得到∠BDE=∠BED=70°，利用三角形的外角性質得到∠BAD=50°，再根據等腰三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD，∵∠ADE=20°，BD=BE，∴∠BDE=∠BED=∠ADB-∠ADE=70°，∵∠BED=∠BAD+∠ADE，∴∠BAD=70°-20°=50°，∴∠BAC=2∠BAD=100°，故選：C．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的三線合一、三角形內角和定理是解題的關鍵．3．（2021·山東濟南·七年級期末）如圖，平分，，的延長線交于點，若，則的度數為______．【答案】【分析】如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F，利用等腰三角形的三線合一證明CF是BD的垂直平分線，從而得到AB=AD，再次利用等腰三角形的性質得到：∠DAF=∠BAF=∠EAC，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F，∵AC平分∠DCB，CB=CD，∴CF⊥BD，DF=BF，∴CF是BD的垂直平分線，∴AB=AD，∴∠DAF=∠BAF，∵∴∠EAC=55°，∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=55°，∴∠BAE=180°?55°?55°=70°．故答案為：70°．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．4．（2022·北京·人大附中八年級期中）如圖，在中，，，為等邊三角形，連接，則_____，的面積為_____．【答案】

【分析】如圖，過作于，第一個空：根據為等邊三角形，可得，，然后再根據，，利用等腰三角形的性質可求出，然后由即可得到答案；第二個空：根據和可確定的邊邊上的高等于，再根據等腰三角形的三線合一的性質可得，則，代入數據計算即可得到答案．【詳解】如圖，過作于，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，，∴，∴；∵，∴∵，∴，∴的邊邊上的高等于，∵為等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴．故答案為：；．【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質及三角形面積計算等知識．發(fā)現(xiàn)的邊上的高等于的一半是解題的關鍵．5．（2022·浙江麗水·八年級期末）如圖，在△ABC中，，AD為BC邊上的中線，E為AC上一點，且，，求∠CDE的度數．【答案】25°【分析】由題意知，，根據等邊對等角，三角形內角和定理求出的值，進而可求出的值．【詳解】解：∵，AD是中線，∴，∵∴∴∴的值為25°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理．解題的關鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質．考點三利用“三線合一”作輔助線證垂直例題：（2022·江蘇·八年級）如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數．【答案】(1)見解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于點F，利用等腰三角形三線合一的性質得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結論．（2）根據等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質、等腰三角形的性質以及角的和差關系即可求解．(1)證明：如圖，過點A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．(2)解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質是本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·陜西·交大附中分校八年級階段練習）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點O是底邊BC的中點，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．試說明：AD=AE．【答案】見解析【分析】連接AO，由AAS可得△AOD≌△AOE，即可得出結論．【詳解】證明：連接AO，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO=∠AEO=90°，∵AB=AC，O是BC中點，∴AO平分∠BAC，即∠DAO=∠EAO，又AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，∴△AOD≌△AOE(AAS)，∴AD=AE．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質以及全等三角形的判定及性質，熟練掌握這些性質定理是解題關鍵．2．（2021·浙江杭州·八年級期末）如圖﹐在中﹐﹐D為的中點﹐點F在上﹐延長至點E﹐使﹐求與之間的位置關系．【答案】AD∥EF【分析】根據等腰三角形的性質可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根據角平分線的定義和外角的定義，可得∠AEF=∠BAD，進而可證明AD∥EF．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵D為BC中點，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，∵AE=AF，∴∠E=∠AFE，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EF．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、平行線的判定、三角形的外角性質，解決本題的關鍵是掌握等腰三角形的性質．3．（2022·河南鄭州·七年級期末）如圖，在中，，，D為BC的中點，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．(1)若E點在線段AB上（非端點），則線段DE與DF的數量關系是______________；(2)若E點在線段AB的延長線上，請你作圖（用黑色水筆），此時