第03講集合的基本運算

第03講集合的基本運算模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.理解交集、并集、全集、補集，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).2.掌握集合的運算關系，能進行集合的各種運算.3.與方程、不等式、數(shù)軸、維恩圖等相結合考查集合的運算，凸顯數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng).知識點1交集1.定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B.2.符號：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．3.圖示：知識點2并集1.定義：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B2.符號：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}3.圖示：知識點3并集和交集的性質并集交集簡單性質A∪A＝A；A∪?＝AA∩A＝A；A∩?＝?常用結論A∪B＝B∪A；A?(A∪B)；B?(A∪B)；A∪B＝B?A?BA∩B＝B∩A；(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩B＝B?B?A知識點4補集1.全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集.2.補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作?UA.3.符號：?UA＝{x|x∈U，且x?A}.4.圖示：5.拓廣解讀：(1)簡單地說，?UA是從全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素組成的集合．(2)性質：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．(3)如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結果的圖示．知識點5集合中元素的個數(shù)【探索與研究】考點一：交集運算例1．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知集合，，則的子集個數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據題意，將集合化簡，然后根據交集的運算及子集概念即可得到結果.【詳解】因為集合，且，則，所以其子集為共4個.故選：B【變式11】（2024·全國·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因為，且注意到，從而.故選：A.【變式12】（2324高一下·云南曲靖·期中）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據交集的定義直接求解即可.【詳解】.故選：.【變式13】（2024·上?！と＃┮阎?，，則【答案】【分析】把集合中的元素代入不等式檢驗可求得.【詳解】當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以，所以.故答案為：.【規(guī)律方法】求集合A∩B的方法與步驟(1)步驟①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“A∩B”的形式；③把化簡后的集合A、B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素則所求交集為?)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，則應先解方程，求出方程的根后，再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個方程組成的方程組的解集，解集是點集．②若A、B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實心點表示，不含有端點的值用空心點表示．考點二：根據交集運算結果求集合或參數(shù)例2.（2324高二下·廣東惠州·階段練習）已知集合，若為單元素集，則的最小值為．【答案】【分析】根據為單元素集，所以，即可求解.【詳解】因為，且為單元素集，所以，所以的最小值為．故答案為：．【變式21】（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）已知集合，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】根據集合的交集求解即可.【詳解】因為，，所以，故.故選：A【變式22】（2024·上?！と＃┮阎?，，若，則．【答案】3【分析】根據給定條件，利用交集的結果直接列式計算即得.【詳解】集合，，由，得，又，因此，所以.故答案為：3【變式23】（2024·河北滄州·二模）已知集合，若，則的取值范圍為.【答案】【分析】求出集合，根據集合，即可求出.【詳解】由題意知，又且，故，即的取值范圍為.故答案為：.【總結提升】遇到A∪B＝B，A∩B＝A等這類問題，解答時常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關系去轉化為集合間的關系求解，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B．考點三：并集運算例3.（2024·全國·模擬預測）已知集合，，若，則中所有元素之和為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由，求出或，再分類討論由集合的互異性可求出，即可得出答案.【詳解】由得或，解得：或，若，則，不符合題意；若，，從而，所以中所有元素之和為4，故選：C．【變式31】（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接根據并集含義即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：A.【變式32】（2023高二下·浙江·學業(yè)考試）已知集合，，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據交集、并集的定義求出，，再根據元素與集合的關系、集合與集合的關系判斷即可.【詳解】因為，，所以，，所以，，，故A、B、C正確，D錯誤；故選：D【變式33】（2024·上?！と＃┤艏?，，則．【答案】;【分析】根據集合并集的定義即可求解.【詳解】由集合的并集定義可得，因為，，所以，故答案為：.【總結提升】1.對于描述法給出的集合，應先看集合的代表元素是什么，弄清是數(shù)集，還是點集……，然后將集合化簡，再按定義求解．2.求兩個集合的并集時要注意利用集合元素的互異性這一屬性，重復的元素只能算一個．3.對于元素個數(shù)無限的集合進行并集運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點的值能否取到．考點四：根據并集運算結果求集合或參數(shù)例4.（2022秋·山東東營·高一利津縣高級中學?？茧A段練習）集合，若，的值組成的集合為【答案】【分析】依題意有，即，分類討論求m的值.【詳解】若，則，即，由，則有或，若，解得或，當時，與集合中元素的互異性矛盾，∴．若，解得.所以的值組成的集合為.故答案為：．【變式41】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？计谀┮阎?，，且，則m的值為（

）A． B．或C．或或 D．或或或【答案】C【分析】根據并集的結果可得或，再根據集合的性質求解即可.【詳解】由可得或，解得，，或.又集合與，故，故，或.故選：C【變式42】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，則的取值范圍是.【答案】【分析】結合并集定義可得，將中所有元素代入計算即可得.【詳解】由，則，故有，解得，即.故答案為：.【變式43】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知集合，集合，若，則．【答案】2【分析】根據集合中元素的互異性和集合并集的運算可求的值.【詳解】因為，所以或.若，則，此時，集合中的元素不滿足互異性，故舍去.若則或.當時，，集合中的元素不滿足互異性，故舍去；當時，，，，故符合題意.故答案為：2【總結提升】1.A∪B＝B?A?B2.當集合A?B時，若集合A不確定，運算時要考慮A＝?的情況，否則易漏解．考點五：補集運算例5.（2023·河南駐馬店·一模）已知全集，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據題意，結合集合交集的概念及運算，即可求解.【詳解】由集合，，因為，可得.故選：C.【變式51】（2024高二下·浙江·學業(yè)考試）設全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據補集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：B【變式52】（2024·四川涼山·三模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷出兩個集合和之間的關系，再根據補集運算的定義求解即可．【詳解】因為集合或，，所以，故選：B．【變式53】（2024·山西·模擬預測）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合，進而根據補集的定義求得.【詳解】因為，所以，故選：A.【規(guī)律方法】兩種處理技巧：①當集合用列舉法表示時，可借助圖示．②當集合是用描述表示的連續(xù)數(shù)集時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解．考點六：根據補集的運算結果求集合或參數(shù)例6.（2324高一上·云南昆明·階段練習）已知全集，集合，且，則.【答案】【分析】由題設知，應用分類討論求參數(shù)值.【詳解】由題設知：，若；若無解；所以.故答案為：【變式61】（2324高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據補集概念進行求解.【詳解】因為，又，所以．故選：B．【變式62】（2324高一上·江蘇蘇州·階段練習）設全集，則集合．【答案】【分析】依題意可得，即可求出，從而求出，即可得解.【詳解】因為，所以，則，解得，所以，又，所以.故答案為：【變式63】（2324高一上·上海·期末）若全集，，且，求實數(shù)的值【答案】【分析】根據補集運算求解即可.【詳解】由題意可知：，則，解得，所以實數(shù)的值為.考點七：交集、并集、補集的綜合運算例7.（2024·廣東廣州·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的混合運算，逐一分析判斷各選項即可得解.【詳解】由題得：，，，或，或，所以，故A錯誤；或，故B錯誤；或，故C錯誤；，故D正確；故選：D.【變式71】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知集合，，，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據并集和交集的定義直接運算即可求解.【詳解】由題得，所以，故選：C.【變式72】（2324高一下·湖南長沙·開學考試）已知全集，則集合（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據題意，結合集合的運算，即可得到結果.【詳解】，且，則集合中不包含元素，即.故選：C【變式73】（2024·天津·三模）己知全集，集合，集合，則，．【答案】【分析】根據題意，分別求得和，結合集合運算法則，即可求解.【詳解】由全集，集合，集合，可得，則，.故答案為：；.考點八：根據集合的運算求參數(shù)例8.（2324高一上·廣東珠?！て谥校┮阎?，.(1)若，求的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用交集的定義求解；（2）分類討論，利用補集和并集的定義可求得結果.【詳解】（1）集合，，，則由交集的定義可知，且，解得.（2）當，即時，，符合題意；當，即時，，符合題意；當，即時，或，若，則，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.【變式81】（2324高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知集合.若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由，得到，分與討論即可.【詳解】由，得到分兩種情況考慮：①當，即時，，符合題意；②當，即時，需，解得：，綜上得：，則實數(shù)的取值范圍為.故選：A【變式82】（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）已知集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，得到，結合題意得到不等式，即可求解.【詳解】由集合，，可得，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式83】（2023·全國·高三專題練習）已知全，A?(CUB)＝{1，3，5，7}，則B＝.【答案】【分析】由全集，根據A?(CUB)，應用韋恩圖即可求集合B.【詳解】由題意，，

∵A?(CUB)，，∴.故答案為：.【總結提升】利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法①與不等式有關的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到；②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程(組)求解．【易錯警示】在求出參數(shù)后，注意結果的驗證(滿足互異性)．考點九：求集合中元素的個數(shù)例9.（2324高一上·湖南張家界·期末）學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班總共參賽的同學有（

）A．20人 B．17人 C．15人 D．12人【答案】B【分析】利用容斥原理可得.【詳解】設參加田徑運動的同學構成集合，參加球類運動會的同學構成集合，則參加田徑運動的同學人數(shù)，參加球類運動會的同學人數(shù)，兩次運動會都參賽的同學人數(shù)，則兩次運動會中，這個班總共參賽的同學人數(shù)為.故選：B.【變式91】（2324高一上·吉林·期中）高一（8）班共有30名同學參加秋季運動會中的100米短跑、立定跳遠、跳高三項比賽.已知參加100米短跑比賽的有12人，參加立定跳遠比賽的有16人，參加跳高比賽的有13人，同時參加其中兩項比賽的有9人，則這三項比賽都參加的有（

）A．3人 B．2人 C．1人 D．4人【答案】C【分析】作出圖形即可得到方程，解出即可.【詳解】設這三項比賽都參加的有人，則，解得．故選：C.

【變式92】（2324高一上·吉林通化·階段練習）某班有名學生，有圍棋愛好者人，足球愛好者人，同時愛好這兩項的最多人數(shù)為，最少人數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意設立集合，利用圖分析集合之間的關系，運算即可得解.【詳解】解：設全班學生構成的集合為全集，圍棋愛好者構成的集合為，足球愛好者構成的集合為，由題意，中有個元素，中有個元素，全集中有個元素，∵同時愛好這兩項的學生構成的集合就是，

∴要使中人數(shù)最多，即元素個數(shù)最多，需滿足是的真子集，如上圖，∴.

要使中人數(shù)最少，即元素個數(shù)最少，需滿足，如上圖，∴，解得：.∴.故選：D.【變式93】（2324高一上·北京·階段練習）學校舉辦運動會，高一（1）班共有28名同學參加比賽，有15人參加游泳比賽，8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，則只參加游泳比賽的人數(shù)是，只參加田徑一項比賽的人數(shù)是.【答案】92【分析】結合韋恩圖，利用集合的基本運算求解.【詳解】如圖所示：設U={參加比賽的學生}，A={參加游泳比賽的學生}，B={參加田徑比賽的學生}，C={參加球類比賽的學生}，依題意，，，于是，解得，所以只參加游泳比賽的人數(shù)為，只參加田徑比賽的人數(shù).故答案為：9，21．（2324高一下·云南曲靖·期中）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據交集的定義直接求解即可.【詳解】.故選：.2．（2024·陜西西安·模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據并集含義即可得到答案.【詳解】.故選：B.3．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用補集的定義求解即得.【詳解】全集，集合，所以.故選：D4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.5．（多選）（2024·江西·模擬預測）設集合，，若，則的值可以為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】ABD【分析】由，可得，再分和兩種情況討論即可.【詳解】，因為，所以，當時，，當時，，則或，所以或，綜上所述，或或.故