高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)提升版第39講簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

第39講簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積[課程標(biāo)準(zhǔn)]知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．1．多面體的表面積多面體的表面積就是圍成多面體eq\x(\s\up1(01))各個(gè)面的面積的和．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝eq\x(\s\up1(02))2πrlS圓錐側(cè)＝eq\x(\s\up1(03))πrlS圓臺(tái)側(cè)＝eq\x(\s\up1(04))π(r1＋r2)l3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝eq\x(\s\up1(05))Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝eq\x(\s\up1(07))4πR2V＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(4,3)πR3與體積有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等．1．(人教B必修第四冊(cè)習(xí)題11－1AT6改編)棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是()A.eq\r(3) B．4C．4eq\r(3) D．16答案C解析每個(gè)面的面積為eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，所以正四面體的表面積為4eq\r(3).故選C.2．(人教B必修第四冊(cè)11.1.4例1改編)設(shè)正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(5)，那么它的體積為()A．6eq\r(3) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．2答案B解析由正六棱錐底面邊長(zhǎng)為1和側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(5)，可知高h(yuǎn)＝2，又因?yàn)榈酌娣eS＝eq\f(3\r(3),2)，所以體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×2＝eq\r(3).故選B.3．設(shè)一個(gè)球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的表面積為()A．100π B.eq\f(256π,3)C．400π D.eq\f(500π,3)答案A解析由題意知切面圓的半徑r＝4，球心到切面圓心的距離d＝3，所以球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(42＋32)＝5，故球的表面積為4πR2＝4π×52＝100π.故選A.4．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)在正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則該棱臺(tái)的體積為________．答案eq\f(7\r(6),6)解析如圖，過(guò)A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的高．因?yàn)锳B＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，則A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)A1B1＝eq\f(\r(2),2)，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)AB＝eq\r(2)，故AM＝AO－A1O1＝eq\f(\r(2),2)，則A1M＝eq\r(A1A2－AM2)＝eq\r(2－\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2)，所以所求棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)×(4＋1＋eq\r(4×1))×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(7\r(6),6).5.如圖所示，在上、下底面對(duì)應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺(tái)中，過(guò)上底面一邊A1B1作一個(gè)平行于棱C1C的平面A1B1EF，記平面分三棱臺(tái)兩部分的體積為V1(三棱柱A1B1C1－FEC)，V2，那么V1∶V2＝________．答案3∶4解析設(shè)三棱臺(tái)的高為h，上底面的面積是S，則下底面的面積是4S，∴V三棱臺(tái)＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，又V1＝Sh，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(Sh,\f(7,3)Sh－Sh)＝eq\f(3,4).考向一幾何體的表面積例1(1)(2023·襄陽(yáng)四中模擬)如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是2，過(guò)PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為()A．(1＋eq\r(5))π B．(2＋eq\r(5))πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)＋\r(5)))π D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋\r(5)))π答案B解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2)，h＝eq\f(1,2)×2＝1，圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，過(guò)PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為π×1×eq\r(5)＋2π×eq\f(1,2)×1＋π×12＝(2＋eq\r(5))π.故選B.(2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積為________cm2(結(jié)果中保留π)．答案1100π解析如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底周長(zhǎng)為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，所以C＝π·SA.又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20cm.同理SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20(cm)．S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺(tái)的表面積為1100πcm2.求空間幾何體表面積的類型及方法多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積注意：(1)組合體的表面積注意銜接部分的處理．(2)靈活運(yùn)用直角三角形與直角梯形，如圓錐(臺(tái))中的高、母線、底面半徑；棱錐(臺(tái))中的高、棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)．1.若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2，則其表面積為________．答案4＋4eq\r(5)解析如圖，由題意知底面正方形的邊長(zhǎng)為2，正四棱錐的高為2，則正四棱錐的斜高PE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以該四棱錐的側(cè)面積S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，所以S表＝2×2＋4eq\r(5)＝4＋4eq\r(5).2.(2024·南充診斷)如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，eq\o(AC,\s\up8(︵))是四分之一圓，則圖中陰影部分以O(shè)C所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為________．答案5π解析該旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1，高是1，球的半徑是1，所以該旋轉(zhuǎn)體的表面積為π×12＋2π×1×1＋eq\f(1,2)×4π×12＝5π.多角度探究突破考向二幾何體的體積角度直接法求體積例2(2023·全國(guó)甲卷)在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．3答案A解析取AB的中點(diǎn)E，連接PE，CE，如圖，∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，∴PE＝CE＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，又AB∩CE＝E，AB，CE?平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故選A.角度補(bǔ)形法求體積例3如圖，一個(gè)底面半徑為3的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長(zhǎng)母線長(zhǎng)分別為4和10，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π答案B解析由幾何體的直觀圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上、下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.角度分割法求體積例4我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣，芻，草也，薨，屋蓋也”．今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體(如圖所示)，下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，上棱EF＝eq\f(3,2)，EF∥平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻薨的體積為()A．6 B.eq\f(11,3)C.eq\f(31,4) D．12答案B解析如圖，作FN∥AE，F(xiàn)M∥ED，分別交AB，CD于點(diǎn)N，M，連接MN，則多面體被分割為棱柱與棱錐兩個(gè)部分，則該芻薨的體積為VF－MNBC＋VADE－NMF＝eq\f(1,3)S四邊形MNBC·2＋S直截面·eq\f(3,2)＝eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))×2＋eq\f(2×2,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(11,3).故選B.角度轉(zhuǎn)化法求體積例5如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，則三棱錐A－A1EF的體積是________．答案8eq\r(3)解析由正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，得點(diǎn)F到平面A1AE的距離(等于點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離)為eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，則VA－A1EF＝VF－A1AE＝eq\f(1,3)S△A1AE×2eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).1．處理體積問題的思路2．求體積的常用方法直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算割補(bǔ)法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體、不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算等體積法選擇合適的底面來(lái)求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任何一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換1.(2023·佛山二模)極目一號(hào)(如圖1)是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長(zhǎng)55m，高19m，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示(單位：m)，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的體積約為(參考數(shù)據(jù)：9.52≈90，9.53≈857，315×1005≈316600，π≈3.14)()A．9064m3 B．9004m3C．8944m3 D．8884m3答案A解析由圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為R＝eq\f(19,2)＝9.5(m)，而圓臺(tái)另一個(gè)底面的半徑為r＝1(m)，則V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×9.53≈eq\f(1714π,3)(m3)，V圓柱＝π×9.52×14≈1260π(m3)，V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)×(9.52π＋eq\r(9.52π×π)＋π)×31.5≈eq\f(3166π,3)(m3)，所以V＝V半球＋V圓柱＋V圓臺(tái)≈eq\f(1714π,3)＋1260π＋eq\f(3166π,3)≈9064(m3)．故選A.2．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為()A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．4 D．6答案B解析如圖，三棱錐A－B1CD1是由正方體ABCD－A1B1C1D1截去四個(gè)小三棱錐A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的，又VABCD－A1B1C1D1＝23＝8，VA－A1B1D1＝VC－B1C1D1＝VB1－ABC＝VD1－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×23＝eq\f(4,3)，所以VA－B1CD1＝8－4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).3.如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________．答案4解析解法一(分割法)：因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DG于H，連接EH，即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH－ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF－CHG.由題意，知V三棱柱DEH－ABC＝S△DEH·AD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2，V三棱柱BEF－CHG＝S△BEF·DE＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝2＋2＝4.解法二(補(bǔ)形法)：因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體，顯然所求多面體的體積為該正方體體積的一半．又正方體的體積V正方體ABHI－DEKG＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝eq\f(1,2)×8＝4.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·錦州二模)已知某圓錐的高為2eq\r(2)cm，體積為eq\f(2\r(2)π,3)cm3，則該圓錐的側(cè)面積為()A.eq\f(3π,2)cm2 B．3πcm2C．6πcm2 D．12πcm2答案B解析設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)分別為r，l，由V＝eq\f(1,3)πr2×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3)，得r＝1cm，所以l＝eq\r(12＋（2\r(2)）2)＝3(cm)，所以該圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝3π(cm2)．故選B.2．張衡是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱錐A－BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝eq\r(3)，BC＝2，利用張衡的結(jié)論可得球O的表面積為()A．30 B．10eq\r(10)C．33 D．12eq\r(10)答案B解析因?yàn)锽C⊥CD，所以BD＝eq\r(7)，又AB⊥底面BCD，所以球O的球心為側(cè)棱AD的中點(diǎn)，從而球O的直徑為AD＝eq\r(10).利用張衡的結(jié)論可得eq\f(π2,16)＝eq\f(5,8)，則π＝eq\r(10)，所以球O的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))eq\s\up12(2)＝10π＝10eq\r(10).故選B.3．(2024·合肥模擬)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為1，表面積為1，有一面為正方形，則其體積為()A.eq\f(\r(2),108) B.eq\f(\r(2),27)C.eq\f(\r(2),9) D.eq\f(\r(2),6)答案B解析不妨設(shè)長(zhǎng)方體的底面為正方形，邊長(zhǎng)為a，高為b，則底面的對(duì)角線為eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，∵長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為1，表面積為1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4ab＋2a2＝1，,（\r(2)a）2＋b2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),6)，,b＝\f(2\r(2),3)，))∴長(zhǎng)方體的體積為a2b＝eq\f(\r(2),27).故選B.4.(2023·河源模擬)最早的測(cè)雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》(1247年)．該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”“圓罌測(cè)雨”“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”．“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量(平地降雪厚度＝器皿中積雪體積除以器皿口面積)，已知數(shù)據(jù)如圖(單位：cm)，則平地降雪厚度的近似值為()A.eq\f(91,12)cm B.eq\f(31,4)cmC.eq\f(95,12)cm D.eq\f(97,12)cm答案C解析器皿中雪表面的半徑為eq\f(20＋40,4)＝15(cm)，所以平地降雪厚度的近似值為eq\f(\f(1,3)π×20×（102＋152＋10×15）,π×202)＝eq\f(95,12)(cm)．故選C.5．(2024·武漢模擬)已知一個(gè)圓柱的側(cè)面積等于表面積的eq\f(2,3)，且其軸截面的周長(zhǎng)是16，則該圓柱的體積是()A．54π B．36πC．27π D．16π答案D解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，由題意可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2πrh＝\f(2,3)（2πrh＋2πr2），,4r＋2h＝16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,h＝4，))∴該圓柱的體積是πr2h＝16π.故選D.6.(2023·常州模擬)如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為60°的扇形．把該圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺(tái)的上底面半徑為eq\f(1,3)，則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A.eq\f(8π,3) B.eq\f(\r(35)π,2)C.eq\f(16π,3) D．8π答案C解析假設(shè)圓錐的半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則R＝1.設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l1，則r＝eq\f(1,3).由已知可得，eq\f(π,3)＝eq\f(2πR,l)＝eq\f(2π,l)，所以l＝6.如圖，作出圓錐、圓臺(tái)的軸截面，則eq\f(l－l1,l)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,3)，所以l1＝4.所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(R＋r)l1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))π＝eq\f(16π,3).故選C.7．(2023·天津高考)在三棱錐P－ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝eq\f(1,3)PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN＝eq\f(2,3)PB，則三棱錐P－AMN和三棱錐P－ABC的體積之比為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(4,9)答案B解析如圖，因?yàn)镻M＝eq\f(1,3)PC，PN＝eq\f(2,3)PB，所以eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(\f(1,2)PM·PNsin∠BPC,\f(1,2)PC·PBsin∠BPC)＝eq\f(PM·PN,PC·PB)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，所以eq\f(VP－AMN,VP－ABC)＝eq\f(VA－PMN,VA－PBC)＝eq\f(\f(1,3)S△PMN·d,\f(1,3)S△PBC·d)＝eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(2,9)(其中d為點(diǎn)A到平面PBC的距離，因?yàn)槠矫鍼MN和平面PBC重合，所以點(diǎn)A到平面PMN的距離也為d)．故選B.8．中國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高．詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．上述原理在中國(guó)被稱為祖暅原理．一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為2eq\r(3)的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢(shì)既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A．16 B．16eq\r(3)C．18eq\r(3) D．21答案D解析由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺(tái)的體積相等，∵正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，則S1＝6×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，S2＝6×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝6eq\r(3)，故V＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)＋3\r(3)＋6\r(3)))×2eq\r(3)＝21.故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．(2023·黃岡模擬)如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為2πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶2答案CD解析∵圓柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，∴圓柱的側(cè)面積為2πR·2R＝4πR2，A錯(cuò)誤；圓錐的母線長(zhǎng)l＝eq\r(R2＋（2R）2)＝eq\r(5)R，側(cè)面積為πRl＝eq\r(5)πR2，B錯(cuò)誤；球的表面積為4πR2，∴圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，C正確；∵V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴V圓柱∶V圓錐∶V球＝2πR3∶eq\f(2,3)πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2，D正確．故選CD.10．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則()A．該圓錐的體積為π B．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2) D．△PAC的面積為eq\r(3)答案AC解析依題意，∠APB＝120°，PA＝2，所以O(shè)P＝1，OA＝OB＝eq\r(3)，對(duì)于A，圓錐的體積為eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，A正確；對(duì)于B，圓錐的側(cè)面積為π×eq\r(3)×2＝2eq\r(3)π，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接OD，PD，則AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P－AC－O的平面角，則∠PDO＝45°，所以O(shè)P＝OD＝1，故AD＝CD＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，則AC＝2eq\r(2)，C正確；對(duì)于D，PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以S△PAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝2，D錯(cuò)誤．故選AC.11．(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E－ACD，F(xiàn)－ABC，F(xiàn)－ACE的體積分別為V1，V2，V3，則()A．V3＝2V2 B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1答案CD解析設(shè)AB＝ED＝2FB＝2a，因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，則V1＝eq\f(1,3)ED·S△ACD＝eq\f(1,3)·2a·eq\f(1,2)·(2a)2＝eq\f(4,3)a3，V2＝eq\f(1,3)FB·S△ABC＝eq\f(1,3)·a·eq\f(1,2)·(2a)2＝eq\f(2,3)a3，連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，易得BD⊥AC，又ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則ED⊥AC，又ED∩BD＝D，ED，BD?平面BDEF，則AC⊥平面BDEF，又BM＝DM＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)a，過(guò)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，易得四邊形BDGF為矩形，則FG＝BD＝2eq\r(2)a，EG＝a，則EM＝eq\r(（2a）2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(6)a，F(xiàn)M＝eq\r(a2＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，EF＝eq\r(a2＋（2\r(2)a）2)＝3a，EM2＋FM2＝EF2，則EM⊥FM，S△EFM＝eq\f(1,2)EM·FM＝eq\f(3\r(2),2)a2，AC＝2eq\r(2)a，則V3＝VA－EFM＋VC－EFM＝eq\f(1,3)AC·S△EFM＝2a3，則2V3＝3V1，V3＝3V2，V3＝V1＋V2.故選CD.三、填空題12．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為________．答案28解析解法一：由于eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(4×4)×6＝32，截去的正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×(2×2)×3＝4，所以棱臺(tái)的體積為32－4＝28.解法二：棱臺(tái)的體積為eq\f(1,3)×3×(16＋4＋eq\r(16×4))＝28.13.如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形的邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.答案12eq\r(3)－eq\f(π,2)解析正六棱柱的體積為6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)(cm3)，挖去的圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(π,2)(cm3)，故所求幾何體的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))(cm3)．14.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體．其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.答案118.8解析由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm和4cm，故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V長(zhǎng)方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長(zhǎng)方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．四、解答題15．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∠CAB＝120°.(1)求直三棱柱ABC－A1B1C1的體積；(2)求直三棱柱ABC－A1B1C1的表面積．解(1)AB＝AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∠CAB＝120°，則直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠CAB·AA1＝eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),4).(2)AB＝AC＝1，∠CAB＝120°，則BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝3，解得BC＝eq\r(3).故直三棱柱ABC－A1B1C1的表面積為2×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＋eq\r(2)×(1＋1＋eq\r(3))＝2eq\r(2)＋eq\r(6)＋eq\f(\r(3),2).16．