浙教新版九年級下學期《2. 3 三角形的內(nèi)切圓》同步練習卷

浙教新版九年級下學期《2.3三角形的內(nèi)切圓》

同步練習卷

一.解答題(共50小題)

1.如圖，△A8C中，AC=8C,點/是△ABC的內(nèi)心，點。在邊上，以點。

為圓心，。8長為半徑的圓恰好經(jīng)過點/,連接。，B1.

(1)求證：C/是。。的切線；

(2)若AC=8C=5,AB=6,求8/的長.

2.如圖，是△ABC的外接圓，8c為。。的直徑，點E為△ABC的內(nèi)心，

連接AE并延長交。。于。點，連接BD并延長至F,使得BD=DF,連接

CF、BE.

(1)求證：DB=DE；

(2)求證：直線CF為。。的切線.

(3)若tan/AOB=q,BC=10,求的長.

3

3.如圖，。。是△ABC的外接圓，/H是。O的切線，切點為RAb平分NBAC.連

接AE交8C于E,連接8E

(1)求證：FH//BC；

(2)若在上存在一點。，使得FB=FD,試說明點。是△ABC的內(nèi)心.

4.在△ABC中，邊AC上有一點。滿足OC=2AO,。是△BOC的內(nèi)心，E、

分別為OO與邊3D、。。的切點，設

(1)求證：@AELEF,@AE//DO；

(2)若AC=6,。。的半徑為1,求AE的長.

5.△A3C的內(nèi)切圓。。與8C,CA,A3分別相切于點。、E、F,且AB=9cv%,

BC=14an,CA=13cm,求A從BD、CE的長.

6.如圖，△ABC的周長為24,面積為24,求它的內(nèi)切圓的半徑.

7.如圖，/是△ABC的內(nèi)心，/B4C的平分線與△ABC的外接圓相交于點

與8C相交于點E.

(1)寫出圖中與△CAE相似的所有三角形;

(2)求證：DI=DB-,

(3)求證：DI2=DE*DA.

8.如圖，在△ABC中，ZC=90°,。。為它的內(nèi)切圓，切點分別為E、F、D,

斜邊AB=10,△ABC的內(nèi)切圓半徑為1,求△ABC的周長.

9.如圖，。。是△A3C的內(nèi)切圓，與A3、BC、CA分別相切于點。、E、F,Z

DEF=45度.連接3。并延長交AC于點G,AB=4,AG=2.

(1)求NA的度數(shù)；

(2)求的半徑.

10.如圖，在△ABC中，。是內(nèi)心，點E,尸都在大邊上，已知B/=84,

CE=CA.

(1)求證：。是△AEF的外心；

(2)若N8=40°,ZC=30°,求NEOF的大小.

11.如圖，在△ABC中，A8=AC,內(nèi)切圓。與邊BC、AC、AB分另U切于。、E、

F.

(1)求證：BF=CE；

(2)若NC=30°,CE=2炳,求AC.

12.如圖，。是△ABC的外心，/是△ABC的內(nèi)心，連A/并延長交和。。于

D、E兩點.

(1)求證：EB=Eh

(2)若A8=4,AC=3,BE=2,求A/的長.

13.如圖，已知點/是aABC的內(nèi)心，A/交8C于。，交外接圓。于￡,求證:

IE=EC.

14.如圖，。。是△ABC的外接圓，點E為△ABC內(nèi)切圓的圓心，連接AE的延

長線交BC于點尸，交。。于點。；連接BD,過點。作直線。M,使NBOM

=ADAC.

(1)求證：直線。M是。。的切線；

(2)若。/=2,且A/=4,求8。和。E的長.

15.如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交8C于點E,交△ABC的外接

圓OO于點。，連接8。，過點。作直線。M,使NBQM=ND4C；

(1)求證：直線。M是。。的切線；

(2)若DF=2,AF=5,求3。長.

16.如圖，/XABC中，ZC=90°,。。是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F是切點.

(1)求證：四邊形OOCE是正方形；

(2)如果AC=6,BC=8,求內(nèi)切圓。。的半徑.

17.如圖，點/是△ABC的內(nèi)心，A/的延長線和△ABC的外接圓相交于點

與相交于點E.

(1)求證：DI=DB；

(2)^AE=6cm,ED=4cm,求線段。/的長.

18.如圖，BC為。。的直徑，點A為。。上一點，點E為△A8C的內(nèi)心，0E

±EC.

(1)若BC=10,求。E的長；

(2)求sinNEBO的值.

19.如圖，。。是△ABC的外接圓，為。0的直徑，點E為△ABC的內(nèi)心,

連接AE并延長交于。點，連接8。并延長至尸，使得連接

CF、BE.

(1)求證：DB=DE；

(2)求證：直線CT為。。的切線.

(1)求△A3C的外接圓的直徑；

(2)如果AB=8C,求△ABC內(nèi)切圓的半徑.

A

21.如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，線段AE的延長線交△ABC的外接圓于點。.

(1)求證：ED=BD；

(2)若N84C=90°,△ABC的外接圓的直徑是6,求3。的長.

22.已知：如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,。。與△ABC的三邊分別切于點

D,E,F.

(1)連接AO、B0,求乙408的度數(shù)；

(2)連接8。，若tanNOBC=L,求tanNAB。的值.

23.如圖，E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓。0相交于點。.

(1)求證：△8DE是等腰三角形；

(2)若?0的直徑為10cm，/BAC=60°,求的長.

24.已知，如圖，在AABC中，E是內(nèi)心，延長AE交△ABC的外接圓于點。,

弦交弦8C于點?

(1)求證：DE=DB；

(2)若COSN8AC=L,BC=6,則。E=

2-------

25.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,。。是△A3C的內(nèi)切圓，切點。、E、

F,

(1)求證：四邊形OEC/是正方形；

(2)若AE=10,BE=3,求。。的面積.

26.如圖,△48C中,ZC=90°,且8C=5,它的內(nèi)切。。分別與邊A3、BC、

CA相切于點。、F、E,。。的半徑r=2.求△ABC的周長.

27.如圖，RtZXABC的內(nèi)切圓。。與45、BC、AC分別切于點。、E、F,且AC

=13,AB=\2,ZABC=90°求：。0的半徑長.

28.已知：如圖，點N為△ABC的內(nèi)心，延長AN交BC于點。，交△A3C的外

接圓于點E.

(1)求證：EB=EN=EC；

29.到目前為止，計算三角形的面積有哪一些公式呢？下面我們來小結(jié)歸納一下

吧：

公式(1)：底X高

公式(2)；s△4(a+b+cAr，其中。、從c為三角形三邊長，r為三角形內(nèi)切

圓半徑.

公式(3)：課本尸19海倫-秦九韶公式：SA^p(p-a)(p-b)(p-c)

其中。、氏c為三角形三邊長，◎山￡

P2

根據(jù)上述3個公式，請你選擇適當?shù)姆椒ㄓ嬎悖?/p>

問題1：已知△ABC的三邊a=4,b=5,c=6,求△ABC的面積.

問題2：如圖，在中，ZC=90°,AC=5,BC=12,求△ABC的內(nèi)切

圓半徑r.

30.如圖，△ABC中，ZC=90°,它的內(nèi)切圓。分別與邊A3、BC、C4相切

于點。、E、F,且80=12,AO=8,求。0的半徑r.

31.如圖，RtZXABC中，ZC=90°,△ABC的內(nèi)切圓。。與BC,CA,AB分

別相切于點。，E,F

(1)求證：四邊形OOCE是正方形；

(2)若BC=5、AC=12,。0的半徑為R,求R的值.

32.如圖，已知E是△A3C的內(nèi)心，NBAC的平分線交BC于點F,且與△ABC

的外接圓相交于點D.

(1)求證：NDBE=NDEB；

(2)若AO=8c〃z,DF：M=l：3.求OE的長.

33.如圖，點/是△ABC的內(nèi)心，A/的延長線交邊BC于點。，交△ABC外接圓

于點E.

(1)求證：IE=BE；

(2)若/E=4,AE=8,求OE的長.

I

BC

E

34.△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB三邊于。、E、F,G是EF上的一點,

J.DG1EF,求證：DG平分N8GC.

35.已知：△ABC內(nèi)接于00,/是△ABC的內(nèi)心，AD交BC于點E.求證：DB

=DI.

36.如圖，/\ABCA、B,。三點的坐標分別為A(0,8),B(-6,0),C

(15,0).若△ABC內(nèi)心為O,求點。的坐標.

37.如圖，△ABC中，ZC=90°,為△ABC的內(nèi)切圓，點。為△ABC的外

心，BC=6,AC=8.

(1)求O/的半徑；

(2)求線段0/的長.

38.如圖，點/是△ABC的內(nèi)心，A/的延長線與邊3c相交于點。，與△A3C的

外接圓相交于點C.

求證：IE=BE.

A

39.如圖，在△A3C中，AB=AC,。。是△ABC的內(nèi)切圓，它與AB,BC,CA

分別相切于點。、E、F.

(1)求證：BE=CE；

(2)若NA=90°,AB=AC=2,求。。的半徑.

40.如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線與相交于點E與△ABC的

外接圓相交于點D.

(1)求證：ZBAD=ZCBD；

41.如圖，。0是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為。、E、F,ZB=60°,ZC=

70°,求NEO尸的度數(shù).

=90°，AC=6cm,BC=8an.求:。0的半徑是多少cm?

43.如圖，在△ABC中，/是內(nèi)心，。是邊上一點，O。經(jīng)過8點且與A/

相切于/點.

(1)求證：AB=AC；

(2)若3C=16,。。的半徑是5,求4的長.

44.如圖，。0是△ABC的內(nèi)切圓，點。、E、尸為切點，點M為優(yōu)弧DER上

任意一點，ZB=66°，NC=37°,求NM的大小.

45.如圖，△ABC中，AC=BC,/為AABC的內(nèi)心，。為BC上一點，過8、I

兩點的。。交于。點，tanNC5/=L,AB=6

3

(1)求線段8。的長;

(2)求線段的長.

46.如圖，在△A3C中，ZC=90°,。。是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為

E,F,若BD=6,AD=4,求O。的半徑兒

47.如圖，ZC=90°,。0是RtZVIBC的內(nèi)切圓，分別切BC,AC,于點E,

F,G,連接OE,OF.AO的延長線交于點。，AC=6,CD=2.

(1)求證：四邊形OECF為正方形;

(2)求。。的半徑；

(3)求的長.

48.△ABC的內(nèi)切圓與BC,CA,A3分別相切于點。、E、F,且

BC=16cm,CA=l5cm,求ARBD、C￡的長？

E

BC

49.如圖，在Rt^ABC中，內(nèi)切圓。。分別與A3、AC.BC相切，且A8=5,

AC=\3,求內(nèi)切圓的半徑.

50.如圖，在△ABC中，ZC=90°,NA、NB的平分線交于點D,DEA.BC

于點E,DF±AC于點F.

(1)求證：四邊形CFDE是正方形；

(2)若AC=6,BC=8,求△ABC的內(nèi)切圓半徑.

E

浙教新版九年級下學期《2.3三角形的內(nèi)切圓》2018年

同步練習卷

參考答案與試題解析

一.解答題(共50小題)

1.如圖，△A3C中，AC=8C,點/是△A3C的內(nèi)心，點。在邊上，以點。

為圓心，08長為半徑的圓恰好經(jīng)過點/,連接C/,BI.

(1)求證：C/是。0的切線；

(2)若AC=8C=5,AB=6,求8/的長.

【分析】(1)設N/CB=尤，ZIBC=y,得：2x+2y+2y=180°,則x+2y=90°,

再證明N/OC+N/CO=2y+x=90°,可得NO/C=90°,則CI是。。的切線；

(2)延長C/交4?于O,先計算NCD4=90°，得8=4,證明△O/CSABOC,

列比例式迎基，設。。的半徑為「，得r的值，由匹步，計算。/的值,

BDCBDCBC

根據(jù)勾股定理可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接。/,

?.?點/是△ABC的內(nèi)心，

:.BI、C7分別是NABC、NACB的平分線，

設N/CB=尤，ZIBC=y,

,：AC=BC,

：.ZABC=ZA=2y,ZACB=2x,

，2x+2y+2y=180°,

：.x+2y=90°,

■:OB=OI,

：.ZOIB=ZOBI,

：.ZABI=ZOIB,

，01//AB,

：.ZI0C=ZABC=2y,

：.Z/OC+Z/CO=2y+x=90°,

AZO/C=90°,

.??c/是。。的切線；

(2)解：延長C/交4?于0,

VZACD+ZA=x+2y=90°,

：.ZCDA=90°,

：.CD±AB,

AC=BC=5,AB=6,

：.AD=BD=3,

：.CD=4,

01//AB,

?

??01=----0C,

BDCB

設。。的半徑為r,

?r5-r

??—z:---,

35

_15

r---------9

8

OI//BD,

??--D--I-=-O--B-

DCBC

A

D

B\~o_Jc

【點評】本題考查切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)和判定、

勾股定理、三角形內(nèi)心的性質(zhì)等知識，解答的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，

靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

2.如圖，00是△ABC的外接圓，為。。的直徑，點E為△ABC的內(nèi)心，

連接AE并延長交。。于。點，連接8。并延長至F使得8。=。r連接

CF、BE.

(1)求證：DB=DE；

(2)求證：直線CF1為。。的切線.

(3)若tanNAOB=q，BC=10,求A。的長.

3

【分析】(1)欲證明OB=DE,只要證明

(2)欲證明直線CF為。。的切線，只要證明尸即可；

(3)要根據(jù)tanNAOB=且，BC=10,求AO的長，只要求得8。的長即可,

3

【解答】(1)證明：???￡是△A3C的內(nèi)心，

/BAE=ZCAE,NEBA=NEBC,

■:/BED=/BAE+/EBA,NDBE=NEBC+/DBC,NDBC=NEAC,

：.ZDBE=ZDEB,

：.DB=DE.

(2)連接CD.

?.?OA平分NBAC,

：.ZDAB=ZDAC,

：.BD=CD,

又?：BD=DF,

:.CD=DB=DF,

：.ZBCF=90°,

：.BC±CF,

.?.a7是。。的切線.

(3)如圖2

在Rt^ABC中，8c=10,ZACB=ZADB,tanNAOB=2,

3

.,.AB=S,AC=6,

過點E作E"，AC于凡

?.?點E是RtZXABC內(nèi)心,

...內(nèi)切圓的半徑E"=6+8-10=2,

在RtAAE”中，N040=45。,

：.AE=4oEF=2y[2

由(2)知，△BOC為等腰直角三角形，又有3c=10,

:.BD=10+4^=5日

:.DE=BD=5近,AD=DE+AE=7?

【點評】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的判定、等腰三角形的判定、直

角三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添

加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

3.如圖，。。是△ABC的外接圓，是。0的切線，切點為RAf平分連

接Ab交8C于E,連接8凡

(1)求證：FH//BC；

(2)若在AF上存在一點。，使得FB=FD,試說明點。是△ABC的內(nèi)心.

【分析】(1)過點p作直徑KV,連接BN.根據(jù)切線的性質(zhì)得到FALLF",根據(jù)

垂徑定理得到FNLBC,證明結(jié)論；

(2)連接BO,證明8。是/ABC的平分線，根據(jù)內(nèi)心的定義證明.

【解答】解：(1)證明：如圖，過點尸作直徑FN,連接BN.

/是。。的切線，

:.FN1FH,

?.?Ab平分N84C,

NBAF=ZFAC,

?*-FB=FC?

由垂徑定理得，F(xiàn)N上BC,

：.FH//BC；

(2)連接

,:FB=FD,

：.ZFBD=ZFDB,

又,：/FBD=/FBC+/DBC,ZFDB=ZFAB+ZABD,ZFAB=ZFBC,

：./DBC=ZABD,

.?.B。平分NABC,又AF平分N8AC,

...點。是aABC的內(nèi)心.

【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心的概念、平行線的判定，掌握

切線的性質(zhì)定理、內(nèi)心是三角形的角平分線的交點是解題的關(guān)鍵.

4.在△ABC中，邊AC上有一點。滿足OC=2A。，。是△8OC的內(nèi)心，E、F

分別為。。與邊B。、。。的切點，設BD=BC.

(1)求證：?AELEF,@AE//DO-,

(2)若AC=6,。0的半徑為1,求AE的長.

B

ADFC

【分析】(1)①連接80、0F,由點。是的內(nèi)心，所以8。是的

平分線，又因為。。是。。的切線，所以OFLOC,又因為BD=BC,由三線

合一可知，B、。、F三點共線，所以可得4。=。凡然后利用切線長定理可

知AO=OE=O凡從而可知NAEF=90°；

②點。是△8DC的內(nèi)心可知，。。是△8DC的平分線，所以NEDO=NOEA,

從而可得AE〃OO；

(2)由(1)可知。0LER設。。與EF相交于點G,由勾股定理求出。。的

長度，再由等面積可求得G尸的長度，利用垂徑定理可得Eb的長度，最后用

勾股定理即可求出AE的長度.

【解答】解（1）①連接。8、OF,

?.?點。是的內(nèi)心，

0B平分NDBC,

???CD與。。相切，

：.OF±CD,

"：BD=BC,

：.B,0、/三點共線，

：.DF=CF,

\'DC=2AD,

：.AD=DF,

?.?8。與O。相切，

，由切線長定理可知：DE=DF,

：.AD=DE=DF,

E、F三點共圓，且圓心為。

??.A/是0。的直徑，

AZAEF=90°,

：.AE±EF,

②是的內(nèi)心，

.??。0平分/8。。，

：.ZEDF=2ZEDO,

*/ZEDF=ZDAE+ZDEA,

：.2ZEDO=2ZDEA,

：.ZEDO=ZDEA,

：.AE//DO,

（2）設。。與EE相交于點G,

由（1）可知：DE=DF,DO平分NEDF,

：.DO±EF,

"：AD=DF=CF,AC=6,

：.DF=2,

?:0F=1,

由勾股定理可求得：0D=8

'：LDF*OF=^OD*FG,

22

：.FG=2^-,

5_

由垂徑定理可知：EF=2FG=^-,

5

,：AF=2DF=4,

VZAEF=90°,

由勾股定理可求得：AE=^.

5

【點評】本題考查三角形的內(nèi)心性質(zhì)，涉及切線長定理，等腰三角形的三線合一，

勾股定理，垂徑定理等知識，內(nèi)容較為綜合，需要學生靈活運用所學知識進

行解答.

5.△A3C的內(nèi)切圓。。與BC,CA,A3分別相切于點。、E、F,且AB=9cv%,

BC=14an,CA=13cm,求A從BD、CE的長.

E

Ay?i\

RDC

【分析】根據(jù)切線長定理，BJiSAE=AF=xcm,BF=BD=ycm,CE=CD=zc〃z.再

根據(jù)題意列方程組，即可求解.

【解答】解：根據(jù)切線長定理，設8/=8。=/加，CE=CD=zcm.

根據(jù)題意，得

'x+y=9

*y+z=14>

x+z=13

解得：

'x=4

-y=5-

z=9

即AF=4cm>BD=5cm、CE=9cm.

【點評】此題要熟練運用切線長定理.

注意解方程組的簡便方法：三個方程相加，得到x+y+z的值，再進一步用減法求

得x,y,z的值.

6.如圖，△ABC的周長為24,面積為24,求它的內(nèi)切圓的半徑.

【分析】連結(jié)04、OB、0C,作ODLAB于。，OELBC于E,0F1ACTF,

根據(jù)切線的性質(zhì)得OD=OE=OF=r,則利用SAABCUSAAOB+SAOBC+SAOAC得到

1?LA8+LTBC+LTAC=24,變形得到上一^AB+BC+AC)=24,然后把

2222

周長為24代入計算即可得到r的值.

【解答】解：連結(jié)04、OB、0C,作OOLA8于O,0E上BC于E,Ob_LAC于

F,

設它的內(nèi)切圓的半徑為r,則。。=。石=。尸=廠,

SAABC=SAAOS+SAOBC+SAOAC，

,r*AB+—*r*BC+—?，?AC=24,

222

Z.lr(AB+BC+AC)=24,

2

.?.0?24=24,

2

：.r=2.

即它的內(nèi)切圓的半徑為2.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形

的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的

外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點，三角形的

內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個

內(nèi)角.

7.如圖，/是△ABC的內(nèi)心，NBAC的平分線與△ABC的外接圓相交于點。，

與8C相交于點E.

(1)寫出圖中與△CAE相似的所有三角形；

(2)求證：DI=DB-,

(3)求證：D?=DE?DA.

I

B'C

D

【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得NC=ND,NCAE=NDBE,再

由角平分線定義，則ADAB^^ABC；

（2）連接B/,CI,CD,求證△BCO為等腰三角形，再利用8/為NABC平分線，

求證△08/為等腰三角形，利用等量代換即可證明；

（3）證得DB2=DE?DA,再由（2）得D?=DE*DA.

【解答】（1）解：與△C4E相似的所有三角形：ADBE,ADAB；

'：ZC=ZD,NCAE=NDBE,

：./\DBE^/\CAE；

VZC=ZD,AO是NBAC的平分線，

：.ZBAD=ZEAC,

.?.△/MBs△CAE；

（2）證明：連接B/,CI,CD,

為內(nèi)心，

為N3AC角平分線，

B/為NABC平分線，

:.ZABI=ZCBI,NBAD=ZDAC,

,/ZBID=ZABI+ZBAI,

ZCBD=ZDAC=ZBAI,

：.NBID=/CBI+NCBD=NOB/,

.?.△。以為等腰三角形，

：.DB=DI；

(3)證明：':NDBE=NCAD,NBAE=NCAE,

，ZBAE=/EBD,

:.ADBESADAB,

?DB=DE

**DADB，

：.DB2=DE*DA,

又?：DB=DI（已證）,

:.DF=DE、DA.

【點評】本題考查了三角形的相似和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，證明此題

的關(guān)鍵是連接8/,CI,CD,求證△3C。為等腰三角形，再利用8/為NABC

平分線，求證△DB/為等腰三角形..

8.如圖，在△ABC中，ZC=90°,O。為它的內(nèi)切圓，切點分別為E、F、D,

斜邊A3=10,/XABC的內(nèi)切圓半徑為1,求△ABC的周長.

【分析】根據(jù)切線長定理可以求得AE+3O的值，根據(jù)切線長定理和正方形的判

定以及性質(zhì)可以求得8和CE都等于直角三角形內(nèi)切圓的半徑，從而求得直

角三角形的周長.

【解答】解：連接。。、0E.

;。。為它的內(nèi)切圓，切點分別為E、F、D,

：.AE=AF,BD=BF,CD=CE,0D1BC,OELAC,

...四邊形ODCE是正方形，

：.CD=CE=1,AB=BF+AF=BD+AE,

：.AABC^^^z=AB+BC+AC=AF+BF+BD+AE+DC+CE=2(AF+BF)+2CD=2

CAB+DC)=2(10+1)=22.

【點評】此題考查了切線長定理、切線的性質(zhì)以及正方形的判定和性質(zhì).

9.如圖，。。是△ABC的內(nèi)切圓，與AB、BC、CA分別相切于點。、E、F,Z

。石尸=45度.連接8。并延長交AC于點G,AB=4,AG=2.

（1）求NA的度數(shù)；

（2）求的半徑.

【分析】（1）由于已知了NOE尸的度數(shù)，那么可連接OD,OF,那么NOO尸=2

ZDEF=90°,根據(jù)AD,AF是圓的切線，那么OOLAB,OFLAC,由此可

得出NA的度數(shù).

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論我們不難得出四邊形A。。尸是個正方形，那么OD=AD

=A尸=0/就都等于圓的半徑長，那么可用半徑表示出8。的長，根據(jù)0?！?/p>

AC,我們可以得出關(guān)于BD,AB,OD,AG的比例關(guān)系式.已知了AG,AB

的長就能求出半徑的長了.

【解答】解：（1）連接。。，OF,

???。。是△ABC的內(nèi)切圓，

A0D1AB,0F1AC,又NDOF=2NDEF=2X45°=90°,

AZODA=ZOFA=ZDOF=90°,

四邊形A。。尸是矩形，

/.ZA=90°；

(2)設。。的半徑為r,

由(1)知四邊形AOOR是矩形，又OD=OF,

二四邊形AOO尸是正方形.

OD//AC.

:.△BODsABGA.

?DOBD

??----ZZ-------?

AGBA

即二

2-4

解得r=且.

3

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形等知識點綜合應用.根

據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)得出四邊形AOO尸是正方形是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在△A3C中，。是內(nèi)心，點￡,尸都在大邊上，已知BF=8A,

CE=CA.

(1)求證：O是AAE尸的外心；

(2)若NB=40°,ZC=30°,求/EOF的大小.

【分析】(1)連接OA、OB、OC,OE、OF,證AAB。之△FBO,推出OA^OF,

OA=OF即可;

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/”E=90°-1ZB,ZAEF=90°-

22

C,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.

【解答】解：(1)證明：連接。4、OB、OC、OE、OF,

是△ABC的內(nèi)心，

：./OBA=NFBO,

在AABO和△bBO中

rBA=BF

<ZAB0=ZFB0

BO=BO

A(SAS),

：.OA=OF,

同理。4=OE,

：.OA=OE=OF,

是△ABC的外心.

(2)?.?。是△AEF的外心，

：.ZEOF=2ZEAF,

在等腰三角形BOJLAH

/.ZAFE=90°-1ZB,

2

同理NAEF=90°-1ZC,

2

：.ZEOF=2ZEAF=2(180°-ZAEF-NAFE),

=[180°-(90°-1ZC)-(90°=2(1ZB+^ZC)=70°,

2222

答：NEOF的度數(shù)是70°.

【點評】本題主要考查對三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，全等

三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，能綜合

運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.

11.如圖，在△ABC中，AB=AC,內(nèi)切圓。與邊BC、AC、A3分別切于。、E、

F.

(1)求證：BF=CE；

(2)若NC=30°，CE=2yf3,求AC.

【分析】（1）根據(jù)切線長定理得到AF=AE,再結(jié)合AB=AC,得到8/=CE；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和切線長定理，得到。是的中點，從而得到4。，

。三點共線.根據(jù)等腰三角形的三線合一得到直角三角形ACD根據(jù)切線長

定理得到CD=CE,則根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得AC的長.

【解答】（1）證明：???AE,A/是的切線；

：.AE=AF,

y.-：AC=AB,

：.AC-AE=AB-AF,

：.CE=BF,BPBF=CE.

（2）解：連接AO、OD；

?.?O是△ABC的內(nèi)心，

：.OA平分NBAC,

是△ABC的內(nèi)切圓，。是切點，

:.ODLBC；

又?.?AC=AB,

，A、0、。三點共線，即AOL8C,

?:CD、CE是。。的切線，

：.CD=CE=2y[3,

在RtZ\AC。中，由NC=30°,CD=243>得

【點評】此題主要是運用了切線長定理和等腰三角形的三線合一的性質(zhì).

12.如圖，。是AABC的外心，/是△ABC的內(nèi)心，連A/并延長交和。0于

D、E兩點.

（1）求證：EB=Eh

（2）若AB=4,AC=3,BE=2,求A/的長.

【分析】（1）欲證明只要證明NEB/=NE/B；

（2）連接EC.由可得地=坦=旭=a=2,設。E=m,CD

DEDCEC2

=n,則3D=2〃?，AD=2n,同法可證：AADC^ABDE,推出世=至，推

BDBE

出處=a_,推出n.m=3：2,設n=3k,m=2k,由AECDsABAC,可得

2m2

EC2=ED*EA,推出4=機?（機+2”），即4=2左（2%+6女）解得女=工或-工（舍

22

棄），由此即可解決問題；

【解答】（1）證明：???/是△ABC的內(nèi)心，

平分NCAB,3/平分NA3C,

，/BAE=/CAE,ZABI=ZCBI,

/BIE=NBAE+NABI,NIBE=ZIBD+Z.EBD,

'：ZCBE=ZCAE,

：.ZBIE=ZEBI,

：.EB=Eh

（2）解：連接EC.

'：ZBAE=ZCAE,

?'.BE=EC?

：.BE=EC=2,

■:ZADB=ZCDE,NBAD=NDCE,

：.△A0BMCDE,

/.—=—=—=A=2,設CD=n,則B￡)=2〃2,AZ5—

DEDCEC2

同法可證：AADC^ABD￡,

.AD=AC

"BDBE，

?.?2n_3-,

2m2

??〃：陽=3：2,設72=3攵，J77=2Z,

?：/CED=/AEC,NECD=NBAE=NCAE,

?MECDsABAC,

:.EC2=ED*EA,

：A=2k(2k+6k)

!或--(舍棄)，

22

/.DE=1,AD=3,

：.AE=4,，：EI=BE=2,

.AI=AE-EI=2.

【點評】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考壓軸題.

13.如圖，已知點/是△ABC的內(nèi)心，A/交3C于。，交外接圓。于￡,求證:

IE=EC.

【分析】由內(nèi)心的性質(zhì)可知；ZACI=ZBCI,ZBAE=ZCAE,由圓周角定理可

知NBCE=NBAE,從而得至i」NCAE+NAC/=N/C8+NBCE,從而得至【J/E/C

=ZICE,于是得到/E=EC；

【解答】證明：如圖所示；連接/C

?.?點/是△ABC的內(nèi)心，

，ZACI=/BCI,NBAE=NCAE.

又,：NBAE=NBCE,

：.ZCAE=ZBCE.

：.ZCAE+ZACI=NICB+/BCE.

：./EIC=/ICE.

：.IE=EC.

【點評】本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓，明確三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平

分線的交點是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，0。是△ABC的外接圓，點E為△ABC內(nèi)切圓的圓心，連接AE的延

長線交BC于點交0。于點。；連接8。，過點。作直線OM,使NBOM

=ADAC.

(1)求證：直線。M是。。的切線；

(2)若DF=2,且AF=4,求8。和。E的長.

【分析】⑴根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OO_LBC,再根據(jù)N8DM=NO8C,

即可判定3C〃OM，進而得到據(jù)此可得直線。M是。。的切線;

(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到NBED=NEBD,即可得出

DB=DE,再判定△DB/即可得到。京=。尸。4,據(jù)此解答即可.

【解答】(I)證明：如圖所示，連接O。，

?.?點E是△ABC的內(nèi)心，

：.ZBAD=ZCAD,

?e?BD二CD，

:.ODLBC,

又,?ZBDM=ZDAC,ZDAC=ZDBC,

：.ZBDM=NDBC,

：.BC//DM,

ODLDM,

又「。。為。。半徑，

...直線。M是。0的切線；

(2)VBD=CD?

：.NDBF=/DAB,

又,：NBDF=NADB（公共角）,

:ADBFS^DAB,

...此口，gpDB2=DF*DA,

DBDA

，：DF=2,AF=4,

：.DA=DF+AF=6

：.DB2=DF*DA=n

:.DB=DE=2炳

【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合

應用，解題時注意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所

對的另一條??；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三

角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.

15.如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交3C于點R交△ABC的外接

圓于點。，連接80,過點。作直線。M,使

（1）求證：直線。M是。。的切線；

（2）若DF=2,AF=5,求BO長.

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論即可得到0O_L8C,再根據(jù)

即可判定BC//DM,進而得到。。，。加，據(jù)此可得直線0M是O。的切線;

（2）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到NBED=NEBD,即可得出

DB=DE,再判定△08/即可得至lj。序=。"據(jù)此解答即可.

【解答】（1）證明：如圖所示，連接。。，

?.?點E是aABC的內(nèi)心，

A

：.ZBAD=ZCAD,

.*.BD=CD?

:.0D1BC,

又?:ZBDM=NDAC,ZDAC=/DBC,

：.ZBDM=ZDBC,

J.BC//DM,

：.ODA.DM,

又丁。。為。O半徑，

，直線0M是。。的切線；

(2)VBD=CD，

:.ZDBF=ZDAB,

又,：NBDF=/ADB(公共角)，

.?.△DBFSADAB,

...如口，即DB2=DF?DA,

DBDA

VDF=2,AF=5：.DA=DF+AF=7

：.DB2=DF*DA=14

?*.DB=y/14?

【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合

應用，解題時注意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所

對的另一條??；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三

角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.

16.如圖，△ABC中，ZC=90°,。。是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、尸是切點.

(1)求證：四邊形OOCE是正方形；

(2)如果AC=6,BC=8,求內(nèi)切圓。。的半徑.

【分析】(1)根據(jù)正方形的判定定理證明；

(2)根據(jù)勾股定理求出A3,根據(jù)切線長定理得到AE=AE,BD=BF,CD=CE,

結(jié)合圖形列式計算即可.

【解答】解：(1);。。是△ABC的內(nèi)切圓，

AOD^BC,OELAC,又NC=90°,

二四邊形OOCE是矩形，

\'OD=OE,

四邊形OOCE是正方形；

(2)VZC=90°,AC=6,BC=8,

.,.A5=^AC2+BC2=10,

由切線長定理得，AF=AE,BD=BF,CD=CE,

：.CD+CE=BC+AC-BD-AE=BC+AC-AB=4,

則CE=2,即。O的半徑為2.

【點評】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的概念和性質(zhì)、正方形的判定和性

質(zhì)，掌握切線長定理、正方形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，點/是aABC的內(nèi)心，A/的延長線和△ABC的外接圓相交于點。，

與BC相交于點E.

(1)求證：DI=DB；

(2)^AE=6cm,ED=4cm,求線段的長.

【分析】(1)要證明/。=8。，只要求得NB0=N/8D即可;

(2)根據(jù)相似三角形的判定得出進而利用相似三角形的性質(zhì)

解答即可.

【解答】(1)證明：連接B/.

?.?點/是△ABC的內(nèi)心，

，NBAI=ZCAI,ZABI=ZCBI.

又,?ZDB1=ZCBI+ZDBC,ZDIB=ZABI+ZBAI,

/DBC=ZDAC=NBAI,

:./DBI=NDIB,

：.DI=DB.

(2)VZDBC=ZDAC=ABAI,ZADB=ZBDA,

:.ABDEsAABD,

?BDDE

"AD=BD，

即BD2=DE*AD=DE<AE+DE)=4X(6+4)=40,

D7=BD=A/4O=2VTO(cm).

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的外接圓和外心，垂徑定理，

圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度.

18.如圖，為?0的直徑，點A為OO上一點，點E為△ABC的內(nèi)心，OE

1EC.

(1)若BC=10,求OE的長；

(2)求sinNEBO的值.

【分析】（1）連接8。、CD,根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)心即可證得NBAO=

NBCD=NCAD=NCBD=45；得出△3DC是等腰直角三角形，解直角三

角形得出BD=5?由NO3E=NC3D+NCBE,ZDEB=ZBAD+ZABE,

得出NDEB,即可證得DE=BD=5五.

(2)延長CE交A3于M,延長OE交AC于N,作EFLBC于REGJ_A8于

G,E"_LAC于.?.首先證明BEO之同法可證△CEN且△CEO,推

出BM=B。，OC=CN,EN=EO=EN,設△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓

半徑為一?想辦法用r表示BE、E/即可解決問題；

【解答】解：(1)連接80、CD.

???8C為。0的直徑，

AZBAC=ZBDC=90°.

?.?點E為△ABC的內(nèi)心，

.?.AO平分N8AC,BE平分NABC.

:.NBAD=/BCD=/CAD=NCBD=45°.

...△BDC是等腰直角三角形，

：.BC=yf2BD=lO.

:.BD=5?

/DBE=NCBD+/CBE,NDEB=NBAD+NABE,

:.NDBE=/DEB,

:.DE=BD=55

(2)延長CE交AB于M,延長OE交AC于N,作EFLBC于凡EGLAB于

G,E/LLAC于H.

?.?E是△ABC內(nèi)心，

平分N3AC,EB平分NABC,EC平分NACB,

'：ZBAC=90°,

NABC+NACB=90°,

:.NEBC+NECB=45°,

：.ZBEC=135°,

：.ZBEM=45°,

'：OELEC,

.?.NOEC=90°,

：.ZBEM=ZBEO=45°,

'：ZEBM=ZEBO,BE=BE,

:.ABEO咨ABEM,同法可證△CEN之△CEO,

:.BM=BO,OC=CN,EN=EO=EN,設△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半

徑為r.

:NEBA=NEBC,EGLAB,EFLBC,

：.EG=EF,同法可證七尸=￡”,

Q9MB?EG

S

??ABEM=2______=MB=EM=j_5

SABECy-BC-EFBCEC2

'：EG//AC,

：.ZMEG=ZECH,NEGM=NCHE=90°,

:.XEGMsXCHE,

.EH=CE=CH=2

??而EMEG，

：.GM=^r,CH=2r,

2

易證△EGM絲△EHN絲△EFO,

OF=HN=GM=—r,

2

,:OC=CN,

'.R=2r+—r=—r,

22

：.BF=B0+0F=3r,

.".sinZ￡BO=—

BE10

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，垂徑定理以及勾股定理，圓周角定

理和解直角三角形等，作出輔助性構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，O。是△ABC的外接圓，BC為O。的直徑，點E為△ABC的內(nèi)心,

連接AE并延長交?0于。點，連接B。并延長至凡使得8。=。凡連接

CF、BE.

(1)求證：DB=DE；

(2)求證：直線C尸為。。的切線.

【分析】(1)欲證明只要證明

(2)欲證明直線CF為。。的切線，只要證明即可；

【解答】(1)證明：???￡是△A3C的內(nèi)心，

NBAE=ZCAE,NEBA=NEBC,

?：NBED=NBAE+/EBA,/DBE=NEBC+/DBC,NDBC=/EAC,

：.ZDBE=NDEB,

：.DB=DE.

(2)連接CD

?.3平分N8AC,

：.ZDAB=ZDAC,

，前=而，

:.BD=CD,

?；BD=DF,

：.CD=DB=DF,

/.ZBCF=90°,

:.BCLCF,

是。。的切線.

【點評】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的判定、等腰三角形的判定、直

角三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添

加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

20.如圖，△4BC中,BC=5,sinA=W

5

(1)求△ABC的外接圓的直徑；

(2)如果A8=8C,求△ABC內(nèi)切圓的半徑.

【分析】(1)作直徑80,連接CO,根據(jù)圓周角定理和正弦的概念計算即可；

(2)根據(jù)垂徑定理、正弦的概念求出BE、AE、AC,根據(jù)三角形的面積公式計

算即可.

【解答】解：(1)作直徑3D,連接C。，

由圓周角定理得，ZD=ZA,NBCD=90：

.?.3。=&_=空，即△ABC的外接圓的直徑為絲;

sinD33

(2)'：AB=BC,

：.BELAC,

：.BE=ABXsinA=3,

.*.A￡=^AB2_BE2=4,

.*.AC=8,

設△ABC內(nèi)切圓的半徑為r,

則!X5Xr+Lx5Xr+Lx8Xr=Lx8X3,

2222

解得，r=l,

3

則△ABC內(nèi)切圓的半徑為&.

3

【點評】本題考查的是三角形的外接圓和外心、內(nèi)切圓和內(nèi)心以及解直角三角形

的知識，掌握圓周角定理、勾股定理、正弦的概念是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，線段AE的延長線交△ABC的外接圓于點D.

(1)求證：ED=BD；

(2)若N84C=90°,ZVIBC的外接圓的直徑是6,求3。的長.

【分析】(1)根據(jù)點E是△ABC的內(nèi)心得出NBAD=NCAO,/ABE=/CBE,

求出NBED=NEBD,即可得出答案；

(2)求出3C為△A3C的直徑，求出3。=。。，解直角三角形求出即可.

【解答】(1)證明：???點E是△A3C的內(nèi)心，

/BAD=ZCAD,/ABE=/CBE,

■:/CBD=N