新人教A版必修一 冪函數(shù) 學(xué)案

2019-2020學(xué)年新人教A版必修一塞函數(shù)學(xué)案

1.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：

一般式：J(x)=加+云+)(aW0).

頂點(diǎn)式：f(x)—a(x—m)2+"(〃#0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為加，〃).

零點(diǎn)式;/1(x)=a(x-xi)(x—X2)(a^O),x\,必為兀目的零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

解析式fix)=ax1+hx+c(a>0)/(%)=ar2+hx+c(a<0)

gh

圖像

qV

定義域(-8,+8)(—8,+OO)

值域錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！

在xe錯(cuò)誤!上是減少的；在xe錯(cuò)誤!上是增加的：

單調(diào)性

在尤丘錯(cuò)誤!上是增加的在xc錯(cuò)誤!上是減少的

對(duì)稱性函數(shù)的圖像關(guān)于》=一錯(cuò)誤!對(duì)稱

2.鬲函數(shù)

(1)暴函數(shù)的定義

一般地，形如31的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中x是自變量，a是常量.

(2)常見的5種寨函數(shù)的圖像

(3)常見的5種累函數(shù)的性質(zhì)

特彳'￡

產(chǎn)不y=Wy=/y=/y=x]

定義域RRR[0,+°°)(x1X6R,且X￥O}

值域R[0,+°°)R[0,+8){ylyGR,且yWO}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

【知識(shí)拓展】

1.塞函數(shù)的圖像和性質(zhì)

(1)基函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第

二、三象限內(nèi)，?？春瘮?shù)的奇偶性.

(2)鼎函數(shù)的圖像過定點(diǎn)(1,1),如果辱函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).

(3)當(dāng)a>0時(shí)，y=/在［0,+°°)上為增函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí),y=x0在(0,+8)上為減函數(shù).

2.若/(x)—ax1+bx+c(a^0'),則當(dāng)錯(cuò)誤!時(shí)恒有./(x)〉0,當(dāng)錯(cuò)誤!時(shí)，恒有/(x)〈0。

■基礎(chǔ)自測(cè)

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打"或"X”)

(1)二次函數(shù)［a,b］的最值一定是錯(cuò)誤!.(X)

(2)二次函數(shù))=加+法+。，xCR不可能是偶函數(shù).(X)

(3)在y^a^+bx+c(aWO)中，a決定了圖像的開口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開口大

小.3

(4)函數(shù)>=2/是基函數(shù).(X)

(5)如果基函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).(J)

(6)當(dāng)月〈0時(shí)，幕函數(shù)〉=亡是定義域上的減函數(shù).(義)

題組二教材改編

2.已知基函數(shù)的圖像過點(diǎn)錯(cuò)誤！，則k+a等于()

A.錯(cuò)誤！B.1Co錯(cuò)誤！D.2

答案C

解析由早函數(shù)的定義，知錯(cuò)誤！

.,#=1,。=錯(cuò)誤！。...%+&=錯(cuò)誤！。

3.已知函數(shù)ZU)=/+4辦在區(qū)間(一8,6)內(nèi)是減少的，則a的取值范圍是()

A.B.aW3

C.a<—3D.aW—3

答案D

解析函數(shù)/(x)=f+4ar的圖像是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是x=-2a,由函數(shù)在區(qū)間

(—8,6)內(nèi)是減少的可知，區(qū)間(一8,6)應(yīng)在直線x=-2”的左側(cè)，

-2aN6,解得aW—3,故選D。

題組三易錯(cuò)自糾

4.塞函數(shù)f(x)=X"J°"+23(AGZ)為偶函數(shù)，且兀V)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，則a

等于()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析因?yàn)?一］0a+23=(a—5)2—2,

f(x)=X“T)2-2(aez)為偶函數(shù)，

且在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，

所以(4—5)2—2〈0,從而。=4,5,6,

又3—5)2—2為偶數(shù)，所以只能是〃=5,故選C。

5.已知函數(shù)如果a〉b)c且a+&+c=0,則它的圖像可能是()

答案D

解析由a+b+c=0和a〉b〉c知，a〉0,c<0,

由c(0,排除A,B,又a>0,排除C。

6.已知函數(shù)曠=力?-6*+3,x&［-1,1］,則y的最小值是.

答案一1

解析函數(shù)夕=才一6x+3的圖像的對(duì)稱軸為x=錯(cuò)誤！>1,...函數(shù))，=北一6x+3在［-1,

1］上是減少的，

?'?ymin—2—6+3=—1.

題型分類深度剖析

---------------------------------------------真題典題深度剖析重點(diǎn)難點(diǎn)多維探究---------------------------------------------

題型一求二次函數(shù)的解析式-------師生共研

典例(1)已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)(0,1),對(duì)稱軸為x=2,最小值為一1,則它的解析式為

答案/(x)=錯(cuò)誤!x2—2犬+1

解析依題意可設(shè)/U)=a(x—2)2—1,

又其圖像過點(diǎn)(0,1),???4〃-1=1,

；?4=錯(cuò)誤!，(x)=錯(cuò)誤!(%—2>—1=錯(cuò)誤!x2—2x+L

(2)已知二次函數(shù)於)與無軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(-2,0)且有最小值一1,則/(x)

答案f+2x

解析設(shè)函數(shù)的解析式為f（x）=奴（x+2）,

所以/（工）=加+2依，由錯(cuò)誤！=—1,

得a=l,所以f（x）=A2+2X.

思維升華求二次函數(shù)解析式的方法

跟蹤訓(xùn)練（1）己知二次函數(shù)/（X）=加+以+13,beR且a#0）,xGR,若函數(shù)/（x）的最

小值為大-1）=0,則/（X）=.

（2）若函數(shù)/'（x）=（x+a）gx+2a）（a,匕GR）是偶函數(shù),且它的值域?yàn)椋ㄒ?,4],則該函數(shù)

的解析式凡r）=.

答案（1）f+2x+l（2）—2*+4

解析（1）設(shè)函數(shù)/U）的解析式為/（》）=4。+1）2=浸+2以+“，

由已知兀0=加+法+1,'.a=\,

故f（X）=X2+2X+IO

（2）由人幻是偶函數(shù)知/（x）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

；.-a=一錯(cuò)誤！，即一=一2,...危）=-2*+2層，

又f（x）的值域?yàn)椋?8,4],

；.2/=4,故/（x）=-2?+41>

多維

題型二二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

探究

命題點(diǎn)1二次函數(shù)的圖像

典例兩個(gè)二次函數(shù)兀V）=江+法+。與gC^nZ^+or+c的圖像可能是（）

答案D

解析函數(shù)/（X）圖像的對(duì)稱軸為》=一錯(cuò)誤!，函數(shù)g（X）圖像的對(duì)稱軸為》=一錯(cuò)誤!,

顯然一錯(cuò)誤!與一錯(cuò)誤！同號(hào)，故兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸應(yīng)該在），軸的同側(cè).只有D滿足.

命題點(diǎn)2二次函數(shù)的單調(diào)性

典例函數(shù)式》)=加+3—3)x+l在區(qū)間［-1,+8)上是減少的，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.［-3,0)B.(-8,-3］

C.［~2,0］D.［—3,0］

答案D

解析當(dāng)a—0時(shí)，f(x)=-3x+l在［—1,+°°)上遞減，滿足題意.

當(dāng)時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為苫=錯(cuò)誤！，

由/(x)在［-1,+8)上是減少的知錯(cuò)誤！

解得一3Wa<0.綜上，。的取值范圍為［-3,0］.

引申探究

若函數(shù)/。)=加+(a—3)x+1的遞減區(qū)間是［—1,+°°),則a=.

答案一3

解析由題意知火x)必為二次函數(shù)且“<0,

又錯(cuò)誤！=—1,，a=-3.

命題點(diǎn)3二次函數(shù)的最值

典例已知函數(shù)於)=a?+2"+1在區(qū)間［-1,2］上有最大值4,求實(shí)數(shù)〃的值.

解f(x)=a(x+l)2+l—a

(1)當(dāng)。=o時(shí)，函數(shù)./U)在區(qū)間［-1,2］上的值為常數(shù)1,不符合題意,舍去；

(2)當(dāng)”>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,2］上是增函數(shù)，最大值為/(2)=8a+l=4,解得

〃=錯(cuò)誤??；

(3)當(dāng)“<0時(shí)，函數(shù)次x)在區(qū)間［—1,2］上是減函數(shù)，最大值為f(-1)=1—a=4,解得a

=-3。

綜上可知，a的值為錯(cuò)誤!或一3.

引申探究

將本例改為:求函數(shù)f(x)=『+2"+1在區(qū)間［-1,2］上的最大值.

解火x)=(x+a)2+1—a2,

：.f(x)的圖像是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為彳=一四

(1)當(dāng)一。即一錯(cuò)誤!時(shí)，?r)max=/(2)=4a+5,

(2)當(dāng)一心錯(cuò)誤！即aW一錯(cuò)誤！時(shí)，/(x)max=/(-l)=2-2a,

綜上，/U)max=錯(cuò)誤！

命題點(diǎn)4二次函數(shù)中的恒成立問題

典例(1)已知函數(shù)火x)=f—x+l,在區(qū)間［-1,1］上，不等式f(x)>2%+m恒成立，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是.

答案(一8,-1)

解析於)〉2x+m等價(jià)于x2—x+D2x+m,即/—3x+1—m>0,

令g(x)=*一3x+1-優(yōu)，

要使g(x)=x1—3x+1—m>0在［—1,1］上恒成立，

只需使函數(shù)g(x)=/—3x+l—m在［―1,1］上的最小值大于0即可.

g(x)=f—3x+l一根在［—1,1］上是減少的，

，g(X)min=g(l)=-m—\.

由一m—1)0,得〃?<—1o

因此滿足條件的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-8,-1).

(2)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)式幻=2加+2?-3在1］上恒小于零,則實(shí)數(shù)”的取值范圍

為.

答案錯(cuò)誤！

解析2a『+2x—3<0在［-1,1］上恒成立.

當(dāng)x=0時(shí)，-3<0,成立；

當(dāng)x#0時(shí),a〈錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!2—錯(cuò)誤！，因?yàn)殄e(cuò)誤！w(—8,—1］uEl,+~),當(dāng)x=l時(shí)，右

邊取最小值錯(cuò)誤！，(錯(cuò)誤！。

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是錯(cuò)誤！。

思維升華解決二次函數(shù)圖像與性質(zhì)問題時(shí)要注意：

(1)拋物線的開口，對(duì)稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論；

(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作

草圖)，再“定量”(看圖求解).

(3)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵

解題思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù).兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值

域.

跟蹤訓(xùn)練(1)設(shè)。兒>0,二次函數(shù)/(幻=加+法+。的圖像可能是()

答案D

解析由A,C,D知，￡0)=c<0,

從而由abc>0,所以HV0,所以對(duì)稱軸》=一錯(cuò)誤！>0,知A,C錯(cuò)誤，D滿足要求；由B

知#))=c>0,

所以必>0,所以x=—^<0,B錯(cuò)誤.

(2)已知函數(shù)兀r)=f-2nx+2a+4的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+°°)，則a的值為.

答案T或3

解析由于函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋?,+8),

所以f(x)min=l.又/(x)—(x—a)2—a2+2a+4,

當(dāng)xGR時(shí)，/(x)min=/(”)=一/+2“+4=1,

即2a—3=0,解得a=3或a=—1。

(3)設(shè)函數(shù)f(x)=混一2苫+2,對(duì)于滿足1<%<4的一切x值都有兀r)〉0,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為.

答案錯(cuò)誤！

解析由題意得錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤!對(duì)l〈x<4恒成立，

又錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤！=一2錯(cuò)誤!2+錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!〈錯(cuò)誤!<1,

，錯(cuò)誤!max=錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！。

題型三幕函數(shù)的圖像和性質(zhì)--------自主演練

1.已知點(diǎn)錯(cuò)誤!在幕函數(shù)/(X)的圖像上，則兀V)是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.定義域內(nèi)的減函數(shù)D.定義域內(nèi)的增函數(shù)

答案A

解析設(shè)f(x)=d,由已知得錯(cuò)誤!。=錯(cuò)誤!，解得a=jl,因此f(x)=x7,易知該函數(shù)為奇

函數(shù).

2.若四個(gè)基函數(shù)y=f,y=/，y=/在同一坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則〃力，c,d

的大小關(guān)系是()

A.d>c>b>aB.a>b>c>d

C.d>c>a>bD.a>b>d>c

答案B

解析由嘉函數(shù)的圖像可知，在(0,1)上黑函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖像越接近x軸，由題圖知a

>b>c>d,故選B.

3.若a<0,則0。5",5",51的大小關(guān)系是()

A.5〈0。5"B.5"<0.5"<5一"

C.0。5"<5"<5"D.5"<5"〈0。5"

答案B

解析5一"=錯(cuò)誤!，因?yàn)閍〈0時(shí)，函數(shù)y=V在（0,+~）上是減少的，且錯(cuò)誤！〈0。5<5,所以

5M）。5°〈5?

思維升華（1）幕函數(shù)的形式是y=d（aWR）,其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需一個(gè)條件即可確

定其解析式.

（2）在區(qū)間（0,1）上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越靠近x軸（簡記為“指大圖低”），

在區(qū)間（1,+8）上,寐函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離X軸.

（3）在比較露值的大小時(shí)，必須結(jié)合幕值的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，

準(zhǔn)確掌握各個(gè)霸函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

—■思想方法■

數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

典例（12分）設(shè)函數(shù)/2x+2,［tt+1］,fGR,求函數(shù)逃x）的最小值.

思想方法指導(dǎo)研究二次函數(shù)的性質(zhì)，可以結(jié)合圖像進(jìn)行；對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)問題，要明

確參數(shù)對(duì)圖像的影響，進(jìn)行分類討論.

規(guī)范解答

解fG）=4-2x+2=（x-l）2+l,xe［r,t+l］,fSR,函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為x=l.［2分］

當(dāng)什1<1,即，<0時(shí)，函數(shù)圖像如圖（1）所示，函數(shù)f（x）在區(qū)間［t,t+1］上為減函數(shù)，

所以最小值為用+1）=產(chǎn)+1；［5分］

當(dāng)WlWr+1,即0WW1時(shí)，函數(shù)圖像如圖（2）所示，在對(duì)稱軸x=l處取得最小值，最小

當(dāng)f>l時(shí)，函數(shù)圖像如圖（3）所示,函數(shù)於）在區(qū)間［t,t+1］上為增函數(shù),

所以最小值為f（。=尸一2/+2.口1分］

綜上可知，_/U）min=錯(cuò)誤！［12分］

課時(shí)作業(yè)

力基礎(chǔ)保分練

1.若函數(shù),/U）=（，〃-1）/+2,如+3為偶函數(shù)，則/G）在區(qū)間（-5,-3）上（）

A.先減少后增加B.先增加后減少

C.是減少的D.是增加的

答案D

2.(2018?江西九江七校聯(lián)考)若累函數(shù)f(x)=(〃?2—4m+4>x'"—""8在(0,+8)上為增函數(shù)，

則m的值為0

A.1或3B.1

C.3D.2

答案B

解析由題意得4,”+4=1,6相+8>0,

解得加=1.

3.己知函數(shù)段)=a?+x+5的圖像在x軸上方，則“的取值范圍是()

A。錯(cuò)誤!B。錯(cuò)誤！

Co錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤！

答案C

解析由題意知錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤!得。〉錯(cuò)誤！。

4.已知二次函數(shù)7U)滿足f(2+x)=/(2—x),且/(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若強(qiáng)i)，f

(0),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

A.[0,+°°)B.(—8,0]

C.[0,4]D.(-8,0]U[4,+8)

答案C

解析由題意可知函數(shù)式x)的圖像開口向下，對(duì)稱軸為x=2(如圖)，

若f(a)宓0),從圖像觀察可知0W.W4。

5.已知二次函數(shù)於)—2wr—ax+l(a(0)，若為〈及內(nèi)|+短=0,則次ri)與/(及)的大小關(guān)系為

()

A.f(X1)=f(X2)B.fAl)〉j(X2)

C.式X|)〈於2)D.與a值有關(guān)

答案C

解析該二次函數(shù)的圖像開口向下，對(duì)稱軸為直線》=錯(cuò)誤!，

又依題意，得X1<0,%2>0,又為+及=0,

...當(dāng)為,X2在對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí)，

錯(cuò)誤！一xi〉垃一錯(cuò)誤！，故，(xi)</(X2).

當(dāng)XI,X2都在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，

由單調(diào)性知｛T1)勺'(X2).

綜上/(X1)(/(X2).

6.若關(guān)于x的不等式』一敘一2一。>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

A.(—8,—2)B.(—2,+°°)

C.(-6,+8)D.(-8,-6)

答案A

解析不等式X2—4彳-2一。>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于“<Q2—4x—2)max,

令/(幻=/一以一2,%e(l,4),

所以/(x)</(4)=-2,所以“〈一2。

_3

7.已知P=2"Q=錯(cuò)誤!3,R=錯(cuò)誤!3,則P,Q,R的大小關(guān)系是.(用“〉”連

接)

答案P>R>Q

_3

解析P=2.5=錯(cuò)誤!3,根據(jù)函數(shù)y=V是R上的增函數(shù)，且錯(cuò)誤！>錯(cuò)誤！>錯(cuò)誤！，得錯(cuò)誤！

3>錯(cuò)誤!3>錯(cuò)誤!3,即P>R>。。

8.已知基函數(shù)/(x)=x-"若y(a+i)</(10-2a),則a的取值范圍為.

答案(3,5)

解析?.?黑函數(shù)7U)=工-5是減少的，定義域?yàn)?0,+8),.?.由/(a+1)(f(10-2a),

得錯(cuò)誤！

解得3(a〈5。

9.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,函數(shù)次x)=(5—a)/—6x+a+5恒為正值,則a的取值范圍是.

答案(一4,4)

解析由題意可得錯(cuò)誤！

解得一4(a〈4。

10.若f(x)=~x2+2ax與g(x)=錯(cuò)誤!在區(qū)間［1,2］上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是

答案(0,1］

解析由7(x)=—/+2以在［1,2］上是減函數(shù)可得［1,2］=［a,+8),.?.aWL

'.'y=錯(cuò)誤!在(-1,+8)上為減函數(shù)，

???由g(x)=M在口,2］上是減函數(shù)可得a〉0,

故0〈4<1。

11.已知函數(shù)/(x)=一爐+20￥+1-4在xG[O,l]時(shí)有最大值2,則〃的值為.

答案一1或2

解析fix')=-(x-a)2+a2-a+l,

當(dāng)a》1時(shí)，兀t)max=『(1)=ci=2,即a=2；

當(dāng)0<“<1時(shí)，f(a)—cr—a+1—2,此時(shí)無解；

當(dāng)a〈0時(shí)，f(x)max=f(0)=1一“=2,

??a=-1o綜上，u——1或a=2。

12.己知函數(shù)於)=/+(2a-l)x-3.

(1)當(dāng)a=2,xG[-2,3]時(shí)，求函數(shù)_Ax)的值域；

(2)若函數(shù)；(x)在[-1,3]上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.

解(1)當(dāng)“=2時(shí)，加)=『+3》-3,xG[—2,3],

對(duì)稱軸x=一錯(cuò)誤！G[-2,3],

.V(x)min=7錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!—3=一錯(cuò)誤!,

fix)max=/(3)=15,

.?.函數(shù)/(X)的值域?yàn)殄e(cuò)誤！。

(2)對(duì)稱軸為》=一錯(cuò)誤！。

①當(dāng)一錯(cuò)誤!<1,即心一錯(cuò)誤！時(shí)，

/)max=/(3)=6a+3,

：.6a+3=\,即a=一錯(cuò)誤!滿足題意；

②當(dāng)一錯(cuò)誤！>1,即。<一錯(cuò)誤!時(shí)，

f(X)max=/(―1)=—2”一1,

-2a—1=1,即a=-1滿足題意.

綜上可知，a=一錯(cuò)誤!或一1。

土技能提升練

13.已知函數(shù)段)=f+bx,則*<0”是“/(/))的最小值與的最小值相等”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案A

解析由題意知./U)=/+以=錯(cuò)誤!2一錯(cuò)誤！，

7(X)min=一錯(cuò)誤！，令f=/+6x》一錯(cuò)誤！，

則用'(X))=?=*+從=錯(cuò)誤!2一錯(cuò)誤！,

當(dāng)6Vo時(shí)，fif(x))的最小值為一錯(cuò)誤!，所以"％<0"能推出"/(/(x))的最小值與_/(x)的

最小值相等〃；

當(dāng)b=0時(shí)，y(X%))=d的最小值為0,f(x