用樣本估計總體教案

9.2用樣本估計總體

【知識點】

1.頻率分布直方圖繪制步驟

①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差.

②決定組距與組數(shù).組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，一般數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)越多.當(dāng)樣

本容量不超過100時，常分成5?12組.為方便起見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”.

③將數(shù)據(jù)分組.

④列頻率分布表.計算各小組的頻率，第，?組的頻率是第卷i組捐頻官數(shù).

⑤畫頻率分布直方圖.其中橫軸表示分組，縱軸表示磊.磊實際上就是頻率分布直方圖中各小長方

形的高度，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度.

2.頻率分布直方圖意義：各個小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，頻率分布直方圖以面積的形式反

映數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小，各小長方形的面積的總和等于1.

3.總體取值規(guī)律的估計：我們可以用樣本觀測數(shù)據(jù)的頻率分布估計總體的取值規(guī)律.

4.頻率分布直方圖的特征：當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)少、組距大時，容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點，

但由于無法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原式數(shù)據(jù)信息；當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)多、組距

小時，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息，但由于小長方形較多，有時圖形會變得非常不規(guī)則，不容易從中看出

總體數(shù)據(jù)的分布特點.

5.常見的其他統(tǒng)計圖：條形圖、扇形圖、折線圖.

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；

條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；

折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.

6.各個統(tǒng)計圖特點

(1)不同的統(tǒng)計圖在表示數(shù)據(jù)上有不同的特點.如扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例，條

形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率，折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變

化趨勢.

(2)不同的統(tǒng)計圖適用的數(shù)據(jù)類型也不同.如條形圖適用于描述離散型的數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)

性數(shù)據(jù).

7.第p百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有P%的數(shù)據(jù)小于或等于這個

值，且至少有(100—P)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

8.計算第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=nxp%.

第3步，若,?不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為則第〃百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p

百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

9.四分位數(shù)

常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)、第50百分位數(shù)、第75百分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列

后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75

百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.

10.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))的數(shù)叫做這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù).

一1

(3)平均數(shù)：如果〃個數(shù)Xl，X2,X,,,那么X=1制+及+…+x”)叫做這〃個數(shù)的平均數(shù).

11.頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

①在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點的橫坐標(biāo)；

②中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；

③平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和.

12.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義

一組數(shù)據(jù)X”X2,…，X”，用X表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為X)2=5)—X

L11=1

2,標(biāo)準(zhǔn)差為X,—T2.

13.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義

如果總體中所有個體的變量值分別為妨，％，…，次，總體平均數(shù)為—y,則稱W=尢1Z(匕-一Y)2

為總體方差，5=料為總體標(biāo)準(zhǔn)差.如果總體的N個變量值中，不同的值共有內(nèi)個，記為H，丫2,…,

YM其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為川?=1,2,…，氏），則總體方差為群=三%（匕-7產(chǎn)

i=l

14.樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義

如果一個樣本中個體的變量值分別為力，以，…，為，樣本平均數(shù)為亍，則稱s2=：2（JL亍）2

1=1

為樣本方差，S=d?為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

15.方差、標(biāo)準(zhǔn)差特征

標(biāo)準(zhǔn)差、方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，

數(shù)據(jù)的離散程度越小.在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多

采用標(biāo)準(zhǔn)差.

【典型例題】

題型一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用

例1.（2021?全國?高一課時練習(xí)）通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月平均用水量（單位：t）,如下

表：

3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.6

3.42.62.22.21.51.20.20.40.30.4

3.22.72.32.11.61.23.71.50.53.8

3.32.82.32.21.71.33.61.70.64.1

3.22.92.42.31.81.43.51.90.84.3

3.02.92.42.41.91.31.41.80.72.0

2.52.82.32.31.81.31.31.60.92.3

2.62.72.42.11.71.41.21.50.52.4

2.52.62.32.11.61.01.01.70.82.4

2.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2

試用頻率直方圖分析該地居民月平均用水量的分布情況.

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)據(jù)計算極差確定組距和組數(shù)，再得到頻率分布表，畫出頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖得到答案.

【詳解】

42

計算極差：4.3-02=4.1；將組距取為0.5,則萬|=8.4,取組數(shù)為9；

將數(shù)據(jù)分為：[0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5],

則得到頻率分布表:

分組頻數(shù)頻率

[0,0.5)40.04

[0.5,1)80.08

[1,1.5)150.15

[1.5,2)220.22

[2,2.5)250.25

[2.5,3)140.14

[3,3.5)60.06

[3.5,4)40.04

[4,4.5]20.02

合計1001.00

畫出頻率分布直方圖:

根據(jù)頻率分布直方圖：

用水量在［4,4.5］的居民最少；

多數(shù)居民的用水量在1,3）之間；

用水量在［2,2.5）的居民最多.

解題技巧（繪制頻率分布直方圖的注意事項）

1.在列頻率分布表時，極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系：

（1）若極贏差為整數(shù)，則極差就=組數(shù)；

（2）若簫不為整數(shù)，則黯的整數(shù)部分+1=組數(shù).

2.組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)力求合適，縱使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚

地呈現(xiàn)出來，組數(shù)太多或太少，都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況，若樣本容量不超過100,按照數(shù)據(jù)的多

少常分為5?12組，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.

例2.（2021?全國?高一課時練習(xí)）下面是某市9月26日和9月29日市區(qū)出現(xiàn)堵車的時刻，試列出這兩天的

堵車時刻的頻率分布表和頻率直方圖，并分析該市每天大約在什么時間段是行車高峰期.

8:018:029:309:319:5110:2410:51

9月26

日

11:2115:5216:3017:2917:3018:0418:22

9月2910:311:

8:298:328:339:299:5810:14

日343

18:018:

14:0016:0816:2916:5416:5517:05

809

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】

確定組距，由已知條件確定每組的頻數(shù)、頻率、頻率/組距可得頻率分布表，根據(jù)頻率分布表作出頻率直方

圖即可.

【詳解】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得頻率分布表如下:

分組頻數(shù)頻率頻率/組距

J_

[8:00,9:00)5

66

[j_

[9:00,10:00)5

66

22

[10:00,11:00)

4?5

11

[11:00,12:00)2

15西

[12:00,13:00)000

[13:00,14:00)000

11

[14:00,15:00)1

3030

11

[15:00,16:00)1

3030

[

[16:00,17:00)5

66

11

[17:00,18:00)

3ToTo

22

[18:00,19:00)4

1515

合計3011

作出頻率分布直方圖如圖所示:

山頻率分布直方圖可以看出大約每天的8:00至心1:00與16:00至打9:00是行車高峰期.

例3.（2021.全國.高一單元測試）某制造商生產(chǎn)一批直徑為40mm的乒乓球，現(xiàn)隨機(jī)抽樣檢查20個，測得

每個球的直徑（單位：mm,保留兩位小數(shù)）如下：

40.0340.0039.9840.0039.9940.0039.98

40.0139.9839.9940.0039.9939.9540.01

40.0239.9840.0039.9940.0039.96

（1）完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)

[39.97,39.99)

[39.99,40.01)

[40.01,40.03]

合計

(2)假定乒乓球的直徑誤差不超過0。2mm為合格品.若這批乒乓球的總數(shù)為10000,試根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果

估計這批產(chǎn)品的合格個數(shù).

【答案】(1)頻率分布表見解析，頻率分布直方圖見解析；(2)8500.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)所給的頻數(shù)和樣本容量，用頻數(shù)除以樣本容量做出每一組數(shù)據(jù)對應(yīng)的頻率，填入表中，畫出對應(yīng)的

頻率分步直方圖和頻率分布折線圖.(2)計算抽樣產(chǎn)品在［39.98,40.02］的個數(shù)，計算合格率，即可求出這批產(chǎn)

品的合格只數(shù).

【詳解】

(1)頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)20.10

139.97,39.99)40.20

139.99,40.01)100.50

[40.01,40.03]40.20

合計201.00

頻率分布直方圖如圖.

頻率

二合格品頻率為與x100%=85%.

10000x85%=8500.

故根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，可以估計這批產(chǎn)品的合格個數(shù)為8500.

題型二頻率分布直方圖中的相關(guān)計算問題

例4.(2022.吉林?東北師大附中模擬預(yù)測(文))為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨

機(jī)抽取了一個容量為20的樣本，測量它們的尺寸(單位：mm)，數(shù)據(jù)分為[92,94),[94,96),[96,98),[98,100),

[100,102),[102,104),[104,106]七組,其頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求上圖中的x值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求20()件樣本尺寸在[98,100)內(nèi)的樣本數(shù)；

⑶記產(chǎn)品尺寸在[98,102)內(nèi)為A等品，每件可獲利5元；產(chǎn)品尺寸在[92,94)內(nèi)為不合格品，每件虧損2元;

其余的為合格品，每件可獲利3元.若該機(jī)器一個月共生產(chǎn)3000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻

率，若單月利潤未能達(dá)到11000元，則需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設(shè)備實施

升級改造.

【答案】(l)x=0.12；

（2）36（件）；

（3）需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；

（3）根據(jù)題意，結(jié)合頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出單月利潤，最后比較大小即可.

（I）

因為（0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x）x2=l,

解得x=0.12；

（2）

200件樣本中尺寸在［98,100）內(nèi)的樣本數(shù)為200x0.09x2=36（件）

（3）

由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有3000x（0.18+0.20）=1140（件），

這批產(chǎn)品中不合格品有3000x0.04=120件，

這批產(chǎn)品中合格品有3000-1140-120=17403000-1140-120=1740（件），

1140x5+1740x3-120x2=10680元.

所以該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品一個月所獲得的利潤為10680元，

因為10680<11000,

所以需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.

解題技巧（計算規(guī)律）

1.因為小長方形的面積=組距><慧=頻率，所以各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣，頻率分布直

方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.

2.在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積之和等于1.

3.而黑芯=樣本量.

4.在頻率分布直方圖中,各長方形的面積之比等于頻率之比，各長方形的高度之比也等于頻率之比.

例5.（2021?四川?成都市溫江區(qū)第二中學(xué)校高二期末（理））某商品公司隨機(jī)選取了1000名購物者在某年

度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，并根據(jù)消費金額（單位：萬元）分成6組，制成如下圖所示的頻率分布直方

圖:

（2）在這些購物者中，求消費金額在區(qū)間（0.5,0.9］內(nèi)的購物者的人數(shù).

【答案】⑴。=3

（2）600人

【解析】

【分析】

（I）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，各小矩形的面積之和為1,即可求出；

（2）先由頻率分布直方圖可求出消費金額在區(qū)間（050.9］內(nèi)的頻率，再根據(jù)頻數(shù)=頻率x樣本容量，即可

得到購物者的人數(shù).

（1）

由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得：

0.2x0.1+0.8x0.1+1.5x0.1+2x0.1+2.5x0.1+ax0.1=l,解得a=3.

（2）

消費金額在區(qū)間（0.5,0.9］內(nèi)的頻率為0.2*0.1+0.8、0.1+2*0.1+3乂0」=0.6,

所以消費金額在區(qū)間（050.9］內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6x1000=60（）A.

例6.（2021?四川省南充市李渡中學(xué)高二階段練習(xí)）對某校高一年級學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)

計,隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加''社區(qū)志愿者”活動的次數(shù).據(jù)此作出頻數(shù)和頻率統(tǒng)

計表及頻率分布直方圖如下：

分組頻數(shù)頻率

[10,15)50.25

[15,20)12n

[20,25)mP

[25,30]10.05

合計M1

（1）求出表中M,p及圖中4的值;

（2）若該校高一學(xué)生有720人，試估計他們參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)在15,20）內(nèi)的人數(shù).

【答案】(1)M=20,p=0A,a=0.12；(2)432A.

【解析】

【分析】

利用頻率=.頻的數(shù)關(guān)系‘求出口'"、

（1）根據(jù)頻率分布表,〃、”以及。的值;

（2）利用參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)在［15,20）內(nèi)的頻率，求出對應(yīng)的頻數(shù).

【詳解】

解：（I）根據(jù)頻率分布表，得;

???—=0.25,

M

，樣本容量為M=20：

.-./n=20-5-12-l=2,

2

對應(yīng)的頻率為P=-=0.1,

?=—=0.6；

20

a=0-6=0.12；

20-15

（2）參力n“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)在［15,20）內(nèi)的頻率為0.6,

.??估計參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)在口5,20）內(nèi)的人數(shù)為

720x0.6=432（人）.

題型三對折線圖、扇形圖、條形圖的識讀

例7.（2020.北京.高二學(xué)業(yè)考試）2007年以前，北京市先后組織實施了多個階段的大氣污染防治行動，針對

燃煤、工業(yè)、揚(yáng)塵排放和機(jī)動車排放等采取了數(shù)百項治理措施.2008年北京市首次探索區(qū)域聯(lián)防聯(lián)控，取得了

良好效果.2013年北京市制定實施以防治細(xì)顆粒物為重點的《2013-2017年清潔空氣行動計劃》，治理成效顯

著.

上圖是2000年至2018年可吸入顆粒物、細(xì)顆粒物、二氧化氮、二氧化硫等主要污染物年日均值的折線圖.根據(jù)

圖中信息，下列結(jié)論中正確的是（）

A.2013年到2018年,空氣中可吸入顆粒物的年日均值逐年下降

B.2013年到2018年，空氣中細(xì)顆粒物的年日均值逐年下降

C.2000年到2018年，空氣中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米

D.2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年

【答案】B

【解析】

觀察折線圖，確定數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，判斷各選項.

【詳解】

2014年空氣中可吸入顆粒物年II均值比2013年多，A錯；

2013年到2018年，空氣中細(xì)顆粒物的年日均值逐年下降，B正確；

2007年（含2007年）之前空氣中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C錯；

2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D錯.

故選：B.

解題技巧（各類統(tǒng)計圖的特點）

條形統(tǒng)計圖反映各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)或頻率；

扇形統(tǒng)計圖反映各組數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；

折線統(tǒng)計圖反映數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢.

例8.（2021?全國?高一課時練習(xí)）為考查某校高二男生的體重，隨機(jī)抽取44名高二男生，實測體重數(shù)據(jù)（單

位：kg）如下：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,

55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48

將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

分析數(shù)據(jù)的極差，選擇合適的組局，讓組數(shù)在5—8組左右為宜，作出頻率分布表，根據(jù)頻率分布表作出頻

率分布直方圖.

【詳解】

數(shù)據(jù)的極差為：69-42=27,所以可以4為組距，將數(shù)據(jù)分為8組，列表如下：

分組頻率累計頻數(shù)頻率

[41.5,45.5)T20.0455

[45.5,49.5)正T70.1591

[49.5,53.5)正T80.1818

153.5,57.5)正正正一160.3636

[57.5,61.5)正50.1136

[61.5,65.5)TF40.0909

[65.5,69.5)T20.0455

以此作出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖，如圖所示:

o1s.0

0a9

08

o0.7

0a6

05

o0.4

o0.3

o0.2

01

o.。

樣本數(shù)據(jù)

o.57561655695

例9.（2021.全國?高一單元測試）共享單車入住泉州一周年以來，因其“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟疃鴤涫?/p>

人們的喜愛，值此周年之際，某機(jī)構(gòu)為了了解共享單車使用者的年齡段，使用頻率、滿意度等三個方面的

信息，在全市范圍內(nèi)發(fā)放5000份調(diào)查問卷，回收到有效問卷3125份，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取80份，分別對使用者

的年齡段、26?35歲使用者的使用頻率、26?35歲使用者的滿意度進(jìn)行匯總，得到如下三個表格：

表（一）

使用者年齡段25歲以下26歲?35歲36歲?45歲45歲以上

人數(shù)20401010

表（二）

使用頻率°~6次/月7?14次/月15?22次/月23?31次/月

人數(shù)510205

表（三）

滿意度非常滿意（9?10）滿意(8?9)一般(7?8)不滿意（6?7）

人數(shù)1510105

(1)依據(jù)上述表格完成下列三個統(tǒng)計圖形:

率使用者年齡段頻率條形圖

4

-

8

3

-

8

2

-

8

1

-

8

O25歲以下26~35歲36~45歲45歲以上使用者年齡段

使用頻率餅圖

(2)某城區(qū)現(xiàn)有常住人口30萬，請用樣本估計總體的思想，試估計年齡在26歲?35歲之間，每月使用共享

單車在7?14次的人數(shù).

【答案】(1)詳見解析；(2)二萬人.

4

【解析】

(1)按照三個表格中的數(shù)據(jù)繪制圖形即可；

(2)先根據(jù)年齡在26歲?35歲之間的有40人，占總抽取人數(shù)的一半，得某城區(qū)30萬人口中年齡在26歲?

35歲之間的約有30xg=15(萬人)；再根據(jù)年齡在26歲?35歲之間每月使用共享單車在7?14次之間的有

10人，占總抽取人數(shù)的!，得年齡在26歲?35歲之間，每月使用共享單車在7?14次之間的約有15x?=?

(萬人).

【詳解】

⑴

率

頻使用者年齡段頻率條形圖

4

-

8-

3

--

8

2

-

8一

1

-

8一

o25歲以下26~35歲36~45歲45歲以上使用者年齡段

使川頻率餅圖

圖例

IIOF次/月

■7~14次/月

昌15~22次/月

密23~31次/月

人數(shù)滿意度折線圖

⑵由表（一）可知:

年齡在26歲?35歲之間的有40人，占總抽取人數(shù)的一半，用樣本估計總體的思想可知，某城區(qū)30萬人口

中年齡在26歲?35歲之間的約30xJ=15（萬人）；

又年齡在26歲?35歲之間每月使用共享單車在7?14次之間的有10人，占總抽取人數(shù)的7,用樣本估計總

體的思想可知，城區(qū)年齡在26歲?35歲之間15萬人中每月使用共享單車在7?14次之間的約仃

（萬人），

故年齡在26歲?35歲之間，每月使用共享單車在7?14次之間的人數(shù)約為v萬人.

4

【點睛】

本題考查閱讀理解能力和邏輯思維能力，考查頻率分布餅形圖、條形圖和折線圖，考查用樣本估計總體，

屬于中檔題.

題型四百分位數(shù)在具體數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

例10.（2022?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三期末）某射擊運(yùn)動員7次的訓(xùn)練成績分別為:86,88,90,89,

88,87,85,則這7次成績的第80百分位數(shù)為（）

A.88.5B.89C.91D.89.5

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)百分位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

7次的訓(xùn)練成績從小到大排列為：85,86,87,88,88,89,90,

7x80%=5.6,所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個數(shù)據(jù)，即89,

故選：B

解題技巧（計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟）

第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=nxp%.

第3步，若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù)，則第p百分位

數(shù)為第i項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

例11.（2022.安徽省蚌埠第三中學(xué)高一開學(xué)考試）從某城市隨機(jī)抽取14臺自動售貨機(jī)，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)

計，數(shù)據(jù)如下：8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,31,34,42,43,則這14臺自動售貨機(jī)的銷售

額的50%,80%分位數(shù)分別是,.

【答案】2334

【解析】

【分析】

根據(jù)百分位數(shù)的定義計算可得答案.

【詳解】

解：因為該組數(shù)據(jù)從小到大排列為:8,8,10,12,20,22,23,23,31,32,34,34,42,43.

且14x50%=7,笫7個與第8個數(shù)的平均值為:（23+23）=23,

所以這14臺自動售貨機(jī)的銷售額的50%分位數(shù)為23；

乂14x80%=11.2,所以這14臺自動售貨機(jī)的銷售額的80%分位數(shù)分別是第12項數(shù)據(jù)，即34,

故答案為：23；34.

例12.（2022?湖南?高一課時練習(xí)）下表為某市青少年（12~13歲）立定跳遠(yuǎn)體能達(dá)標(biāo)表（單位：cm）：

百分位5102030405060707580859095

數(shù)P,

12

127136147155162169175182186190195201211

歲

男

13

139149161169177184191198202207212219229

歲

12

109117128135141147153159163167171177186

歲

女

13

110119129137143149155161165169173179188

歲

(1)小蘭今年12歲就讀六年級，她立定跳遠(yuǎn)的距離是153cm,求她立定跳遠(yuǎn)的百分等級.

(2)小蘭明年就讀初中時，她想要立定跳遠(yuǎn)的成績位于表中用的位置，問她立定跳遠(yuǎn)至少要跳多少cm以上.

(3)若立定跳遠(yuǎn)的成績達(dá)到/算是優(yōu)良，小軍今年13歲，他立定跳遠(yuǎn)的距離是200cm,請問他的立定跳遠(yuǎn)

成績是不是優(yōu)良？

【答案】⑴50

(2)165cm以上.

⑶不是

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得到女生立定跳遠(yuǎn)距離153cm對應(yīng)的百分位數(shù)為即可求解；

(3)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得到女生13歲立定跳遠(yuǎn)距離百分為數(shù)4=165cm,即可求解；

所以她立定跳遠(yuǎn)至少要跳165cm以上.

(3)由表格中的數(shù)據(jù)得到13歲男生立定跳遠(yuǎn)距離百分位數(shù)舄$的值，比較即可得到結(jié)論.

(1)

解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，12歲的女生立定跳遠(yuǎn)距離153cm對應(yīng)的百分位數(shù)為%,

所以小蘭立定跳遠(yuǎn)的百分等級50.

⑵

解：小蘭明年13歲，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：13歲立定跳遠(yuǎn)距離百分為數(shù)G=169cm,

所以她立定跳遠(yuǎn)至少要跳169cm以上.

(3)

由表格中的數(shù)據(jù)可知：13歲男生立定跳遠(yuǎn)距離百分位數(shù)隊=207cm,

因為200<207,所以他的立定跳遠(yuǎn)成績不是優(yōu)良.

題型五百分位數(shù)在統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖中的應(yīng)用

例13.(2022?遼寧丹東?高一期末)某地區(qū)想實行階梯電價，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)居民用電量信息如下:

分位數(shù)50%分位數(shù)70%分位數(shù)80%分位數(shù)90%分位數(shù)

用電量

160176215230

/(kWh)

如果要求約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，可確定第二階梯電價的用電

量/(kW.h)范圍為()

A.(160,176]B.(176,215]C.(176,230]D.(230,”)

【答案】C

【解析】

【分析】

利用百分位數(shù)的含義結(jié)合條件即得.

【詳解】

?.?約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，

,由表中數(shù)據(jù)可得，第二階梯電價的用電量/(kW,h)范圍為(176,230].

故選：C.

解題技巧(頻率直方圖計算百分位數(shù)的規(guī)律)

求總體百分位數(shù)的估計，首先要從小到大排列數(shù)據(jù)，頻率直方圖看作數(shù)據(jù)均勻分布在直方圖上，然后

計算出i=nxp%,當(dāng)i不是整數(shù)要取整，頻率直方圖要計算出比例值.

例14.(2022.河南焦作.高一期末)某小學(xué)制訂了一份調(diào)查問卷，讓學(xué)生家長對該校實行“雙減”的效果進(jìn)行

評分，評分都在[40,100]內(nèi),將所有數(shù)據(jù)按[40,50],(50,60],(60,70],(70,80],(80,90],(90,100]進(jìn)行

分組，整理得到頻率分布直方圖如下，則這次調(diào)查數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為.

.頻率

0.030k--------------T—I

0.025卜---------\\

0.020L---------------

0.015H----1-

0.010[

0005r;;n-iTrn

O1405。60708090100評分/務(wù)

【答案】80

【解析】

【分析】

利用百分位數(shù)的概念以及頻率分布直方圖求解..

【詳解】

因為前4組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7,

所以70%分位數(shù)為80.

故答案為：80

例15.(2022.北京平谷.高二期末)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使

用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),

—,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率A

緲li

0.04-------------------------------------------------------

0.02-----------------------------------------------j--1——?

0.01---------------------------------------

o2030405060708090分?jǐn)?shù)

(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40,50)的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；

(2)試估計測評成績的75%分位數(shù)；

(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男

生和女生人數(shù)的比例.

【答案】⑴20人

（2）78.75

嗚

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在［40,90）的頻率，即可解出；

（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在［70,80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；

（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女

生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例.

（1）

由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在［50,90）的頻率為（0.01+0.02+0.04+0.02）x10=0.9,在樣本中分?jǐn)?shù)在［50,90）

的人數(shù)為100x0.9=90（人），在樣本中分?jǐn)?shù)在［40,90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在［40,90）的人數(shù)為

400x0.95=380（A）,總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人

（2）

測試成績從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在［70,80）之間，所以估計測評成績的75%分位數(shù)為

075-04

70+lOx------=70+8.75=78.75

0.8-0.4

（3）

由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60

人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為黑==.

題型六平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在具體數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

例16.（2021山西?高一期末）一組數(shù)據(jù)共有7個整數(shù)，e，2,2,2,10,5,4,且2＜加＜10,若這組數(shù)

據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中最大與最小數(shù)之和是該三數(shù)中間數(shù)字的兩倍，則第三四分位數(shù)是.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念和已知條件，列式求解，注意分類討論，求得m的值，進(jìn)而得到已知得

7個數(shù)，從小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位數(shù).

【詳解】

平均數(shù)=--—,眾數(shù)=2,當(dāng)4W機(jī)＜10時，中位數(shù)為4,

則有2+g"=8nm=17舍掉；

當(dāng)2＜，”4時，中位數(shù)為旭，則有2+'"+"=2/7?=＞m=3.

7

該7個數(shù)從小到大排列是2,2,2,3,4,5,10,因為數(shù)據(jù)個數(shù)為7,

而且7x75%=5.25,所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為5.

解題技巧（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義）

（1）樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受

少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中

每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.

（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，

可用中位數(shù)描述其集中趨勢.

例17.（2021.河南?溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））為了增加學(xué)生的鍛煉機(jī)會，某中學(xué)決定每年舉辦

一次足球和乒乓球比賽，據(jù)統(tǒng)計，近10年來，參加足球比賽的學(xué)生人數(shù)分別為為、演、￡、L、占。，它

們的平均數(shù)為已知這10年，參加乒乓球比賽的學(xué)生人數(shù)分別為肛-1、3々-1、3x「l、L、3/7,

它們的平均數(shù)以為（）

A.3-1B.3y,+1C.必D.3M

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.

【詳解】

由已知可得[=+；；???+/,

由平均數(shù)公式可得亢=（3%-1）+（3々-1）+除-1）+…+（3/-1）

=3（%+工2+芻+…+$0）]=37_[

故選：A.

例18.（2022.湖南.高一課時練習(xí)）某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分（十分制）情況如圖

所示，試結(jié)合圖象分析得分的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)之間的大小關(guān)系.

【解析】

【分析】

求出中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，比較大小即可.

【詳解】

由圖知

平均數(shù)為--------------------------------------------5.97

眾數(shù)為5,

中位數(shù)為手=5.5,

故平均數(shù)〉中位數(shù)〉眾數(shù).

例19.(2022?湖南?高一課時練習(xí))某百貨公司連續(xù)40天的銷售額數(shù)據(jù)(單位：萬元)如下:

41252947383430384340

46364537373645433344

35284634303744263844

42363737493942323635

(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，編制頻數(shù)分布表，并繪制頻率分布直方圖；

(2)在繪制的頻率分布直方圖上指出數(shù)據(jù)組的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)所在區(qū)域，并比較它們之間的大小;

(3)試估計該百貨公司一年(按365天計算)的銷售額.

【答案】(1)見解析

(2)中位數(shù)為37,眾數(shù)為37,平均數(shù)為37.85,平均數(shù)最大，中位數(shù)和眾數(shù)相等，

(3)13815.25萬元

【解析】

【分析】

(1)首先找出該組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，求出它們的差，然后決定組距和組數(shù)，找出分點后再列頻數(shù)分

布表和頻數(shù)分布直方圖，

(2)通過對中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的計算進(jìn)行比較，

(3)用平均數(shù)乘以365可求得結(jié)果

(1)

這組數(shù)的最小值為25,最大值為49,其差為49-25=24,取組距為5,將其分成5組，則分的組為

[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),

銷售額的頻率分布表如下：

組段頻數(shù)頻率

[25,30)40.10

130,35)60.15

[35,40)150.375

[40,45)90.225

[45,50)60.15

銷售額的頻率分布直方圖如下:

頻率

組

建-A

S0.

085.

一

O..070.一

OS.075.

.060.

06.

OS.5?

S0a50

S5?-

一

0?一

S.04?

S5一

.04?

S0

.03?一

.035一

O.0

02?—丁

O6.5?

O02?

C.010?

5.015/

M一

.oo

253035404550銷售額（萬元）

（2）

將40個數(shù)據(jù)從小到大排列依次為

25,26,28,29,30,30,32,33,34,34,35,35,36,36,36,36,37,37,37,37,

37,38,38,38,39,40,41,42,42,43,43,44,44,44,45,45,46,46,47,49,

所以中位數(shù)為37,眾數(shù)為37,

平均數(shù)為L（25+26+28+29+2x30+32+33+2x34+2x35+4x36+5x37

40

+3x38+39+40+41+42+2x43+3x44+2x45+2x46+47+49）=37.85,

中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)都在［35,40）,其平均數(shù)最大，中位數(shù)和眾數(shù)相等

（3）

由（2）可知平均每天的銷售額為37.85萬元，

所以該百貨公司一年的銷售額約為

365x37.85=13815.25萬元

題型七在頻率分布直方圖中求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

例20.（河南省新鄉(xiāng)市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文科）試題）《關(guān)于落實主體責(zé)任強(qiáng)化校

園食品安全管理的指導(dǎo)意見》指出：非寄宿制中小學(xué)、幼兒園原則上不得在校內(nèi)設(shè)置食品小賣部、超市，

已經(jīng)設(shè)置的要逐步退出.為了了解學(xué)生對校內(nèi)開設(shè)食品小賣部的意見，某校對100名在校生30天內(nèi)在該校

食品小賣部消費過的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，將所得數(shù)據(jù)按照［0,5）、［5,10）、［10,15）、［15,20）、［20,25）、［25,30］分

成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是（）

A.該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)不低于20的學(xué)生比率估計為20%

B.該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)低于10的學(xué)生比率估計為32%

C.估計該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)的平均值不低于15

D.估計該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)的中位數(shù)介于10至15之間

【答案】C

【解析】

【分析】

利用頻率、頻數(shù)與樣本容量之間的關(guān)系可判斷AB選項；利用頻率分布直方圖計算平均數(shù)可判斷C選項；

利用中位數(shù)的定義可判斷D選項.

【詳解】

由圖可得,該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)在［20,30］內(nèi)的占比為（0.024+0.016）x5=0.2,A正確;

該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)在［0,10）內(nèi)的占比為（0.024+0.040）x5=0.32,B正確；

估計該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)的平均值為

2.5x0.12+7.5x0.2+12.5x0.38+17.5x0.1+22.5x0.12+27.5x0.08=13.2,C錯；

該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)在［0,1。）內(nèi)的占比為0.32,

該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)在［0,15）的占比為（0.024+0.040+0.076）x5=0.7,

所以該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)的中位數(shù)介于1()至15之間，D正確；

故選：C.

解題技巧(知頻率分布直方圖中求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))

(1)眾數(shù)：頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)：