2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章平面解析幾何第2講圓的方程及直線圓的位置關(guān)系作業(yè)試題1含解析新人教版

PAGE第九章平面解析幾何其次講圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系練好題﹒考點(diǎn)自測1.[2024安徽省四校聯(lián)考]直線2x·sinθ+y=0被圓x2+y2-2QUOTEy+2=0截得的最大弦長為 ()A.2QUOTE B.2QUOTE C.3 D.2QUOTE2.[2024北京,5分]已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為 ()A.4 B.5 C.6 D.73.[2024全國卷Ⅲ,5分]若直線l與曲線y=QUOTE和圓x2+y2=QUOTE都相切,則l的方程為 ()A.y=2x+1 B.y=2x+QUOTE C.y=QUOTEx+1 D.y=QUOTEx+QUOTE4.[2024吉林省高三聯(lián)考]已知圓C:x2+y2=r2(r>0),設(shè)p:r≥QUOTE;q:圓C上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線QUOTEx+y-2=0的距離為QUOTE,則p是q的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.[2024全國卷Ⅲ,5分]直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是 ()A.[2,6] B.[4,8]C.[QUOTE,3QUOTE] D.[2QUOTE,3QUOTE]6.[2024全國卷Ⅰ,5分]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P作☉M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí),直線AB的方程為 ()A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=07.[2016全國卷Ⅲ,5分]已知直線l:mx+y+3m-QUOTE=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=2QUOTE,則|CD|=.

8.[2024北京,5分]設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.則以F為圓心,且與l相切的圓的方程為.

9.[2024浙江,6分]已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長是r.若直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A(-2,-1),則m=,r=.

拓展變式1.[2017全國卷Ⅲ,12分]已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程.2.[2024武漢部分重點(diǎn)中學(xué)5月聯(lián)考]已知圓C1:(x-1)2+(y-3)2=9和C2:x2+(y-2)2=1,若M,N分別是圓C1,C2上的點(diǎn),P是拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值是.

3.[原創(chuàng)題]已知直線l:x+2y-3=0與圓C:x2+y2+x-6y+m=0,若直線l與圓C無公共點(diǎn),則m的取值范圍是 ()A.(1,8)B.(8,QUOTE)C.(1,37)D.(8,+∞)4.[2024廣西模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過圓C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上隨意一點(diǎn)P作圓C2:x2+y2=1的一條切線,切點(diǎn)為Q,則當(dāng)|PQ|最小時(shí),k=.

5.[2017全國卷Ⅲ,12分]在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m改變時(shí),解答下列問題:(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的狀況?說明理由.(2)證明過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.6.(1)[2024武漢武昌試驗(yàn)中學(xué)考前模擬]過點(diǎn)D(1,-2)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則弦AB所在直線的方程為 ()A.2y-1=0 B.2y+1=0C.x+2y-1=0 D.x-2y+1=0(2)[2024河北冀州中學(xué)模擬]已知圓C:x2+y2-2x-4y+3=0.①若圓C的一條切線在x軸和y軸上的截距相等,則此切線的方程為;

②從圓C外一點(diǎn)P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,則|PM|的最小值為.

7.阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學(xué)家,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的探討,主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書,其中阿波羅尼斯圓是他的探討成果之一,即已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知圓O:x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A(-QUOTE,0),B(1,1),則2|MA|+|MB|的最小值為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE答案其次講圓的方程及直線、圓的位置關(guān)系1.D依據(jù)題意,圓x2+y2-2QUOTEy+2=0,即x2+(y-QUOTE)2=3,其圓心為(0,QUOTE),半徑r=QUOTE,圓心到直線2x·sinθ+y=0的距離d=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=1,當(dāng)圓心到直線的距離最小時(shí),直線2x·sinθ+y=0被圓x2+y2-2QUOTEy+2=0截得的弦長最大,而d=QUOTE的最小值為1,則直線2x·sinθ+y=0被圓x2+y2-2QUOTEy+2=0截得的最大弦長為2×QUOTE=2QUOTE,故選D.2.A設(shè)該圓的圓心為(a,b),則圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=1,∵該圓過點(diǎn)(3,4),∴(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示點(diǎn)(a,b)在以(3,4)為圓心,1為半徑的圓上,則點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的最小值為QUOTE-1=4,故選A.3.D易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+b,則QUOTE=QUOTE①,設(shè)直線l與曲線y=QUOTE的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,QUOTE)(x0>0),則y'QUOTE=QUOTE=k②,QUOTE=kx0+b③,由②③可得b=QUOTE,將b=QUOTE,k=QUOTE代入①得x0=1或x0=-QUOTE(舍去),所以k=b=QUOTE,故直線l的方程為y=QUOTEx+QUOTE.4.C圓C的圓心為(0,0),其到直線QUOTEx+y-2=0的距離為1.當(dāng)0<r<QUOTE時(shí),圓上沒有點(diǎn)到直線的距離為QUOTE;當(dāng)r=QUOTE時(shí),圓上有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離為QUOTE;當(dāng)QUOTE<r<QUOTE時(shí),圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為QUOTE;當(dāng)r=QUOTE時(shí),圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為QUOTE;當(dāng)r>QUOTE時(shí),圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為QUOTE;要使圓C上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線QUOTEx+y-2=0的距離為QUOTE,則r≥QUOTE,所以p是q的充要條件,故選C.5.A圓心(2,0)到直線的距離d=QUOTE=2QUOTE,所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[QUOTE,3QUOTE].依據(jù)直線的方程可知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2QUOTE,所以△ABP的面積S=QUOTE|AB|·d1=QUOTEd1.因?yàn)閐1∈[QUOTE,3QUOTE],所以S∈[2,6],即△ABP面積的取值范圍是[2,6].6.D由☉M:x2+y2-2x-2y-2=0①,得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圓心M(1,1).圖D9-2-1如圖D9-2-1,連接AM,BM,易知PM⊥AB,所以四邊形PAMB的面積為QUOTE|PM|·|AB|,欲使|PM|·|AB|最小,只需四邊形PAMB的面積最小,即只需△PAM的面積最小.因?yàn)閨AM|=2,所以只需|PA|最小.因?yàn)閨PA|=QUOTE=QUOTE,所以只需直線2x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)P到M的距離最小,其最小值為QUOTE=QUOTE,此時(shí)PM⊥l,易求出直線PM的方程為x-2y+1=0.由QUOTE得QUOTE所以P(-1,0).因?yàn)椤螾AM=∠PBM=90°,所以A,B在以PM為直徑的圓上.所以此圓的方程為x2+(y-QUOTE)2=(QUOTE)2,即x2+y2-y-1=0②,由①-②得,直線AB的方程為2x+y+1=0,故選D.7.4設(shè)圓心到直線l:mx+y+3m-QUOTE=0的距離為d,則弦長|AB|=2QUOTE=2QUOTE,解得d=3,即QUOTE=3,解得m=-QUOTE,則直線l:x-QUOTEy+6=0,數(shù)形結(jié)合可得|CD|=QUOTE=4.8.(x-1)2+y2=4因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x,所以焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1.因?yàn)樗蟮膱A以F為圓心,且與準(zhǔn)線l相切,故圓的半徑r=2,所以圓的方程為(x-1)2+y2=4.9.-2QUOTE解法一設(shè)過點(diǎn)A(-2,-1)且與直線2x-y+3=0垂直的直線l的方程為x+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l的方程為x+2y+4=0.將(0,m)代入,解得m=-2,則r=QUOTE=QUOTE.解法二因?yàn)橹本€2x-y+3=0與以點(diǎn)(0,m)為圓心的圓相切,且切點(diǎn)為A(-2,-1),所以QUOTE×2=-1,所以m=-2,r=QUOTE=QUOTE.1.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由QUOTE可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4.又x1=QUOTE,x2=QUOTE,故x1x2=QUOTE=4.則QUOTE·QUOTE=x1x2+y1y2=0,所以O(shè)A⊥OB.又圓M是以線段AB為直徑的圓,故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圓心M的坐標(biāo)為(m2+2,m),圓M的半徑r=QUOTE.由于圓M過點(diǎn)P(4,-2),因此QUOTE·QUOTE=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-QUOTE.當(dāng)m=1時(shí),直線l的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為QUOTE,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10.當(dāng)m=-QUOTE時(shí),直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為(QUOTE,-QUOTE),圓M的半徑為QUOTE,圓M的方程為(x-QUOTE)2+(y+QUOTE)2=QUOTE.2.5QUOTE-4依題意知,拋物線x2=4y的準(zhǔn)線方程為y=-1,則圓C1關(guān)于直線y=-1的對稱圓的圓心為C3(1,-5),半徑為3.圓C2的圓心為(0,2),半徑為1,連接C2C3,由圖象可知(圖略),當(dāng)P,C2,C3三點(diǎn)共線時(shí),|PM|+|PN|取得最小值,其最小值為圓C3與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑之和,即(|PM|+|PN|)min=|C2C3|-3-1=QUOTE-4=5QUOTE-4.3.B將圓C的方程配方,得(x+QUOTE)2+(y-3)2=QUOTE,則有QUOTE>0,解得m<QUOTE.因?yàn)橹本€l與圓C無公共點(diǎn),所以圓心(-QUOTE,3)到直線x+2y-3=0的距離大于半徑,即QUOTE>QUOTE,解得m>8.所以m的取值范圍是(8,QUOTE).故選B.4.2由題意知,|C1C2|=QUOTE=QUOTE≥2QUOTE>2,所以圓C1與圓C2外離,示意圖如圖D9-2-2所示.因?yàn)镻Q為圓C2的切線,所以PQ⊥C2Q,由勾股定理,得|PQ|=QUOTE,要使|PQ|最小,則需|PC2|最小.明顯當(dāng)點(diǎn)P為C1C2與圓C1的交點(diǎn)時(shí),|PC2|最小,此時(shí)|PC2|=|C1C2|-1,所以當(dāng)|C1C2|最小時(shí),|PC2|最小.易知當(dāng)k=2時(shí),|C1C2|取最小值,即|PQ|最小.圖D9-2-25.(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的狀況,理由如下:設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2是方程x2+mx-2=0的兩根,所以x1x2=-2,又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),則QUOTE·QUOTE=(-x1,1)·(-x2,1)=x1x2+1=-2+1=-1≠0,所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的狀況.(2)解法一由題意知,過A,B,C三點(diǎn)的圓的圓心必在線段AB的垂直平分線上.設(shè)圓心E(x0,y0),則x0=QUOTE,由(1)可得x1+x2=-m,所以x0=-QUOTE.由|EA|=|EC|,得(QUOTE-x1)2+QUOTE=(QUOTE)2+(y0-1)2,化簡得y0=QUOTE=-QUOTE,所以圓E的方程為(x+QUOTE)2+(y+QUOTE)2=(-QUOTE)2+(-QUOTE-1)2.令x=0,得y1=1,y2=-2,所以過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為1-(-2)=3,即過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.解法二設(shè)過A,B,C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,由x1x2=-2可知原點(diǎn)O在圓內(nèi),則由相交弦定理可得|OC|·|OD|=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=2.又|OC|=1,所以|OD|=2,所以過A,B,C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為|OC|+|OD|=3,為定值.6.(1)B解法一(常規(guī)解法)由圓C:(x-1)2+y2=1的方程可知其圓心為C(1,0),半徑為1.連接CD,以線段CD為直徑的圓的方程為(x-1)(x-1)+(y+2)(y-0)=0,整理得(x-1)2+(y+1)2=1.將兩圓的方程相減,可得公共弦AB所在直線的方程為2y+1=0.故選B.解法二(結(jié)論解法)由與圓的切線有關(guān)的結(jié)論(詳見主書P192【思維拓展】(2))得弦AB所在直線的方程為(1-1)(x-1)+(-2)y=1,即2y+1=0.故選B.(2)①(QUOTE-2)x-y=0或(QUOTE+2)x+y=0或x+y-1=0或x+y-5=0圓C的方程可化為(x-1)2+(y-2)2=2,當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí),設(shè)直線方程為y=kx(k≠0),由直線與圓相切,得QUOTE=QUOTE,解得k=-2±QUOTE.所以切線方程為y=(-2+QUOTE)x或y=(-2-QUOTE)x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí),設(shè)直線方程為x+y-a=0,由直線與圓相切,得QUOTE=QUOTE,解得a=1或a=5.所以切線方程為x+y-1=0或x+y-5=0.綜上所述,所求的切線方程為(-2+QUOTE)