重難點(diǎn)培優(yōu)：與絕對(duì)值有關(guān)的十種常見題型與解法（解析版）

與絕對(duì)值有關(guān)的十種常見題型與解法（重難點(diǎn)培優(yōu)提升）類型一、絕對(duì)值的有關(guān)概念1．（23-24·吉林延邊·階段練習(xí)）在下列數(shù)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【分析】本題考查的是絕對(duì)值與有理數(shù)的大小比較，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算出各選項(xiàng)的絕對(duì)值，再進(jìn)行大小比較即可．【詳解】解：∵，而，，故選：C．2．（23-24七年級(jí)上·甘肅定西·階段練習(xí)）如果a的相反數(shù)是，那么．【答案】0.74【分析】本題主要考查了絕對(duì)值和相反數(shù)的知識(shí)，根據(jù)“只有符號(hào)不相同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等”求解即可．【詳解】解：a的相反數(shù)是，則：，∴，故答案為：．3．（23-24七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）化簡下列各數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)2【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義解答；（2）根據(jù)相反數(shù)的意義解答；（3）根據(jù)相反數(shù)的意義解答；（4）根據(jù)絕對(duì)值的意義解答．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了多重符號(hào)的化簡，涉及相反數(shù)和絕對(duì)值，熟練掌握有理數(shù)的基本知識(shí)是關(guān)鍵．類型二、絕對(duì)值的幾何意義4．（2024·遼寧撫順·三模）下列各數(shù)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的是（

）A． B． C．3 D．0【答案】C【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，依題意，選項(xiàng)的每個(gè)數(shù)值的絕對(duì)值最大即為距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)，即可作答．【詳解】解：∵，，，∵，∴距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的是3．故選：C．5．（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·期中）若有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查去絕對(duì)值，涉及數(shù)軸性質(zhì)、絕對(duì)值意義及整式加減運(yùn)算，根據(jù)數(shù)軸得到的范圍，利用絕對(duì)值意義去絕對(duì)值，最后利用整式加減運(yùn)算求解即可得到答案，熟練掌握絕對(duì)值的意義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可知，，，故答案為：．6．（23-24七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）已知，則；【答案】或；【分析】本題考查絕對(duì)值的應(yīng)用及數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，根據(jù)，分在左邊與右邊兩類討論即可得到答案；【詳解】解：∵，∴數(shù)在左邊或右邊，當(dāng)數(shù)在左邊時(shí)，∵，∴，解得：，當(dāng)數(shù)在右邊時(shí)，∵，∴，解得：，故答案為：或．類型三、絕對(duì)值的非負(fù)性7．（23-24七年級(jí)下·河南南陽·期末）已知，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題考查解一元一次不等式，絕對(duì)值的意義，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得是非負(fù)數(shù)，據(jù)此即可得到不等式，從而求解．【詳解】解：∵，∴∴∴，故答案為：．8．（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）如果且．則下列說法中可能成立的是（）A．a(chǎn)、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù) B．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)C．b、c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù) D．a(chǎn)、b、c為正數(shù)【答案】A【分析】此題考查了有理數(shù)的加法和絕對(duì)值的意義的綜合運(yùn)用能力，由題意得a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)正數(shù)，且至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，且，所以可能a，b為正數(shù)c為負(fù)數(shù)，也可能a，b為負(fù)數(shù)c為正數(shù)．【詳解】解：且，a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)正數(shù)，且至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，且，可能a，b為正數(shù)c為負(fù)數(shù)，也可能a，b為負(fù)數(shù)c為正數(shù)，故選：A．9．（23-24·黑龍江哈爾濱·期中）已知為有理數(shù)，則的最小值為．【答案】4【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴的最小值為4，故答案為：4．類型四、利用絕對(duì)值進(jìn)行大小比較10．（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）比較大?。海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了絕對(duì)值和有理數(shù)的大小比較，熟練掌握正數(shù)都大于零；負(fù)數(shù)都小于零；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小是解題關(guān)鍵．先化簡絕對(duì)值，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法求解即可得．【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，故答案為：?1．（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）比較下列各對(duì)數(shù)的大小：①與；②與；③與；④與．【答案】①；②；③；④【分析】本題主要考查有理數(shù)比較大小，絕對(duì)值的性質(zhì)的運(yùn)用，掌握有理數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．①兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，由此即可求解；②先化簡絕對(duì)值，再根據(jù)負(fù)數(shù)小于零，即可求解；③兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，由此即可求解；④先化簡，再根據(jù)負(fù)數(shù)小于零，即可求解．【詳解】解：①∵，，，∴；②，因?yàn)樨?fù)數(shù)小于，所以；③∵，，，∴；④分別化簡兩數(shù)，得：，∵正數(shù)大于負(fù)數(shù)，∴．12．（23-24七年級(jí)上·湖南懷化·期末）已知下列各數(shù)，按要求完成各題：，，0，，6，，．(1)負(fù)數(shù)集合：{

．．．．．．}；(2)用“”把它們連接起來是；(3)畫出數(shù)軸，并把已知各數(shù)表示在數(shù)軸上．【答案】(1)，，，(2)(3)見解析【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，有理數(shù)比較大小，負(fù)數(shù)的定義，化簡絕對(duì)值和多重符號(hào)：（1）先化簡絕對(duì)值和多重符號(hào)，再根據(jù)負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小絕對(duì)值越大其值越小進(jìn)行求解即可；（3）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可．【詳解】（1）解：，，∴負(fù)數(shù)有，，，；（2）解：∵，∴，故答案為：；（3）解：如圖所示，即為所求．13．（23-24七年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）如果，則的值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】本題考查了絕對(duì)值及平方非負(fù)性的應(yīng)用，由題意得是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴∴∴故選：A14．（23-24·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知，求的值．【答案】2【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，正確熟練掌握絕對(duì)值的非負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．由絕對(duì)值的非負(fù)性結(jié)合與的和為0可求解．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，解得：，∴．15．（21-22七年級(jí)上·陜西·期中）已知（a＋2）2＋|b﹣3|＝0，c是最大的負(fù)整數(shù)，求a3＋a2bc﹣a的值．【答案】-19【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：∵（a＋2）2＋|b﹣3|＝0，∴a＋2＝0，b﹣3＝0，∴a＝-2，b＝3，c是最大的負(fù)整數(shù)，c=-1，a3＋a2bc﹣a=，【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和求代數(shù)式的值，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意求出字母的值．二、填空題16．（23-24七年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）若，求代數(shù)式．【答案】【分析】本題考查了絕對(duì)值的定義，代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的定義．根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可．【詳解】解：，，，，，，，，故答案為：117．（23-24·上海楊浦·期末）的最小值為．【答案】【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，根據(jù)絕對(duì)值的意義，結(jié)合圖形解答即可求解，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：式子表示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離和，可知當(dāng)在和的中點(diǎn)時(shí)，即，距離和最小，最小值為，故答案為：．18．（2024七年級(jí)下·北京·專題練習(xí)）已知，化簡．【答案】【分析】此題考查了絕對(duì)值的化簡、整式的加減、不等式的性質(zhì)，先求出代數(shù)式的范圍，再化簡絕對(duì)值，最后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：．三、解答題19．（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）在數(shù)軸上，a，b，c對(duì)應(yīng)的數(shù)如圖所示，．(1)確定符號(hào)：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0；(2)化簡：；(3)化簡：．【答案】(1)；；；；(2)(3)【分析】本題考查數(shù)軸判斷式子的正負(fù)，化簡絕對(duì)值，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合解題．（1）通過數(shù)軸直接判斷出每個(gè)字母的正負(fù)，結(jié)合即可得出結(jié)果；（2）通過字母的正負(fù)化簡絕對(duì)值即可；（3）通過字母以及式子的正負(fù)化簡絕對(duì)值即可；．【詳解】（1）解：（1）由數(shù)軸知，，故答案為：；；；；；（2）；（3）．20．（23-24·北京海淀·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)化簡：．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負(fù)、絕對(duì)值的化簡等知識(shí)點(diǎn)，掌握利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負(fù)成為解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)數(shù)軸取得a、b、c的大小關(guān)系，然后再確定所求代數(shù)式的正負(fù)即可；（2）根據(jù)（1）所的代數(shù)式的正負(fù)取絕對(duì)值，然后再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：，則．故答案為：，，．（2）解：∵，∴．21．（23-24七年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）求解含絕對(duì)值的一元一次方程的方法我們沒有學(xué)習(xí)過，但我們可以采用分類討論的思想先把絕對(duì)值去除，使得方程成為一元一次方程，這樣我們就能輕松求解了．比如，求解方程：．解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得，所以原方程的解是或．請(qǐng)你依據(jù)上面的方法，求解方程：，得到的解為．【答案】或【分析】根據(jù)絕對(duì)值的化簡方法計(jì)算即可，本題考查了絕對(duì)值的化簡，正確化簡絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得，所以原方程的解是或．故答案為：或．22．（23-24七年級(jí)下·甘肅天水·期中）閱讀下列材料：我們知道表示的是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即，也就是說，對(duì)表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．例1：解方程．解：∵，∴在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為6的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，即該方程的解為．例2：解不等式．解：如圖，首先在數(shù)軸上找出的解，即到1的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，3，則的解集為到1的距離大于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)，所以原不等式的解集為或．參考閱讀材料，解答下列問題：(1)方程的解為______；(2)解不等式；(3)若，則x的取值范圍是_______；【答案】(1)或(2)(3)【分析】本題考查含絕對(duì)值的一元一次方程，不等式，利用絕對(duì)值的性質(zhì)，借助數(shù)軸表示其實(shí)際意義進(jìn)行求解，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）將表示在數(shù)軸上與5的距離為3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，借助數(shù)軸求解即可；（2）首先找的解，即到距離為4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為和2，再根據(jù)表示到的距離小于4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)，借助數(shù)軸求解即可；（3），表示到1的點(diǎn)與到的點(diǎn)距離和為3，借助數(shù)軸求解即可．【詳解】（1）解：，在數(shù)軸上與5的距離為3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是2或8，則該方程的解為：或．故答案為：或．（2），首先找的解，即到距離為4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為和2，表示到的距離小于4的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)，不等式解集為；（3），表示到1的點(diǎn)與到的點(diǎn)距離和為3，與1之間的距離為3，；故答案為：．23．（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為．(2)若，則．(3)最大值為，最小值為．【答案】(1)(2)1或(3)5，【分析】本題考查數(shù)軸、絕對(duì)值的意義，讀懂題目信息、理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離即可解答；（2）分兩種情況，將絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程求解，即得答案；（3）可看作是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到3、兩點(diǎn)的距離之差，據(jù)此即可解答．【詳解】（1）數(shù)軸上x和兩點(diǎn)之間的距離表示為；故答案為：．（2）

或，或；

故答案為：1或．（3）式子可看作是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到3、兩點(diǎn)的距離之差，∴當(dāng)時(shí)，有最大值5；當(dāng)時(shí)，有最小值．

故答案為：5；．24．（23-24七年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）我們知道，可以理解為，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，，分別用數(shù)，表示，那么，兩點(diǎn)之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離，利用此結(jié)論，回答以下問題：(1)數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離是_________．(2)數(shù)軸上點(diǎn)用數(shù)表示，則①若，那么的值是_________．②有最小值，最小值是_________；③求的最小值．【答案】(1)，(2)①或；②；③【分析】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握絕對(duì)值的意義和性質(zhì)，逐步探索變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；（2）①利用絕對(duì)值的定義可得或，即可求解；②由表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到的距離與表示數(shù)的點(diǎn)到的距離之和，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短即可求解；③該式子表示數(shù)軸上點(diǎn)到、、、、的距離之和，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和絕對(duì)值的意義可知：當(dāng)時(shí)，原式有最小值，然后去取絕對(duì)值，利用求和公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離是：，數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離是：，故答案為：，；（2）①若，那么或，解得：或，故答案為：或；②表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到的距離與表示數(shù)的點(diǎn)到的距離之和，由兩點(diǎn)間線段最短可知：當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是，故答案為：；③的中間一項(xiàng)是，當(dāng)時(shí)，原式有最小值，的最小值是．25．（23-24·黑龍江哈爾濱·期中）出租車司機(jī)李師傅某日上午一直在某市區(qū)一條東西方向的公路上營運(yùn)，共連續(xù)運(yùn)載八批乘客，若按規(guī)定向東為正，李師傅營運(yùn)八批乘客里程數(shù)記錄如下（單位：千米）：，，，，，，，．(1)將最后一批乘客送到目的地后，李師傅位于第一批乘客出發(fā)地多少千米？(2)若出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價(jià)元（不超過千米），超過千米，超過部分每千米元，不超過千米則收取起步價(jià)，求李師傅在這期間一共收入多少元？【答案】(1)將最后一批乘客送到目的地后，李師傅位于第一批乘客出發(fā)地千米(2)李師傅在這期間一共收入元【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)的四則運(yùn)算的應(yīng)用，理解正負(fù)數(shù)的意義、正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（）把記錄的數(shù)相加即可得出答案；（）根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，答：將最后一批乘客送到目的地后，李師傅位于第一批乘客出發(fā)地千米；（2）解：∵出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：起步價(jià)元（不超過千米），超過千米，超過部分每千米元，不超過千米則收取起步價(jià)，八批乘客里程數(shù)記錄中，，，∴（元），答：李師傅在這期間一共收入元．26．（23-24·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）剛剛閉幕的第33屆“哈洽會(huì)”，于2024年5月16日至21