重難點培優(yōu)：與絕對值有關的十種常見題型與解法（解析版）

與絕對值有關的十種常見題型與解法（重難點培優(yōu)提升）類型一、絕對值的有關概念1．（23-24·吉林延邊·階段練習）在下列數(shù)中，絕對值最大的數(shù)是（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【分析】本題考查的是絕對值與有理數(shù)的大小比較，熟練掌握上述知識點是解題的關鍵．先計算出各選項的絕對值，再進行大小比較即可．【詳解】解：∵，而，，故選：C．2．（23-24七年級上·甘肅定西·階段練習）如果a的相反數(shù)是，那么．【答案】0.74【分析】本題主要考查了絕對值和相反數(shù)的知識，根據“只有符號不相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等”求解即可．【詳解】解：a的相反數(shù)是，則：，∴，故答案為：．3．（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）化簡下列各數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)2【分析】（1）根據絕對值的意義解答；（2）根據相反數(shù)的意義解答；（3）根據相反數(shù)的意義解答；（4）根據絕對值的意義解答．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查了多重符號的化簡，涉及相反數(shù)和絕對值，熟練掌握有理數(shù)的基本知識是關鍵．類型二、絕對值的幾何意義4．（2024·遼寧撫順·三模）下列各數(shù)在數(shù)軸上表示的點距離原點最遠的是（

）A． B． C．3 D．0【答案】C【分析】本題考查了絕對值的意義，依題意，選項的每個數(shù)值的絕對值最大即為距離原點最遠，即可作答．【詳解】解：∵，，，∵，∴距離原點最遠的是3．故選：C．5．（23-24七年級上·四川宜賓·期中）若有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結果是．【答案】【分析】本題考查去絕對值，涉及數(shù)軸性質、絕對值意義及整式加減運算，根據數(shù)軸得到的范圍，利用絕對值意義去絕對值，最后利用整式加減運算求解即可得到答案，熟練掌握絕對值的意義是解決問題的關鍵．【詳解】解：由圖可知，，，故答案為：．6．（23-24七年級上·四川成都·階段練習）已知，則；【答案】或；【分析】本題考查絕對值的應用及數(shù)軸上兩點間距離，根據，分在左邊與右邊兩類討論即可得到答案；【詳解】解：∵，∴數(shù)在左邊或右邊，當數(shù)在左邊時，∵，∴，解得：，當數(shù)在右邊時，∵，∴，解得：，故答案為：或．類型三、絕對值的非負性7．（23-24七年級下·河南南陽·期末）已知，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題考查解一元一次不等式，絕對值的意義，根據絕對值的性質可得是非負數(shù)，據此即可得到不等式，從而求解．【詳解】解：∵，∴∴∴，故答案為：．8．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）如果且．則下列說法中可能成立的是（）A．a、b為正數(shù)，c為負數(shù) B．a、c為正數(shù)，b為負數(shù)C．b、c為正數(shù)，a為負數(shù) D．a、b、c為正數(shù)【答案】A【分析】此題考查了有理數(shù)的加法和絕對值的意義的綜合運用能力，由題意得a，b，c三個數(shù)至少有一個正數(shù)，且至少有一個為負數(shù)，且，所以可能a，b為正數(shù)c為負數(shù)，也可能a，b為負數(shù)c為正數(shù)．【詳解】解：且，a，b，c三個數(shù)至少有一個正數(shù)，且至少有一個為負數(shù)，且，可能a，b為正數(shù)c為負數(shù)，也可能a，b為負數(shù)c為正數(shù)，故選：A．9．（23-24·黑龍江哈爾濱·期中）已知為有理數(shù)，則的最小值為．【答案】4【分析】本題考查了絕對值的非負性，解題的關鍵是掌握正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．根據絕對值的非負性即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴的最小值為4，故答案為：4．類型四、利用絕對值進行大小比較10．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）比較大小：．【答案】【分析】本題考查了絕對值和有理數(shù)的大小比較，熟練掌握正數(shù)都大于零；負數(shù)都小于零；正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小是解題關鍵．先化簡絕對值，再根據有理數(shù)的大小比較方法求解即可得．【詳解】解：因為，，，所以，故答案為：．11．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）比較下列各對數(shù)的大小：①與；②與；③與；④與．【答案】①；②；③；④【分析】本題主要考查有理數(shù)比較大小，絕對值的性質的運用，掌握有理數(shù)比較大小的方法是解題的關鍵．①兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，由此即可求解；②先化簡絕對值，再根據負數(shù)小于零，即可求解；③兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，由此即可求解；④先化簡，再根據負數(shù)小于零，即可求解．【詳解】解：①∵，，，∴；②，因為負數(shù)小于，所以；③∵，，，∴；④分別化簡兩數(shù)，得：，∵正數(shù)大于負數(shù)，∴．12．（23-24七年級上·湖南懷化·期末）已知下列各數(shù)，按要求完成各題：，，0，，6，，．(1)負數(shù)集合：{

．．．．．．}；(2)用“”把它們連接起來是；(3)畫出數(shù)軸，并把已知各數(shù)表示在數(shù)軸上．【答案】(1)，，，(2)(3)見解析【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，有理數(shù)比較大小，負數(shù)的定義，化簡絕對值和多重符號：（1）先化簡絕對值和多重符號，再根據負數(shù)是小于0的數(shù)進行求解即可；（2）根據正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小絕對值越大其值越小進行求解即可；（3）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可．【詳解】（1）解：，，∴負數(shù)有，，，；（2）解：∵，∴，故答案為：；（3）解：如圖所示，即為所求．13．（23-24七年級上·海南省直轄縣級單位·期末）如果，則的值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】本題考查了絕對值及平方非負性的應用，由題意得是解題關鍵．【詳解】解：∵，，∴∴∴故選：A14．（23-24·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知，求的值．【答案】2【分析】本題考查了絕對值的非負性，正確熟練掌握絕對值的非負性是解決本題的關鍵．由絕對值的非負性結合與的和為0可求解．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，解得：，∴．15．（21-22七年級上·陜西·期中）已知（a＋2）2＋|b﹣3|＝0，c是最大的負整數(shù)，求a3＋a2bc﹣a的值．【答案】-19【分析】根據非負數(shù)的性質求出a、b的值，代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：∵（a＋2）2＋|b﹣3|＝0，∴a＋2＝0，b﹣3＝0，∴a＝-2，b＝3，c是最大的負整數(shù)，c=-1，a3＋a2bc﹣a=，【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質和求代數(shù)式的值，解題關鍵是根據題意求出字母的值．二、填空題16．（23-24七年級上·四川南充·階段練習）若，求代數(shù)式．【答案】【分析】本題考查了絕對值的定義，代數(shù)式，解題的關鍵是掌握絕對值的定義．根據絕對值的定義求解即可．【詳解】解：，，，，，，，，故答案為：117．（23-24·上海楊浦·期末）的最小值為．【答案】【分析】本題考查了絕對值的意義，根據絕對值的意義，結合圖形解答即可求解，掌握數(shù)形結合思想是解題的關鍵．【詳解】解：式子表示對應的點分別與到對應的點的距離和，可知當在和的中點時，即，距離和最小，最小值為，故答案為：．18．（2024七年級下·北京·專題練習）已知，化簡．【答案】【分析】此題考查了絕對值的化簡、整式的加減、不等式的性質，先求出代數(shù)式的范圍，再化簡絕對值，最后合并同類項即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：．三、解答題19．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）在數(shù)軸上，a，b，c對應的數(shù)如圖所示，．(1)確定符號：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0；(2)化簡：；(3)化簡：．【答案】(1)；；；；(2)(3)【分析】本題考查數(shù)軸判斷式子的正負，化簡絕對值，關鍵是數(shù)形結合解題．（1）通過數(shù)軸直接判斷出每個字母的正負，結合即可得出結果；（2）通過字母的正負化簡絕對值即可；（3）通過字母以及式子的正負化簡絕對值即可；．【詳解】（1）解：（1）由數(shù)軸知，，故答案為：；；；；；（2）；（3）．20．（23-24·北京海淀·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)化簡：．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負、絕對值的化簡等知識點，掌握利用數(shù)軸確定代數(shù)式的正負成為解題的關鍵．（1）先根據數(shù)軸取得a、b、c的大小關系，然后再確定所求代數(shù)式的正負即可；（2）根據（1）所的代數(shù)式的正負取絕對值，然后再合并同類項即可．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：，則．故答案為：，，．（2）解：∵，∴．21．（23-24七年級下·河南周口·階段練習）求解含絕對值的一元一次方程的方法我們沒有學習過，但我們可以采用分類討論的思想先把絕對值去除，使得方程成為一元一次方程，這樣我們就能輕松求解了．比如，求解方程：．解：當時，原方程可化為，解得；當時，原方程可化為，解得，所以原方程的解是或．請你依據上面的方法，求解方程：，得到的解為．【答案】或【分析】根據絕對值的化簡方法計算即可，本題考查了絕對值的化簡，正確化簡絕對值是解題的關鍵．【詳解】解：當時，原方程可化為，解得；當時，原方程可化為，解得，所以原方程的解是或．故答案為：或．22．（23-24七年級下·甘肅天水·期中）閱讀下列材料：我們知道表示的是在數(shù)軸上數(shù)x對應的點與原點的距離，即，也就是說，對表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應點之間的距離．這個結論可以推廣為表示在數(shù)軸上數(shù)，對應點之間的距離．例1：解方程．解：∵，∴在數(shù)軸上與原點距離為6的點對應的數(shù)為，即該方程的解為．例2：解不等式．解：如圖，首先在數(shù)軸上找出的解，即到1的距離為2的點對應的數(shù)為，3，則的解集為到1的距離大于2的點對應的所有數(shù)，所以原不等式的解集為或．參考閱讀材料，解答下列問題：(1)方程的解為______；(2)解不等式；(3)若，則x的取值范圍是_______；【答案】(1)或(2)(3)【分析】本題考查含絕對值的一元一次方程，不等式，利用絕對值的性質，借助數(shù)軸表示其實際意義進行求解，熟練運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．（1）將表示在數(shù)軸上與5的距離為3的點對應的數(shù)，借助數(shù)軸求解即可；（2）首先找的解，即到距離為4的點對應的數(shù)為和2，再根據表示到的距離小于4的點對應的所有數(shù)，借助數(shù)軸求解即可；（3），表示到1的點與到的點距離和為3，借助數(shù)軸求解即可．【詳解】（1）解：，在數(shù)軸上與5的距離為3的點對應的數(shù)是2或8，則該方程的解為：或．故答案為：或．（2），首先找的解，即到距離為4的點對應的數(shù)為和2，表示到的距離小于4的點對應的所有數(shù)，不等式解集為；（3），表示到1的點與到的點距離和為3，與1之間的距離為3，；故答案為：．23．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）數(shù)學實驗室：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A、B兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．

利用數(shù)形結合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離表示為．(2)若，則．(3)最大值為，最小值為．【答案】(1)(2)1或(3)5，【分析】本題考查數(shù)軸、絕對值的意義，讀懂題目信息、理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示是解題的關鍵．（1）根據數(shù)軸上A、B兩點之間的距離即可解答；（2）分兩種情況，將絕對值方程轉化為兩個方程求解，即得答案；（3）可看作是數(shù)軸上表示x的點到3、兩點的距離之差，據此即可解答．【詳解】（1）數(shù)軸上x和兩點之間的距離表示為；故答案為：．（2）

或，或；

故答案為：1或．（3）式子可看作是數(shù)軸上表示x的點到3、兩點的距離之差，∴當時，有最大值5；當時，有最小值．

故答案為：5；．24．（23-24七年級上·四川南充·階段練習）我們知道，可以理解為，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數(shù)軸上的兩個點，，分別用數(shù)，表示，那么，兩點之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離，利用此結論，回答以下問題：(1)數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離是_________，數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離是_________．(2)數(shù)軸上點用數(shù)表示，則①若，那么的值是_________．②有最小值，最小值是_________；③求的最小值．【答案】(1)，(2)①或；②；③【分析】本題考查絕對值的性質、數(shù)軸上兩點間的距離，熟練掌握絕對值的意義和性質，逐步探索變化規(guī)律是解題的關鍵．（1）根據兩點間的距離公式求解即可；（2）①利用絕對值的定義可得或，即可求解；②由表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點到的距離與表示數(shù)的點到的距離之和，根據兩點間線段最短即可求解；③該式子表示數(shù)軸上點到、、、、的距離之和，根據兩點之間線段最短和絕對值的意義可知：當時，原式有最小值，然后去取絕對值，利用求和公式計算即可．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離是：，數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離是：，故答案為：，；（2）①若，那么或，解得：或，故答案為：或；②表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點到的距離與表示數(shù)的點到的距離之和，由兩點間線段最短可知：當時，有最小值，最小值是，故答案為：；③的中間一項是，當時，原式有最小值，的最小值是．25．（23-24·黑龍江哈爾濱·期中）出租車司機李師傅某日上午一直在某市區(qū)一條東西方向的公路上營運，共連續(xù)運載八批乘客，若按規(guī)定向東為正，李師傅營運八批乘客里程數(shù)記錄如下（單位：千米）：，，，，，，，．(1)將最后一批乘客送到目的地后，李師傅位于第一批乘客出發(fā)地多少千米？(2)若出租車的收費標準為：起步價元（不超過千米），超過千米，超過部分每千米元，不超過千米則收取起步價，求李師傅在這期間一共收入多少元？【答案】(1)將最后一批乘客送到目的地后，李師傅位于第一批乘客出發(fā)地千米(2)李師傅在這期間一共收入元【分析】本題考查了正負數(shù)的實際應用，有理數(shù)的四則運算的應用，理解正負數(shù)的意義、正確計算是解題的關鍵．（）把記錄的數(shù)相加即可得出答案；（）根據收費標準列式計算即可．【詳解】（1）解：，答：將最后一批乘客送到目的地后，李師傅位于第一批乘客出發(fā)地千米；（2）解：∵出租車的收費標準為：起步價元（不超過千米），超過千米，超過部分每千米元，不超過千米則收取起步價，八批乘客里程數(shù)記錄中，，，∴（元），答：李師傅在這期間一共收入元．26．（23-24·黑龍江哈爾濱·階段練習）剛剛閉幕的第33屆“哈洽會”，于2024年5月16日至21