2023年北京市初三一模數(shù)學(xué)試題匯編：等腰三角形與直角三角形

第1頁/共1頁2023北京初三一模數(shù)學(xué)匯編等腰三角形與直角三角形一、填空題1．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，是的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)，，若，，則的周長是________．2．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，平分，若，則______．二、解答題3．（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）直線是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，連接．以為斜邊作等腰直角，連接．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，點(diǎn)E是直線上一點(diǎn)，且，連接，延長至點(diǎn)F，使得，連接．根據(jù)題意補(bǔ)全圖2，寫出線段之間的關(guān)系，并證明．4．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）下面是小明同學(xué)證明定理時(shí)使用的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在中，．求證：．方法一證明：如圖，延長到點(diǎn)D，使得，連接．方法二證明：如圖，在線段上取一點(diǎn)D，使得，連接．5．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）下面是證明等腰三角形性質(zhì)定理“三線合一”的三種方法，選擇其中一種完成證明．等腰三角形性質(zhì)定理：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡記為：三線合一）．方法一：已知：如圖，中，，平分．求證：，．方法二：已知：如圖，中，，點(diǎn)為中點(diǎn)．求證：，．方法三：已知：如圖，中，，．求證：，

參考答案1．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出，求出的周長即可．【詳解】解：是的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)，，，的周長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)和線段的垂直平分線性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出是解答本題的關(guān)鍵．2．2【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)角平分線的定義得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∵，，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含的直角三角形，角所對(duì)的邊是斜邊的一半，以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握同高的三角形，面積比等于底的比．3．(1)(2)見解析；，【分析】（1）先證明全等三角形，得到等角，然后直接計(jì)算角度即可；（2）先按要求畫圖，然后證明兩組全等三角形，即可得到邊相等且平行的關(guān)系．【詳解】（1）∵直線是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)O，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∵在和中，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）如圖，連接，與（1）同理可得：，∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過已知條件判定全等三角形，得到邊和角的關(guān)系．4．證明見解析【分析】方法一：如圖，延長到點(diǎn)D，使得，連接，先證明，得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，由此即可證明；方法二：如圖，在線段上取一點(diǎn)D，使得，連接，先求出，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，，進(jìn)一步證明，得到，即可證明．【詳解】證明：方法一：如圖，延長到點(diǎn)D，使得，連接，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，即；方法二：如圖，在線段上取一點(diǎn)D，使得，連接，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．證明見解析【分析】三種方法證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：方法一：∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，；方法二：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即