2023年北京市高三二模數(shù)學(xué)試題匯編：拋物線

第1頁/共1頁2023北京高三二模數(shù)學(xué)匯編拋物線一、單選題1．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均有公共點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為（

）A． B． C． D．2．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，則的準(zhǔn)線方程是（

）A． B．C． D．3．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）已知圓的圓心在拋物線上，且此圓過定點(diǎn)，則圓與直線的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不能確定二、填空題4．（2023·北京豐臺·統(tǒng)考二模）在水平地面豎直定向爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)炸開的每塊碎片的運(yùn)動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中碎片達(dá)到的最大高度為40米，碎片距離爆炸中心的最遠(yuǎn)水平距離為80米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為__________米．三、解答題5．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知焦點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求拋物線的準(zhǔn)線方程及△的面積；(2)設(shè)斜率為的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．四、雙空題6．（2023·北京朝陽·二模）已知圓A：，拋物線C：，則圓心A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為________；過圓心A的直線與圓A相交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，若，則________.7．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且在第一象限，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；若，點(diǎn)到直線的距離為__________.

參考答案1．D【分析】根據(jù)點(diǎn)與拋物線的位置即可求解.【詳解】在軸上，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線內(nèi)部，將選項(xiàng)中的點(diǎn)分別在直角坐標(biāo)系中畫出來，只有點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，故當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處，此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)P的任意一條直線與C均相交，故均有公共點(diǎn)，故選：D2．D【分析】根據(jù)兩個(gè)拋物線的對稱性，即可求拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€與拋物線關(guān)于軸對稱，所以兩個(gè)拋物線的準(zhǔn)線也關(guān)于軸對稱，所以的準(zhǔn)線方程是.故選：D3．A【分析】根據(jù)拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可知，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以圓與直線相切.故選：A4．80【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求出拋物線方程，得到答案.【詳解】以拋物線最高點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于地面為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，由題意得，將其代入拋物線方程得，解得，故安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線方程為80米.故答案為：805．(1)準(zhǔn)線為，(2)證明見解析，定點(diǎn)．【分析】（1）由點(diǎn)在拋物線上代入求參數(shù)，寫出拋物線方程，進(jìn)而得準(zhǔn)線方程，最后求△的面積；（2）設(shè)為，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式得的中點(diǎn)N點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)到準(zhǔn)線的距離等于列方程得，即可證結(jié)論并確定定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，即．故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為.所以（2）設(shè)直線的方程為．由得：，又有．設(shè)則，．設(shè)的中點(diǎn)為，則.所以到準(zhǔn)線的距離，，依題意有，即，整理得，解得，滿足．所以直線過定點(diǎn)．6．【分析】由題設(shè)有且半徑，拋物線準(zhǔn)線為，即可得A到拋物線C準(zhǔn)線的距離，根據(jù)對稱性令和在兩側(cè)，易知為中點(diǎn)，設(shè)直線聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式求.【詳解】由題設(shè)且半徑，拋物線準(zhǔn)線為，則A到拋物線C準(zhǔn)線的距離為，又，故A在拋物線內(nèi)部，若拋物線上任意點(diǎn)，則其到A的距離，所以圓A在拋物線內(nèi)部，如上圖示：由對稱性，不妨令和在兩側(cè)，由易知：為中點(diǎn)，若直線為，聯(lián)立拋物線得，所以，則，，而，即，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，故，所以.故答案為：4，7．【分析】根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐