13.5.3 角平分線 華東師大版數(shù)學(xué)八年級上冊知識考點梳理課件

13.5.3角平分線●

考點清單解讀●

重難題型突破●

易錯易混分析●

方法技巧點撥13.5.3角平分線■考點一

角平分線的性質(zhì)13.5.3角平分線內(nèi)容角平分線上的點到角兩邊的距離相等符號語言如圖，∵OC是∠AOB的平分線，P為OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴PD=PE補充角的平分線平分已知角

續(xù)表13.5.3角平分線注意角平分線的性質(zhì)定理可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)“距離”是指點到直線的垂線段的長，而不是指任意線段的長13.5.3角平分線歸納總結(jié)利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等時，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”13.5.3角平分線對點典例剖析典例1

如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：M為BC的中點.13.5.3角平分線［答案］

證明：如題圖，作MN⊥AD交AD于點N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴∠C=90°，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M為BC的中點．■考點二

角平分線的判定13.5.3角平分線內(nèi)容角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上符號語言如圖，∵PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，且PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線上補充定義法：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線

續(xù)表13.5.3角平分線注意不可忽視“在角的內(nèi)部”這一條件，因為在角的外部也存在到角的兩邊距離相等的點角平分線的判定定理和性質(zhì)定理是互逆定理三角形的三條角平分線交于一點，這一點到三角形三條邊的距離相等到一個三角形三邊距離相等的點共有4個13.5.3角平分線歸納總結(jié)判定點在角的平分線上：①找出這一點到角兩邊的垂線段；②證明兩條垂線段相等.這一點與角的頂點的連線就是角平分線.13.5.3角平分線對點典例剖析典例2

如圖，在△ABC中，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且∠BDE=∠CDF，BE=CF．求證：AD平分∠BAC.13.5.3角平分線［答案］

證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD，BE=CF,∴△BED≌△CFD，∴DE=DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴點D在∠BAC的平分線上，∴AD平分∠BAC．

13.5.3角平分線例1

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BD=DF．（1）求證：CF=EB；（2）若AB=12，AF=8，求CF的長．13.5.3角平分線［解析］（1）要證CF=EB

需證Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）

需證CD=DEAD平分∠BAC；（2）易證Rt△ACD≌Rt△AED→AC=AE→設(shè)CF=x，列方程→解方程得CF的長.已知BD=DF角平分線的性質(zhì)13.5.3角平分線［答案］

解：（1）證明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于點E，∴DE=DC．在Rt△CDF和Rt△EDB中，DF=DB，DC=DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF=EB；13.5.3角平分線（2）設(shè)CF=BE=x，則AE=AB-BE=12-x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD，CD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，即AF+CF=AE，∴8+x=12-x，解得x=2，即CF=2．13.5.3角平分線解題通法

角平分線的基本模型（OP為∠MON的平分線）：（1）如圖1，過點P向角兩邊作垂線，得△OAP≌△OBP（H.L.或A.A.S.）；13.5.3角平分線（2）如圖2，截取OA=OB，得△OAP≌△OBP（S.A.S.）；（3）如圖3，過點P作角平分線的垂線，得△OAP≌△OBP（A.S.A.）.

13.5.3角平分線例2

如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P．（1）延長BA至點E，連接AP，求證：AP平分∠CAE；（2）若∠BPC=40°，求∠CAP的度數(shù)．13.5.3角平分線［答案］

解：（1）證明：如圖，過點P作PN⊥BD于點N，PM⊥BE于點M，PF⊥AC于點F.∵CP平分∠ACD，PF⊥AC，PN⊥BD，∴PF=PN，∵BP平分∠ABC，PM⊥BE，PN⊥BD，∴PM=PN，∴PM=PF，又∵PM⊥BE，PF⊥AC，∴AP平分∠CAE；13.5.3角平分線

13.5.3角平分線

13.5.3角平分線變式衍生

如圖，點B，C分別在∠A的兩邊上，D是∠A內(nèi)一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且AB=AC，DE=DF．求證：BD=CD．13.5.3角平分線證明：如圖，連接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴AD是∠EAF的平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（S.A.S.），∴BD=CD．13.5.3角平分線解題通法

角的平分線的性質(zhì)與判定的關(guān)系：點在角的平分線上

（角的內(nèi)部的）點到角兩邊的距離相等.角的平分線的性質(zhì)是證明兩條線段相等的依據(jù)，角的平分線的判定是證明兩角相等的依據(jù).■忽略角平分線中的“垂直”條件13.5.3角平分線例

如圖，BM平分∠ABC，D是BM上一點，過點D作DE⊥AB，DF⊥BC，分別交AB于點E，交BC于點F，P是BM上的另一點，連接PE，PF.求證：PE=PF．13.5.3角平分線［答案］

證明：∵BM平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴ED=FD，∠EBD=∠FBD，∠BED=∠BFD=90°，∵∠EDP=∠EBD+∠BED，∠FDP=∠FBD+∠BFD，∴∠EDP=∠FDP，在△EDP和△FDP中，ED=FD，∠EDP=∠FDP，DP=DP，∴△EDP≌△FDP（SAS），∴PE=PF．13.5.3角平分線［易錯］

∵BM平分∠ABC，P是BM上的一點，∴PE=PF．［錯因］

誤把PE，PF當(dāng)成點P到∠ABC兩邊的距離.13.5.3角平分線易錯警示

誤把角平分線上的點與角兩邊上任意點之間的線段長當(dāng)成點到直線的距離，距離指的是垂線段的長度，而非任意線段長度.領(lǐng)悟提能

利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等時，若涉及的線段不是角平分線上的點到角的兩邊的垂線段，則可利用三角形全等求解.■方法：作垂線段解決與角平分線相關(guān)的面積問題三角形中的一條內(nèi)角平分線將三角形分成兩個以這個角兩邊為底，高相等的小三角形，過角平分線與一邊相交的點向另兩邊作垂線，所作垂線段就是兩個小三角形的高，結(jié)合三角形面積公式即可解題.13.5.3角平分線例