2023-2024學(xué)年北京西城區(qū)十三中高一（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京十三中高一（上）期中數(shù)學(xué)2023年月本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1頁至第2頁；第Ⅱ卷第3頁至第5頁，答題紙第1頁至第3頁．共150分，考試時(shí)間分鐘．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙規(guī)定處書寫班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)．考試結(jié)束后，將本試卷的答題紙按頁碼順序一并交回．一、選擇題=R，A=x|x，B=x|x，則A（）1.設(shè)UA.x|0xx|0x1B.D.x|x1x|x0C.2.若ab，則一定有（）1a1bB.|a|>|b|C.C.D.a3b3A.a2b23()=?x2零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（3.函數(shù)fx）x(??)()()1,2(2,+)1A.B.D.D.14.已知x0，則x+的最小值為（）2x22A.2B.2C.1()上單調(diào)遞增的是（）5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間()=+()=?xfxfxx2A.B.D.()=C.fx()=?fxx2+1x1x?11，q:2x?13，則p是q______條件6.命題p:A.充分不必要C.充要B.必要不充分D.既不充分也不必要7.已知命題“xR，使得ax2?2ax+30”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（B.0<a<3）A.0a3C.0a3D.0a3，若A?B，則對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)C.3對(duì)B=?，A=xx?a=1(a,b)有8.設(shè)集合A.1對(duì)B.2對(duì)D.4對(duì)9.設(shè)常數(shù)aR，集合A={x|（x﹣﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，則a的取值范圍為（）A.（﹣∞，）B.（﹣∞2]C.（2+∞）D.[2，+∞）10.如圖為某商鋪A、B兩種商品在2022年前3個(gè)月的銷售情況統(tǒng)計(jì)圖，已知A商品賣出一件盈利20A1A2A、的縱坐標(biāo)分別表示A商品20223個(gè)月的銷售量，3元，B商品賣出一件盈利元.圖中點(diǎn)、B1BB、的縱坐標(biāo)分別表示B商品2022年前3個(gè)月的銷售量.根據(jù)圖中信息，下列四個(gè)結(jié)論中正確3點(diǎn)、2的是（）①2月A、B兩種商品的總銷售量最多；②3月A、B兩種商品的總銷售量最多；③1月A、B兩種商品的總利潤(rùn)最多；④2月A、B兩種商品的總利潤(rùn)最多.A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空題函數(shù)f(x)=1?2x的定義域是______．x+y=012.方程組的解集是______．x2+x=2f(x+=x2，則f_______．=13.已知?5x+b0的解集為x?3x214.已知不等式ax___________．2，則不等式bx25x+a0的解集為?()在()上是減函數(shù)，若(?)=，則()的解集為fx,0f20fx015.已知奇函數(shù)______．x2?+16.設(shè)關(guān)于的不等式ax2xa0的解集為S.a（1）若S中有且只有一個(gè)元素，則的值為___________；0S?1Sa（2）若且，則的取值范圍是___________.x2+x,?2xc,()=fx若c，則()的值域是()的值域是fx____{fx17.已知函數(shù)1,cx3.x1?,2c，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．418.某廠商為推銷自己品牌的可樂，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個(gè)該品牌的可樂空罐換1罐可樂.對(duì)于此促銷活動(dòng)，有以下三個(gè)說法：①如果購買罐可樂，那么實(shí)際最多可以飲13罐可樂;②欲飲用100罐可樂，至少需要購買罐可樂：n?12f(n)=n+.（其中x③如果購買n(nN*)罐可樂，那么實(shí)際最多可飲用可樂的罐數(shù)表示不大于x的最大整數(shù)）則所有正確說法的序號(hào)是__________.三、解答題19.已知a，bR，試比較a3?b3與ab2?a2b的大小，并證明．x20.已知函數(shù)f(x)=?1.x2（Ⅰ）證明：f(x)是奇函數(shù)；（Ⅱ）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(?1)上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.定義在區(qū)間上，其中?00,2fxax2()=+xa21.已知函數(shù)=?.（1）若a()的最小值；fx1，求（2）求()的最大值.fxfxax22ax?3．()=?22.已知函數(shù)（1）若a=1，求不等式f(x)0的解集；（2）己知a0，且f(x)+)上恒成立，求的取值范圍；0在a（3）若關(guān)于x的方程f(x)=0x+x，求1有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x，x222的取值范圍．1223.經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1噸虧損300元經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130噸該農(nóng)產(chǎn)品.以x（單位：噸，100x150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y（單位：元）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)銷售該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).（I）將y表示為x的函數(shù)：（II）求出下一個(gè)銷售季度利潤(rùn)y不少于57000元時(shí)，市場(chǎng)需求量x的范圍.()且元素均為正整數(shù)，若能夠?qū)⒓螾分成元素個(gè)數(shù)相同且兩兩沒nnN24.已知集合P的元素個(gè)數(shù)為有公共元素的三個(gè)集合A、B、C，即P=ABC，AB=，AC=B，，其中A=a,a,B=b,b,C=c,c,,ccca+b=c，，kkk，，，且滿足12121212k=1、2、（1）若集合由；n，則稱集合P為“完美集合”.、P=2,3，Q=2,3,4,5,6，判斷集合P和集合Q是否為“完美集合”？并說明理P=x,3,4,5,6為“完美集合”，求正整數(shù)的值；x（2）已知集合=x1xn,nNP，證明：集合P為“完美集合”的一個(gè)必要條件是=n4k或（3）設(shè)集合()=+Nn4k1k.參考答案一、選擇題1.【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合間的運(yùn)算求解.B=x|x1，則x，【詳解】因?yàn)锳|x1所以．故選：D.2.【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)或反例逐項(xiàng)檢驗(yàn)后可得正確的選項(xiàng).11a=b=?1，則，|a|b|，a=b2，故A、B、C均錯(cuò)誤，【詳解】取2ab由不等式的性質(zhì)可得a3b3，故D正確.故選：D.3.【答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間即可.【詳解】由解析式知：()在(?,0)上恒負(fù)，故不存在零點(diǎn)，在(0,+)上遞減，fx335()=?=220f2，()=?=?22f10而，122()內(nèi)趨向于時(shí)，()趨向正無窮，而趨向于正無窮時(shí)，()趨向負(fù)無窮xfxxfx0.綜上，零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是().1,2故選：C4.【答案】B【分析】利用基本不等式即可求解.112x0x+2x=2【詳解】因?yàn)閤0，，由基本不等式，，2x2x12x==當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)，等號(hào)成立．2x2故選:B.5.【答案】A【分析】由偶函數(shù)、增函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，f(x)=x+2的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，(?)=?+=+=()，所以()為偶函數(shù)，fxx2x2fxfxfxx2fx當(dāng)x0時(shí)，()=+，所以()在區(qū)間()上單調(diào)遞增，故正確；A對(duì)于B，()=?x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，fx(?x)=()，所以()不是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；3xffxfxB()=fxxx0，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于C，x的定義域?yàn)樗?)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；fxfx=?x+1的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于D，()2(?x)=?x2+=()，所以()為偶函數(shù)，f1fxfx又()在區(qū)間()上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤.fxD故選：A.6.【答案】A【分析】解分式不等式和絕對(duì)值不等式，進(jìn)而求出p是q的充分不必要條件.1x?11x?12?xx?11?100，解得1x2，【詳解】2x?13?32x?13，解得1x2，，即因?yàn)?x2?1x2，但?1x21x2，故p是q的充分不必要條件.故選：A7.【答案】D【分析】由題設(shè)xR，使得ax2?2ax+30為真，結(jié)合一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立列不等式組求參數(shù)范圍，注意討論a=0的情況.【詳解】由題設(shè)，xR，使得axa02?2ax+30為真，0a3.所以Δ=4a2?12a0又a=0時(shí)ax2?2ax+3=30恒成立，綜上，0a3.故選：D8.【答案】D【分析】先解出AA={x||x?a=【詳解】解：因?yàn)榧?，A=a?1a+，，所以因?yàn)锽=3}AB，，，，所以a11，或?=a?1=?3，或a?1=b，①當(dāng)a?1=1時(shí)，即a=2A=，，，此時(shí)可知B=3，，a=2，b=3，成立，即；②當(dāng)a?1=?3時(shí)，即a=?2A=3，，，此時(shí)可知B=3，，，成立，即a=?2，b1；1b時(shí)，則?=a+1=1或?3:③當(dāng)a當(dāng)a+1=1時(shí)，即a=0，A=?1，，此時(shí)可知B=3，，，成立，即a=0，b；當(dāng)a+1=?3時(shí)，即a=4A=5?，此時(shí)可知B=3，，，，，成立，即a=4，b=?5；綜上所述：a故選：D．=2，b=3，或a=?2，b，或a=0，b，或a=4，b=?5，共4對(duì)．【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系，綜合集合元素互異性，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】B【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，故選B.成立，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)a恒成立，所以的取值范圍為考點(diǎn)：集合的關(guān)系10.【答案】C【分析】對(duì)①②，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的相關(guān)點(diǎn)縱坐標(biāo)高低判斷即可；對(duì)③④，根據(jù)A利潤(rùn)是B的兩倍，根據(jù)賣得更多的商品判斷利潤(rùn)高低即可B3A的縱坐標(biāo)之和顯然最大，故3月A、B兩種商品的總銷售量3【詳解】對(duì)①②，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得，最多；故②正確；，對(duì)③④，因?yàn)锳商品賣出一件盈利20元，B商品賣出一件盈利元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，若用對(duì)應(yīng)的點(diǎn)表示對(duì)20A+10B20A+10BA+1020應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則易得，故③正確211332綜上②③正確故選：C.二、填空題(?,0【答案】【分析】根據(jù)二次根式的意義和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知，1?2021=22x在R上單調(diào)遞增，所以x0，xx0，又函數(shù)y=即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,0?.故答案為：(,0?.12.【答案】{(2),【分析】解方程求方程組的解，進(jìn)而寫出解集.x2+x?2=(x+2)(x?=0，可得x=2或x=1，【詳解】由=2時(shí)，x+y=?2+y=0y=2，即當(dāng)x；當(dāng)x=1時(shí)，x+y=1+y=0，即y=?1；{(2),.所以原方程的解集為故答案為：{(2),13.【答案】4f【分析】應(yīng)用換元法求f(x)的解析式，再求【詳解】令t=x+1，則x=t?1，ft)=t?2，即f(x)=(x?2.即可.∴∴f=?=4.2故答案為：41132?,?14.【答案】【分析】由題意可知，3和2是方程ax2?5x+b=0的兩根，再結(jié)合韋達(dá)定理以及十字相乘法，即可得解．【詳解】解：由題意可知，3和2ax2?5x+b=0的兩根，且0，5ba?3+2=(2=，=?5，b=30，，aa不等式bx?5x+a0為30x25x50，??25(3x+x?0即，13113212解得x或x??,?．即不等式的解集為?,?1132故答案為：．15.【答案】{x?2x0或x【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】由題意知，奇函數(shù)f(x)在(?,0)單調(diào)遞減，f(?2)=0，所以函數(shù)f(x)在(0,+)單調(diào)遞減，且f(2)=0，如圖，由圖可知，故答案為：{x?2x0或x.?f(x)0的解集為{x?2x0或x.16.【答案】①.1②.1a0）由題意，不等式ax2?2x+a0的解集只有一個(gè)元素，利用開口方向和判別式控制，列出不等關(guān)系，即得解；0S?1Saa(??2(?+a0，求解即可2（2）由且，列出不等關(guān)系）由題意，不等式ax2?2x+a0的解集只有一個(gè)元素a=(2)2?4a2=0，解得a=1?1S且故0S（2）由題意，aa(??2(?+a0，解得1a02故故答案為：，1a0141,1.?,+17.【答案】①.【詳解】若c21114x3x2+x?,2,,+f，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，的值域?yàn)??,+1?,2121f(x)=?+=?+x=2且x值域?yàn)?，時(shí)，x2時(shí)，x2x，要使，若44c0+c2?41{c21211()的值域?yàn)?fx，則，得，故答案為,2c2c，實(shí)數(shù)的取值范圍是,1,1.41222c18.【答案】②③.【分析】①10罐可樂有10個(gè)可樂空罐，第一次可換3罐可樂還剩1個(gè)空罐，第二次可換1罐可樂還剩2個(gè)空罐，由此算出最多可飲用的可樂罐數(shù)；②：先分析購買罐可樂的情況，再分析購買罐可樂的情況，由此確定出至少需要購買的可樂罐數(shù)；③：先分析購買1到9罐可樂分別可飲用多少罐可樂以及剩余空罐數(shù)，然后得到規(guī)律，再分奇偶罐數(shù)對(duì)所得到的規(guī)律進(jìn)行整理，由此計(jì)算出()的結(jié)果.fn【詳解】①：購買10罐可樂時(shí)，第一次可換3罐還剩1個(gè)空罐，第二次可換1罐還剩2個(gè)空罐，所以最多可飲用10+3+1=14罐可樂，故錯(cuò)誤；②：購買罐時(shí)，第一次可換罐可樂，第二次可換7罐可樂還剩1個(gè)空罐，第三次可換2罐可樂還剩2個(gè)空罐，第四次可換1罐可樂還剩2個(gè)空罐，所以一共可飲用66+22+7+2+1=98罐；購買罐時(shí)，第一次可換罐可樂還剩1個(gè)空罐，第二次可換7瓶可樂還剩2個(gè)空罐，第三次可換3罐可樂，第四次可換1罐可樂還剩1個(gè)空罐，所以一共可飲用67+22+7+3+1=100罐；所以至少需要購買罐可樂，故正確；③：購買1到9罐可樂分別可飲用可樂罐數(shù)以及剩余空罐數(shù)如下表所示：購買數(shù)飲用數(shù)剩余空罐數(shù)123124571212121214567810111389由表可知如下規(guī)律：（1）當(dāng)購買的可樂罐數(shù)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)剩余空罐數(shù)為1，當(dāng)購買的可樂罐數(shù)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)剩余的空罐數(shù)為2；（2）實(shí)際飲用數(shù)不是3的倍數(shù)；（3）每多買2罐可樂，可多飲用3罐可樂，（4）實(shí)際飲用的可樂罐數(shù)要比購買的可樂罐數(shù)的倍少0.5或1；()，fnn設(shè)購買了罐可樂，實(shí)際可飲用的可樂罐數(shù)為n?1=?*()n2mmN)m?2n=2m?mN*2fn=所以()fn()=，即，即()n?2m?1n=2,mN*n=2m,mN)*2n?12n?2)n+n+n=2m?mN*()=fn，n=2m,mN)*2n?1n?2n?12n?1n?12f(n)=n+,又因?yàn)榭煽醋?，即不大于的最大整?shù)，所以成立，故正確；222故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題時(shí)，一方面需要通過具體購買的可樂罐數(shù)去分析實(shí)際飲用的可樂罐數(shù)，另一方面需要對(duì)實(shí)際的購買情況進(jìn)行歸納，由此得到購買的可樂罐數(shù)與實(shí)際飲用的可樂罐數(shù)的關(guān)系，從而解決問題.三、解答題19.【答案】答案及證明見解析【分析】利用作差法比較代數(shù)式的大小，注意分類討論.【詳解】當(dāng)ab時(shí)a3?32?2ab時(shí)?bab?a，證明如下：babab；當(dāng)a3322ba3?b?(ab?ab)=a3223?b3?ab2+a2b=a2(a+b)?b2(a+b)=(a2?b)(a+b)=(a?b)(a+b)2，2當(dāng)ab時(shí)，a?b0，當(dāng)ab時(shí)，a?b0，(a+b)(a+b)220，故a0，故a33?b?b33ab22?a?a22b；abb；x20.f(x)=(?)上是減函數(shù)，證明見解析.?1在區(qū)間x2f(?x)=?f(x)，證明f(x)為奇函數(shù)；（Ⅱ）按照①取值，②作差，③變形，④判號(hào)，⑤下結(jié)論，這5個(gè)步驟證明.，D=xx1f(x)的定義域?yàn)?x(?x)f(?x)==?f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).對(duì)于任意xD，因?yàn)??1xf(x)=(?)上是減函數(shù).（Ⅱ）函數(shù)?1在區(qū)間x2證明：在(?1)上任取x，x，且xx，2121(1+xx)(212?)121()?()=?=fxfx則.122?2?(??)x1x112x121221由1121，得1+xx0x?x0，，x2?10，210，2?12211fx?fx0所以()()f1()()f2，即.12xf(x)=(?)上是減函數(shù).所以函數(shù)?1在區(qū)間x221.1）22）詳見解析?fx=?x+x，首先判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，再判斷函數(shù)的最小值；）()2（2）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x，單調(diào)遞增求函數(shù)的最大值，當(dāng)2a0時(shí)，分情況討論函數(shù)的對(duì)稱軸和定義域的關(guān)系，求函數(shù)的最大值.12214f(x)=?x2+x=?x?+）當(dāng)a=?1時(shí)，.1212所以()在區(qū)間()單調(diào)遞減fxfx,2上單調(diào)遞增，在上.f0=0f2因?yàn)?)，()=?，2所以()的最小值為2.fx?（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x.所以()在區(qū)間0,2上單調(diào)遞增，fx所以()的最大值為()=f22.fx1當(dāng)2a0時(shí)，函數(shù)f(x)=ax2+xx=?圖象的對(duì)稱軸方程是.2a1112a10?22a?f(x)的最大值為時(shí)，f?=?②當(dāng)③當(dāng)，即，2a44a1?a0f(x)2在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，4所以()的最大值為()=+f24a2.fx112a12a?f(x)f?=?綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為；44a1?a0f(x)的最大值為4a+2.當(dāng)時(shí)，4【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)求最值，意在考查分類討論的思想和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.22.1）{xx1或x+)（2）（3）(4)）由題意得x2?2x?30，求解即可得出答案；?=??（2）函數(shù)f(x)ax22ax3a(x2=??a3(a0)，可得二次函數(shù)f(x)圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為x=1，題意轉(zhuǎn)化為f(x)min≥0，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案；（3）利用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理，即可得出答案．【小問1當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x?2x?3，2f(x)0，即x2x3，1或?2x?30，解得x?∴不等式的解集為{xx1或x；【小問2f(x)=ax2?2ax?3=a(x?2?a?3(a0)，x+)則二次函數(shù)f(x)圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為x=1，∴f(x)在+)上單調(diào)遞增，f(x)=f=a?3，；f(x)0在+)f(x)min≥0，上恒成立，轉(zhuǎn)化為+)∴a30，解得?a1a，故實(shí)數(shù)的取值范圍為【小問3f(x)=0關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x,x，12∵f(x)=ax?2ax?3，120，+xx0，212Δ=4a+12a02∴a0且x+x=20a?3，解得，123=?xx012a612+22=(x+x)2?2xx=4+，1212a6g(a)=4+a?3令（a(?,?在上單調(diào)遞減，6(?0)g(a)(2,4)，，ax21+x22(2,4)的取值范圍為．故800x?39000,100x130y=II）.23.I）65000,130x150【分析】（I）分情況考慮：100x130,130x150yy，分別求解出每一種情況下的表示，由此可得到關(guān)于x的分段函數(shù)；x（II）根據(jù)條件分段列出不等式，求解出每一個(gè)不等式的解集，由此求解出市場(chǎng)需求量的范圍.I）當(dāng)100(?)噸，x130時(shí)，此時(shí)130x噸的該農(nóng)產(chǎn)品售出噸，未售出130xy=500x?300130?x()，即y=800x?39000；所以=y=，即，當(dāng)130x150時(shí)，此時(shí)130噸的該農(nóng)產(chǎn)品全部售出，所以y500130800x?39000,100x130y=