2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)行知中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)行知中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共12小題；1-6題每題4分，7-12題每題5分，滿分54分）.1．（4分）若，則．2．（4分）把化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式為．3．（4分）語句“或”的否定形式是．4．（4分）化簡．5．（4分）若全集，2，3，4，5，6，7，8，9，，，5，，，9，，則．6．（4分）若一元二次方程兩實(shí)數(shù)根為，，則．7．（5分）若“”是“”的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是為．8．（5分）若關(guān)于的不等式解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．9．（5分）設(shè)，則可用表示為．10．（5分）若集合或，，且，，則的值為．11．（5分）行知中學(xué)高一某班學(xué)生參加物理和數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)班的選拔，已知該班學(xué)生參加物理競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是該班全體人數(shù)的八分之三；參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)比參加物理競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)多3人；兩個(gè)科目都參加選拔的人數(shù)比兩個(gè)科目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7人；則該班參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是．12．（5分）若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．二、選擇題（每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題5分共20分）13．（5分）下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是A． B． C． D．14．（5分）下列不等式中正確的是A．若且，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則15．（5分）下列運(yùn)用平均值不等式求最小值結(jié)果正確的是A．若，則由得的最小值是0 B．若則由得的最小值為2 C．若且，則由得的最小值為2 D．設(shè)，則由得最小值是216．（5分）用（A）表非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則A．4 B．3 C．2 D．9三、解答題（需要寫出必要的解題步驟，僅有結(jié)果不得分，共76分，）17．（14分）解下列不等式：（1）；（2）．18．（14分）已知關(guān)于的一元二次方程，（1）若，求證：；（2）若，，時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（14分）已知某市最低工資標(biāo)準(zhǔn)為每月2590元，為了解決該市房價(jià)過高的問題，政府計(jì)劃對低收入的本市戶籍居民購買第一套住房的，每月提供一定金額的貸款補(bǔ)貼：補(bǔ)貼規(guī)則：個(gè)人月收入不高于6000元的，對貸款進(jìn)行補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)為：貸款月還款額，貸款月還款額不得高于8000元，貸款月還款額高于8000元的，只對8000元部分進(jìn)行補(bǔ)貼，高于8000元部分不予補(bǔ)貼．（1）若某人工資為4000元，貸款月還款額為5000元，則他每月獲得的貸款補(bǔ)貼是多少元？（2）對于月工資收入不高于6000元的貸款買房的居民中，若貸款月還款額均為5000元，且約定；實(shí)際月收入月工資月貸款補(bǔ)貼月還貸款，則貸款買房的居民中實(shí)際月收入最低為多少元？（結(jié)果均保留整數(shù)位，購房人均符合貸款條件，均不考慮扣稅問題）20．（16分）已知自變量為的函數(shù)，（1）若且，則函數(shù)圖像可由冪函數(shù)_____（寫解析式）先沿軸方向_____平移_____個(gè)單位，再沿軸方向向上平移_____個(gè)單位得到；（2）當(dāng)且時(shí)不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）吉且關(guān)于的不等式解集是單元素集、試寫出函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間，并說明單調(diào)性（不需要證明單調(diào)性）．21．（18分）對于任意有限集，，定義集合，，表示的元素個(gè)數(shù)．已知集合，為實(shí)數(shù)集的非空有限子集，設(shè)集合，，．（1）若，2，，，，求集合和；（2）已知為有限集，若，證明：．（3）若，求的值．

參考答案一、填空題（共12題；1-6題每題4分，7-12題每題5分，滿分54分）1．（4分）若，則2．【答案】2．解：若，則．故答案為：2．2．（4分）把化成有理數(shù)指數(shù)冪的形式為．【答案】．解：．故答案為：．3．（4分）語句“或”的否定形式是．【答案】．解：“或”的否定形式為：．故答案為：．4．（4分）化簡1．【答案】1．解：．故答案為：1．5．（4分）若全集，2，3，4，5，6，7，8，9，，，5，，，9，，則，2，4，．【答案】，2，4，．解：，5，，，9，，，5，7，8，9，，，2，3，4，5，6，7，8，9，，，2，4，．故答案為：，2，4，．6．（4分）若一元二次方程兩實(shí)數(shù)根為，，則．【答案】．解：由題意得，，所以．故答案為：．7．（5分）若“”是“”的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是為，．【答案】，．解：是的必要非充分條件，，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍是為，，故答案為：，．8．（5分）若關(guān)于的不等式解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】．解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式解集為，則1為方程的根，且，則，所以不等式化簡為：，解得，所以不等式的解集為，故答案為：．9．（5分）設(shè)，則可用表示為．【答案】．解：因?yàn)椋瑒t．故答案為：．10．（5分）若集合或，，且，，則的值為2．【答案】2．解：集合或，，且，，，，．故答案為：2．11．（5分）行知中學(xué)高一某班學(xué)生參加物理和數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)班的選拔，已知該班學(xué)生參加物理競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是該班全體人數(shù)的八分之三；參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)比參加物理競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)多3人；兩個(gè)科目都參加選拔的人數(shù)比兩個(gè)科目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7人；則該班參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是18．【答案】18．解：記該班全體同學(xué)形成集合，該班學(xué)生人數(shù)為，參加物理競賽輔導(dǎo)選拔的人形成集合，則（A），參加數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)選拔的人形成集合，則（B），兩個(gè)科目都參加選拔的人數(shù)為，（A）（B），兩個(gè)科目都不參加的學(xué)生人數(shù)為，依題意，，解得，則（B）．故答案為：18．12．（5分）若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【答案】，．解：當(dāng)時(shí)，不等式對恒成立，則；當(dāng)時(shí)，不等式，令，則有，依題意，不等式對恒成立，令，則，又，因此，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：，．二、選擇題（每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題5分共20分）13．（5分）下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】解：指數(shù)函數(shù)是形如且的函數(shù)，對于，系數(shù)不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)；對于，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；對于，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；對于，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以是指數(shù)函數(shù)；故選：．14．（5分）下列不等式中正確的是A．若且，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】解：，，，即，故選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，但不成立，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．15．（5分）下列運(yùn)用平均值不等式求最小值結(jié)果正確的是A．若，則由得的最小值是0 B．若則由得的最小值為2 C．若且，則由得的最小值為2 D．設(shè)，則由得最小值是2【答案】解：．的最小值為1，錯(cuò)誤；，的最小值為，錯(cuò)誤；．時(shí)，，得不出的最小值為2；．，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的最小值是2，正確．故選：．16．（5分）用（A）表非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則A．4 B．3 C．2 D．9【答案】解：由于，，且，則（B）或2，顯然，則，故（B），由于0不是的根，則有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故△，從而，故．故選：．三、解答題（需要寫出必要的解題步驟，僅有結(jié)果不得分，共76分，）17．（14分）解下列不等式：（1）；（2）．【答案】（1），，．（2）．解：（1）原不等式可化為，即，，解得或，即不等式的解集為，，．（2）由得，，解得，即不等式的解集為．18．（14分）已知關(guān)于的一元二次方程，（1）若，求證：；（2）若，，時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明過程如上解析；（2）．解：（1）證明：，因?yàn)闀r(shí)，，，，所以，即；（2）方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得，即實(shí)數(shù)的范圍為．19．（14分）已知某市最低工資標(biāo)準(zhǔn)為每月2590元，為了解決該市房價(jià)過高的問題，政府計(jì)劃對低收入的本市戶籍居民購買第一套住房的，每月提供一定金額的貸款補(bǔ)貼：補(bǔ)貼規(guī)則：個(gè)人月收入不高于6000元的，對貸款進(jìn)行補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)為：貸款月還款額，貸款月還款額不得高于8000元，貸款月還款額高于8000元的，只對8000元部分進(jìn)行補(bǔ)貼，高于8000元部分不予補(bǔ)貼．（1）若某人工資為4000元，貸款月還款額為5000元，則他每月獲得的貸款補(bǔ)貼是多少元？（2）對于月工資收入不高于6000元的貸款買房的居民中，若貸款月還款額均為5000元，且約定；實(shí)際月收入月工資月貸款補(bǔ)貼月還貸款，則貸款買房的居民中實(shí)際月收入最低為多少元？（結(jié)果均保留整數(shù)位，購房人均符合貸款條件，均不考慮扣稅問題）【答案】（1）2500元；（2）實(shí)際月收入最低為1324元．解：（1）由于個(gè)人每月收入不高于6000元的，對貸款進(jìn)行補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)為：貸款月還款額，且貸款月還款額不得高于8000元．若某人工資為4000元，貸款月還款額為5000元，所以他每月獲得的貸款補(bǔ)貼是：（元；（2）設(shè)月工資收入為元，則實(shí)際月收入：，當(dāng)且僅當(dāng)元時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，實(shí)際月收入最低為1324元．20．（16分）已知自變量為的函數(shù)，（1）若且，則函數(shù)圖像可由冪函數(shù)_____（寫解析式）先沿軸方向_____平移_____個(gè)單位，再沿軸方向向上平移_____個(gè)單位得到；（2）當(dāng)且時(shí)不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）吉且關(guān)于的不等式解集是單元素集、試寫出函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間，并說明單調(diào)性（不需要證明單調(diào)性）．【答案】（1），向左，一，一；（2）4；（3）單調(diào)遞增區(qū)間為和．【解答】（1）解：已知自變量為的函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，，是由冪函數(shù)，先沿軸方向向左平移一個(gè)單位，再沿軸方向向上平移一個(gè)單位得到；（2）解：當(dāng)且時(shí)不等式即對恒成立，因?yàn)榍?，所以，所以等價(jià)于對恒成立，即對恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸，且，則只需，解得，所以的最大值為4；（3）解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式解集是單元素集，由，則或，若，則，解得，此時(shí)不等式為，解得，不符合題意，若，即，解得或，則，令，則，解得或，當(dāng)，解得，，解得（舍去），所以，則函數(shù)即為，因?yàn)樵诤蜕蠁握{(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和．21．（18分）對于任意有限集，，定義集合，，表示的元素個(gè)數(shù)．已知集合，為實(shí)數(shù)集的非空有限子集，設(shè)集合，，．（1）若，2，，，，求集合和；（2）已知為有限集，若，證明：．（3）若，求的值．【答案】（1），1，2，3，，