2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)豐鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份） （含解析）

-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)豐鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、選擇題（共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）.1．（4分）已知，則下列等式中，正確的是A． B． C． D．2．（4分）下列各組線段中，能夠組成比例的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，3．（4分）下列各組圖形中，不一定相似的是A．一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形 C．有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)菱形 D．有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形4．（4分）在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，下列條件中，能判定的是A． B． C． D．5．（4分）下列四個(gè)三角形，與圖中的三角形相似的是A． B． C． D．6．（4分）如圖，在△中，，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果恰好經(jīng)過(guò)△的重心，那么的長(zhǎng)為A．1 B． C． D．2二、填空題（共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）.7．（4分）已知三條線段、、，線段，線段，且線段是線段、的比例中項(xiàng)，則線段．8．（4分）兩個(gè)相似三角形的相似比為，周長(zhǎng)之差為，則較大三角形的周長(zhǎng)為．9．（4分）已知點(diǎn)是線段上黃金分割點(diǎn)，且，如果，那么．10．（4分）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，該三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離為．11．（4分）如圖，若，，，，則長(zhǎng)為．12．（4分）如圖，點(diǎn)是平行四邊形邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么．13．（4分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，，則的長(zhǎng)為．14．（4分）如圖，在△中，是斜邊上的高，若，，則．15．（4分）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、在上，點(diǎn)、分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的邊長(zhǎng)為．16．（4分）如圖，在△中，若，且，則的值為．17．（4分）如圖，已知是△的中線，，、相交于點(diǎn)，則．18．（4分）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊AD上的一點(diǎn)（E與A不重合），將線段BE繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使另一個(gè)端點(diǎn)落在DA的延長(zhǎng)線上的F處，并作正方形AFGH，若H是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AH＞BH，則AE：AB的值是．三、解答題（共7題，滿(mǎn)分78分）.19．已知，且，求的值．

20．如圖，在△中，，．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，求．21．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上．在圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的正方形網(wǎng)格中，按要求畫(huà)圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出畫(huà)法．（1）如圖①，．（2）如圖②，在上找一點(diǎn)，使．（3）如圖③，在上找一點(diǎn)，連接、，使．

22．近期《黑神話：悟空》正式在全球上線，不僅迅速吸引了全球游戲愛(ài)好者的目光，同時(shí)也因其對(duì)中國(guó)地理風(fēng)貌和中國(guó)古建筑、塑像、壁畫(huà)等文化寶藏的精細(xì)還原，成為文旅界關(guān)注的對(duì)象．《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個(gè)地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來(lái)新的發(fā)展機(jī)遇，更為山西的文化元素提供了一個(gè)面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區(qū)．某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛虹塔的高度，過(guò)程見(jiàn)下表．主題跟著悟空游山西，測(cè)量“飛虹塔”的大致高度測(cè)量方案及示意圖測(cè)量步驟步驟1：把長(zhǎng)為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點(diǎn)處，塔尖點(diǎn)和標(biāo)桿頂端確定的直線交水平于點(diǎn)，測(cè)得米；步驟2：將標(biāo)桿沿著的方向平移到點(diǎn)處，塔尖點(diǎn)和標(biāo)桿頂端確定的直線交直線于點(diǎn)，測(cè)得米，米；（以上數(shù)據(jù)均為近似值）根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度．

23．如圖，在中，，平分，作交于點(diǎn)，垂足為．作，垂足為．（1）求證：．（2）求證：．

24．在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，且，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使得△與△相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

25．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，點(diǎn)D、E邊BC上（點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)，點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），∠DAE＝∠C，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)AF⊥BC時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；（2）設(shè)CE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；（3）連接CF，如果△CDF∽△ABD，求BF的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）1．（4分）已知，則下列等式中，正確的是A． B． C． D．解：，設(shè)，，．由比例的性質(zhì)得到，故本選項(xiàng)不符合題意；．，故本選項(xiàng)不符合題意；．，故本選項(xiàng)不符合題意；．，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．2．（4分）下列各組線段中，能夠組成比例的是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，解：、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意；、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意；、，故此選項(xiàng)中四條線段成比例，符合題意；、，故此選項(xiàng)中四條線段不成比例，不符合題意，故選：．3．（4分）下列各組圖形中，不一定相似的是A．一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形 C．有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)菱形 D．有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形解：．一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角都是直角，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；．有一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形其他角也相等，菱形四條邊相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，故一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；．有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．4．（4分）在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，下列條件中，能判定的是A． B． C． D．解：．，，故該選項(xiàng)符合題意；．，則，不能判定，故該選項(xiàng)不符合題意；．，則，不能判定，故該選項(xiàng)不符合題意；．，不能判定，故該選項(xiàng)不符合題意，故選：．5．（4分）下列四個(gè)三角形，與圖中的三角形相似的是A． B． C． D．解：通過(guò)勾股定理可得到已經(jīng)圖形的三條邊分別為，2，，所以三邊之比為、通過(guò)勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，1，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；、通過(guò)勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，1，，所以三邊之比為，與已知圖形之比一樣，故兩個(gè)三角形相似，故符合題意；、通過(guò)勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，3，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；、通過(guò)勾股定理可得到圖形的三條邊分別為，2，，所以三邊之比為，與已知圖形之比不一樣，故不符合題意；故選：．6．（4分）如圖，在△中，，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果恰好經(jīng)過(guò)△的重心，那么的長(zhǎng)為A．1 B． C． D．2解：設(shè)△的重心是，連接，延長(zhǎng)交于，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，．故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）7．（4分）已知三條線段、、，線段，線段，且線段是線段、的比例中項(xiàng)，則線段．解：線段是線段、的比例中項(xiàng)，，，，故答案為：．8．（4分）兩個(gè)相似三角形的相似比為，周長(zhǎng)之差為，則較大三角形的周長(zhǎng)為45．解：兩個(gè)相似三角形的相似比為，設(shè)較大三角形的周長(zhǎng)為，則較小三角形的周長(zhǎng)為，依題意，，解得，，故答案為：45．9．（4分）已知點(diǎn)是線段上黃金分割點(diǎn)，且，如果，那么．解：，，，設(shè)，則，解得：或（舍去），故答案為：．10．（4分）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，該三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離為．解：如圖，設(shè)點(diǎn)是等邊△的重心，連接并延長(zhǎng)交于，是等邊△的重心，也是等邊△的外心和內(nèi)心，在三條邊的垂直平分線上，，，△是等邊三角形，，是等邊△的內(nèi)心，平分，，在△中，，，解得，，它的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離為，故答案為：．11．（4分）如圖，若，，，，則長(zhǎng)為2．解：，．，，，，解得．故答案為：2．12．（4分）如圖，點(diǎn)是平行四邊形邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么．解：四邊形為平行四邊形，，，，，，，，△△，，．故答案為：．13．（4分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，，則的長(zhǎng)為．解：，，，，，，，，或（舍去），故答案為：．14．（4分）如圖，在△中，是斜邊上的高，若，，則．解：在△中，，，．，．，△△，，即，解得．故答案為：．15．（4分）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、在上，點(diǎn)、分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的邊長(zhǎng)為．解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，．四邊形是正方形，．．又，．，，，，，解得．故答案為：．16．（4分）如圖，在△中，若，且，則的值為1．解：，，，△△△，，，，，△△△，，，，，故答案為：1．17．（4分）如圖，已知是△的中線，，、相交于點(diǎn)，則．解：過(guò)作交于，是△的中線，，，，△△，，，，，，，，，△△，，，，，，，，故答案為：．18．（4分）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊AD上的一點(diǎn)（E與A不重合），將線段BE繞著它的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使另一個(gè)端點(diǎn)落在DA的延長(zhǎng)線上的F處，并作正方形AFGH，若H是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AH＞BH，則AE：AB的值是．解：如下圖所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BF＝BE，∵AB⊥EF，∴AF＝AE，∵H是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AH＞BH，∴，∵正方形AFGH，∴AE＝AH，∴，故答案為：．三、（本大題共7題，滿(mǎn)分0分）19．已知，且，求的值．解：設(shè)，則，，，，，解得：，，，，．20．如圖，在△中，，．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，求．解：（1），，，△△，，，，則，，；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)作，由（1）得，，，，，，．，，．21．圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上．在圖②、圖③中，只用無(wú)刻度的直尺，在給定的正方形網(wǎng)格中，按要求畫(huà)圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出畫(huà)法．（1）如圖①，．（2）如圖②，在上找一點(diǎn)，使．（3）如圖③，在上找一點(diǎn)，連接、，使．解：（1），，，，，，故答案為：；（2）如圖②，點(diǎn)即為所求；（3）如圖③，點(diǎn)即為所求22．近期《黑神話：悟空》正式在全球上線，不僅迅速吸引了全球游戲愛(ài)好者的目光，同時(shí)也因其對(duì)中國(guó)地理風(fēng)貌和中國(guó)古建筑、塑像、壁畫(huà)等文化寶藏的精細(xì)還原，成為文旅界關(guān)注的對(duì)象．《黑神話：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個(gè)地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來(lái)新的發(fā)展機(jī)遇，更為山西的文化元素提供了一個(gè)面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，這座塔的位置位于山西省洪洞縣廣勝寺景區(qū)．某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛虹塔的高度，過(guò)程見(jiàn)下表．主題跟著悟空游山西，測(cè)量“飛虹塔”的大致高度測(cè)量方案及示意圖測(cè)量步驟步驟1：把長(zhǎng)為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點(diǎn)處，塔尖點(diǎn)和標(biāo)桿頂端確定的直線交水平于點(diǎn)，測(cè)得米；步驟2：將標(biāo)桿沿著的方向平移到點(diǎn)處，塔尖點(diǎn)和標(biāo)桿頂端確定的直線交直線于點(diǎn)，測(cè)得米，米；（以上數(shù)據(jù)均為近似值）根據(jù)表格信息，求飛虹塔的大致高度．解：設(shè)米，米．，△△，，，，，，，△△，，，，，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，答：飛虹塔的高度為47米．23．如圖，在中，，平分，作交于點(diǎn)，垂足為．作，垂足為．（1）求證：．（2）求證：．【解答】證明：（1），，，又，，，即；（2）平分，．，，在和中，，，，，．又，，．，，，，即，．24．在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，且，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使得△與△相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．將代入得：，解得，直線，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，解得，；（2）點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，且，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，記為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)軸，，，，△△，，，，，，；如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，記為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)軸，，，，△△，，，，，，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)或；（3）在直線上存在點(diǎn)，使得△與△相似；理由如下：如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，，，，，，，即，，△與△不相似；如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，△△，，△△，，即，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，．如圖5所示，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸，設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，△△，，，△△，，即，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，，，，綜上所述，在直線上存在點(diǎn)，使得△與△相似；，或，．25．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，點(diǎn)D、E邊BC上（點(diǎn)E在點(diǎn)D右側(cè)，點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合），∠DAE＝∠C，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)AF⊥BC時(shí)，求線段CE的長(zhǎng)；（2）設(shè)CE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；（3）連接CF，如果△CDF∽△ABD，求BF的長(zhǎng)．解：（1）如圖1所示：∵AB＝AC＝4，AF⊥BC，∴，在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴，在Rt△ADE中，∠DAE＝∠C，∴，∴；（2）解：∵BF∥AC，∴∠FBC＝∠C＝30°，∠BFA＝∠CAD，∴△ADC∽△FDB，∴，即，解得，在△FDB和△EDA中，∠FBD＝∠DAE＝30°，∠FDB＝∠ADE，∴∠BFD＝∠AED，∵∠