遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高三上學期10月聯(lián)考數(shù)學試卷

絕密★啟用前遼寧省名校聯(lián)盟2024年高三10月份聯(lián)合考試數(shù)學命題人：遼寧名校聯(lián)盟試題研發(fā)中心審題人：遼寧名校聯(lián)盟試題研發(fā)中心本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知是關(guān)于的方程的一個根，，則（）A.0B.2C.1D.43.已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（）A.5B.4C.3D.24.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.設函數(shù)，則的最小值為（）A.780B.390C.400D.2006.已知，則（）A.B.C.D.7.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志而得名，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，它的具體內(nèi)容是：如圖，已知是內(nèi)的一點，的面積分別為，則.若為的垂心，且，則（）A.B.C.D.8.，用表示中的較小者，記為，設函數(shù)，若，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.B.C.在上為增函數(shù)D.函數(shù)在上有且只有2個零點10.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.已知點是直線上三個不同的點，為直線外一點，且，則B.已知向量，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是C.已知點為三條邊的中線的交點，則D.已知，則在上的投影的坐標為11.設函數(shù)且，則（）A.函數(shù)和的圖像關(guān)于直線對稱B.函數(shù)和的圖像的交點均在直線上C.若，方程的根為，方程的根為，則D.已知，若恒成立，則的取值范圍為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則正數(shù)的取值范圍是__________.13.設函數(shù)，若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為__________.14.，若定義，則中的元素有__________個.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為.（1）求的通項公式；（2）令，記為數(shù)列的前項和，若，求的最小值.16.（15分）已知函數(shù).（1）當時，若，求的極值點和極值?最值點和最值；（2）討論在上的單調(diào)性.17.（15分）已知函數(shù).（1）求方程在上的解集；（2）設函數(shù).（i）證明：在上有且只有一個零點；（ii）在（i）的條件下，記函數(shù)的零點為，證明：18.（17分）已知函數(shù).（1）若在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，且是的一個零點，若在上恰好有6個零點，求的最大值；（3）已知函數(shù)，在第（2）問的條件下，若對任意，存在，使得成立，求的取值范圍.19.（17分）已知函數(shù).（1）若，證明：；（2）記數(shù)列的前項和為.（i）若，證明：.（ii）已知函數(shù)，若，證明：.遼寧名校聯(lián)盟高三10月聯(lián)考參考答案及解析1.C【解析】因為，所以.故選C項.2.D【解析】由題意得，所以.故選D項.3.B【解析】若三點共線，則，所以所以，所以，當且僅當時取等號.故選B項.4.B【解析】若，則，所以，必要性成立；若，則，所以，充分性不成立.故“”是“”的必要不充分條件.故選B項.5.C【解析】因為，當且僅當時取等號；，當且僅當時取等號，當且僅當時取等號；以此類推，直到，當且僅當取等號，所以，當且僅當時取等號.故選C項.6.D【解析】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選D項.7.B【解析】如圖，延長交于點，則，延長交于點，則，且，因為，所以，設，則，所以在中，，在中，，因為，所以，即，故.故選B項.8.A【解析】因為，所以在上為增函數(shù)，所以當時，，所以當1時，成立.同時因為當時，，所以當時，恒成立，即當時，，即.設，則，當且僅當時取等號，所以.故選A項.二?多選題9.ABD【解析】由題意得函數(shù)的最小正周期為，所以成立，A項正確；因為，所以是的最小值，所以直線是圖像的一條對稱軸，所以成立，B項正確；當時，，當時，為減函數(shù)，C項錯誤；由題意知在有兩個不等實根，設，由函數(shù)的圖像，易知與直線有兩個不同的交點，D項正確.故選ABD項.10.ACD【解析】因為，所以，故A項正確；當時，，此時與的夾角為，不是銳角，故B項錯誤；易知C項正確；在上的投影的坐標為，故D項正確.故選ACD.11.AC【解析】易知A項正確.例如：當時，和的圖像有交點和，均不在直線上，故B項錯誤.因為，所以，得，故，設函數(shù)，易知其為增函數(shù)，因為，所以，即成立，故C項正確.當時，為增函數(shù).若，則，與矛盾，舍去，所以，若恒成立，則，即，兩邊取對數(shù)可得，即，利用導數(shù)可求得的最大值為，所以，所以.同理可得等價于，即，即，所以，所以.綜上，的取值范圍為，故D項錯誤.故選AC項.三?填空題12.【解析】因為，所以，則包含0的增區(qū)間為，因為，所以，所以故的取值范圍為.13.【解析】由題知，即對任意恒成立，所以只需時恒成立即可.因為時，，所以由，得，所以，所以，故的取值范圍為14.14【解析】因為，，所以，，共14個元素.四?解答題15.解：（1）由，得，因為，所以，所以，所以，解得，所以.（2）由（1）得，則，所以，顯然在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，所以使成立的的最小值為6.16.解：（1）當，則.當時，令，得或.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增.所以的極大值點為，極小值點為0；極大值為，極小值為.因為，且當時，恒成立，所以的最大值點為1，最小值點為0；最大值為，最小值為0.（2）.若，則，所以在上單調(diào)遞增.若，令，得.若，即，則當時，，所以在上單調(diào)遞增.若，即，則當時，0，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.（1）解：因為，所以，所以或.當時，，則，又，所以或；當時，則，又，所以，所以或，所以或.所以方程在上的解集為.（2）（i）證明：當時，因為，所以，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以在時有唯一零點.當時，，所以，所以在時沒有零點.綜上，在上有且只有一個零點.（ii）證明：由函數(shù)的零點為，得，且，所以，所以，令，因為，所以所以，又所以，所以.設，則在上為增函數(shù)，所以當時，，即，故.18.解：（1）由，得，所以，所以解得.因為，所以解得，因為，所以，所以，故的取值范圍為.（2）因為函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，所以，又是的一個零點，所以，即，所以或，解得或，由，可得，所以，令，則，即或，解得或所以由小到大依次取值，第七個正數(shù)零點是故在上恰好有6個零點，則的最大值為.（3）由（2）知，對任意，存在，使得成立，則.當時，，則，則，當時，，則，則，由，可得解得，故的取值范圍為.19.證明：