數(shù)學(xué)4教學(xué)設(shè)計(jì)：向量的加法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教學(xué)設(shè)計(jì)2．2.1向量的加法作者：陸正海，江蘇省泰州中學(xué)高級(jí)教師、泰州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，本教學(xué)設(shè)計(jì)獲江蘇省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽三等獎(jiǎng)．eq\o(\s\up7（),\s\do5（整體設(shè)計(jì)))設(shè)計(jì)思想數(shù)學(xué)定義也是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的結(jié)果，本節(jié)課設(shè)計(jì)思想是以物理學(xué)中“合位移”“合力"等概念為背景，引導(dǎo)學(xué)生親歷向量加法的建構(gòu)過(guò)程,使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象思維活動(dòng)的基本方法．教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容包括向量加法法則的建構(gòu)，向量加法運(yùn)算律及運(yùn)算，以及向量加法的簡(jiǎn)單應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)分析理解向量加法的意義，會(huì)用三角形法則和平行四邊形法則求作已知兩向量的和;掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會(huì)進(jìn)行向量加法運(yùn)算；通過(guò)體會(huì)、理解向量加法的定義過(guò)程對(duì)學(xué)生進(jìn)行抽象思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力．eq\o（\s\up7()，\s\do5（教學(xué)過(guò)程))1．情景設(shè)置從數(shù)學(xué)的角度看,向量也是量，數(shù)量可以進(jìn)行運(yùn)算，向量也必須建立相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)，才能作為解決實(shí)際問(wèn)題的工具．呈現(xiàn)物理學(xué)中“合位移"和“合力”求法，提出問(wèn)題：已知兩個(gè)向量，我們是否可以類比“合位移”或“合力”求法，“生成”一個(gè)新的向量？探索討論:已知向量a和b，按照求合位移的方式我們可以這樣得到一個(gè)新向量：如圖,作eq\o（OA,\s\up6（→)）＝a,eq\o(AB,\s\up6（→）)＝b,連結(jié)OB得到新向量eq\o(OB，\s\up6（→）)；按照平行四邊形求合力的方式我們又可以這樣得到一個(gè)新向量：如圖，作eq\o(OA,\s\up6（→)）＝a，eq\o(OB,\s\up6（→))＝b，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB,得到新向量eq\o（OC，\s\up6（→)).當(dāng)然，利用向量相等概念分析可知,兩種方式得到的“新向量”是相等的，這是因?yàn)閳D1（2）中的eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\o（OB,\s\up6(→)）＝b,也就說(shuō)明由“平行四邊形”法則得到的eq\o（OC,\s\up6(→）)（見(jiàn)圖1（2))與由“三角形"法則得到的向量eq\o（OB，\s\up6(→))(見(jiàn)圖1(1))是相等的．（1)（2）圖12．向量加法定義我們把由上面的“三角形"法則或“平行四邊形”法則得到的“新向量"定義為兩個(gè)已知向量a與b的和，記作a＋b，求兩向量和的運(yùn)算叫做向量的加法．3．驗(yàn)證向量加法滿足交換律、結(jié)合律利用向量加法定義和法則可以驗(yàn)證以下結(jié)論:a＋0＝0＋a＝a.a＋（－a)＝(－a）＋a＝0。a＋b＝b＋a(加法交換律）（見(jiàn)圖2(1））．(1）（2）圖2(a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（加法結(jié)合律）(見(jiàn)圖2（2)）．思考討論：(1)eq\o（A1A2,\s\up6（→)）＋eq\o（A2A3，\s\up6（→))＋…＋An－1An＋eq\o（AnA1，\s\up6(→））＝？(多個(gè)向量相加法則)（2)｜a＋b|與｜a|±｜b｜的大小關(guān)系．(數(shù)形結(jié)合）4．例題選講(以學(xué)生活動(dòng)為主)例1如圖3，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量:圖3（1)eq\o(OA，\s\up6（→）)＋eq\o（OC，\s\up6(→）);(2）eq\o（BC，\s\up6(→）)＋eq\o(FE，\s\up6(→）)；（3)eq\o(OA,\s\up6(→）)＋eq\o(FE,\s\up6（→）)。解：(1）因?yàn)樗倪呅蜲ABC是以O(shè)A、OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對(duì)角線,所以eq\o（OA,\s\up6（→))＋eq\o（OC，\s\up6(→）)＝eq\o(OB，\s\up6（→)）。(2)因?yàn)閑q\o(BC，\s\up6（→))與eq\o(FE,\s\up6（→））方向相同且長(zhǎng)度相等,所以eq\o（BC,\s\up6(→）)與eq\o(FE,\s\up6(→)）是相等向量，故eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o(FE,\s\up6（→))與eq\o（BC，\s\up6（→))方向相同，長(zhǎng)度為eq\o(BC，\s\up6（→））長(zhǎng)度的2倍,因此，eq\o（BC，\s\up6（→))＋eq\o（FE，\s\up6(→))可用eq\o（AD，\s\up6(→）)表示．所以eq\o(BC,\s\up6（→））＋eq\o(FE，\s\up6(→）)＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(3）因?yàn)閑q\o（OA,\s\up6（→)）與eq\o(FE，\s\up6（→））是一對(duì)相反向量，所以eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝0。例2在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12。5km/h的速度向東流,渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？分析：如圖4，渡船的實(shí)際速度eq\o(AC，\s\up6（→)）、船速eq\o（AD,\s\up6(→））與水速eq\o（AB，\s\up6(→))應(yīng)滿足eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AD,\s\up6(→）)＝eq\o（AC,\s\up6(→)）。圖4解：如圖4，設(shè)eq\o（AB，\s\up6（→））表示水流的速度,eq\o（AD，\s\up6（→））表示渡船的速度，eq\o(AC，\s\up6(→))表示渡船實(shí)際垂直過(guò)江的速度．因?yàn)閑q\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o(AD，\s\up6(→）)＝eq\o（AC，\s\up6(→）），所以四邊形ABCD為平行四邊形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，｜eq\o（DC，\s\up6(→))|＝|eq\o（AB,\s\up6（→))｜＝12.5，|eq\o（AD，\s\up6(→））｜＝25,所以∠CAD＝30°.答：渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)為北偏西30°。例3在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上取兩點(diǎn)E、F,使BE＝DF，用向量方法證明四邊形AECF也是平行四邊形。分析:要證四邊形AECF是平行四邊形，只需證eq\o（AE,\s\up6（→))＝eq\o（FC,\s\up6（→)）。圖5∵eq\o(AE，\s\up6(→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（BE,\s\up6(→))，eq\o(FC，\s\up6(→)）＝eq\o（FD,\s\up6（→））＋eq\o(DC,\s\up6(→）)，又四邊形ABCD是平行四邊形，BE＝DF，∴eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\o(DC,\s\up6(→)），eq\o（BE，\s\up6（→))＝eq\o（FD，\s\up6(→）），∴eq\o(AE,\s\up6(→)）＝eq\o（FC,\s\up6（→))。小結(jié)(學(xué)生回答）：如何用向量方法證明四邊形為平行四邊形？5．練習(xí)與反饋（1）如圖6,已知向量a、b，作出a＋b。（1）（2）圖6（2）已知O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的是(）A。eq\o(AB,\s\up6(→））＋eq\o(CB，\s\up6(→）)＝eq\o（AC,\s\up6（→))B.eq\o(AB，\s\up6（→)）＋eq\o(AD,\s\up6（→）)＝eq\o(AC,\s\up6(→)）C。eq\o（AD，\s\up6（→）)＋eq\o（CD,\s\up6（→)）≠eq\o(BD,\s\up6（→）)D。eq\o（AO,\s\up6(→）)＋eq\o(CO，\s\up6（→))＋eq\o（OB，\s\up6（→）)＋eq\o(OD，\s\up6（→)）≠0（3）在△ABC中，求證：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＋eq\o（AC,\s\up6(→))≠0。(4）一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，先向北偏東30°方向運(yùn)動(dòng)了4cm,到達(dá)點(diǎn)B,再?gòu)狞c(diǎn)B向正西方向運(yùn)動(dòng)了3cm到達(dá)點(diǎn)C，又從點(diǎn)C向西南方向運(yùn)動(dòng)了4cm到達(dá)點(diǎn)D，試畫(huà)出向量eq\o(AB，\s\up6(→）)，eq\o(BC,\s\up6（→)),eq\o(CD,\s\up6(→