數(shù)學(xué)4教學(xué)設(shè)計：向量的減法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教學(xué)設(shè)計2．2。2向量的減法eq\o（\s\up7（)，\s\do5（整體設(shè)計)）教學(xué)分析向量減法運算是加法的逆運算．學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算．因此,類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)），首先引進相反向量的概念，然后引入向量的減法（減去一個向量，等于加上這個向量的相反向量)，通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則，結(jié)合一定數(shù)量的例題，深刻理解向量的減法運算．通過闡述向量的減法運算，可以轉(zhuǎn)化為向量的加法運算，滲透化歸的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生理解事物之間相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辯證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的應(yīng)用意識．三維目標(biāo)1．通過探究活動，使學(xué)生掌握向量減法的概念，理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進行的，掌握相反向量．啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,善于獨立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題．能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量．2．鼓勵學(xué)生對一些數(shù)學(xué)結(jié)論作出猜想,并給出證明，培養(yǎng)學(xué)生敢于獨立思考、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)人文價值觀．重點難點教學(xué)重點：向量的減法運算及其幾何意義．教學(xué)難點:對向量減法定義的理解．課時安排1課時eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過程））導(dǎo)入新課思路1.(問題導(dǎo)入）上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．向量的減法是否也有類似的法則呢？引導(dǎo)學(xué)生進一步探究,由此展開新課．思路2.(直接導(dǎo)入）數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算．本節(jié)課，我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運算：減法;向量的加法運算有三角形法則和平行四邊形法則,那么，向量的減法運算是否也有類似的運算律呢？引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究））向量的減法運算及其幾何意義．?dāng)?shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運算，必須先引進一個相反數(shù)的概念．類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算．請同學(xué)們思考，類比數(shù)的減法運算，我們可以定義向量的減法運算，由上節(jié)知相反向量，即－（－a）＝a.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a＋（－a）＝（－a）＋a＝0。所以，如果a、b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.由此我們得到向量的減法定義，向量的減法是向量加法的逆運算．若b＋x＝a，則向量x叫做a與b的差,記為a－b，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．根據(jù)向量減法的定義和向量加法的三角形法則,我們可以得到向量a－b的作圖方法.如圖1，設(shè)向量eq\o(AB,\s\up6（→）)＝b，eq\o（AC,\s\up6（→)）＝a,則eq\o(AD,\s\up6(→）)＝－b，由向量減法的定義，知eq\o（AE,\s\up6（→)）＝a＋（－b）＝a－b。圖1又b＋eq\o(BC，\s\up6(→））＝a，所以eq\o(BC,\s\up6（→）)＝a－b。進一步，如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o（OA，\s\up6（→）)＝a,eq\o(OB，\s\up6（→））＝b，則eq\o(BA,\s\up6（→)）＝a－b，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．圖2教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，細(xì)心體會：向量的減法按三角形法則，一定要注意向量的方向．即把減向量與被減向量的起點重合,其差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點,即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，應(yīng)充分利用向量加、減法的幾何意義,這也是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．教師再次強調(diào)，差向量的箭頭指向被減向量的終點．即a－b是表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1見課本本節(jié)例1.變式訓(xùn)練1．如圖3（1）,已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.圖3活動：教師讓學(xué)生親自動手操作，引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作，為以后解題打下良好基礎(chǔ);點撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同起點的向量．作法：如圖3(2)，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA，\s\up6(→))＝a，eq\o（OB,\s\up6（→))＝b，eq\o（OC,\s\up6(→）)＝c,eq\o（OD，\s\up6（→))＝d，則eq\o（BA，\s\up6（→）)＝a－b,eq\o(DC,\s\up6（→)）＝c－d.2．在ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是（)A。eq\o(AB，\s\up6(→）)＝eq\o（DC，\s\up6（→）)B.eq\o（AD,\s\up6（→)）＋eq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\o（AC，\s\up6（→））C。eq\o（AB，\s\up6（→))－eq\o(AD,\s\up6（→))＝eq\o（BD，\s\up6（→）)D.eq\o（AD，\s\up6(→））＋eq\o(BC,\s\up6（→））＝0解析:A顯然正確，由平行四邊形法則可知B正確,C中eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\o(BD，\s\up6(→))錯誤，D中eq\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→）)＝eq\o(AD，\s\up6(→)）＋eq\o（DA,\s\up6(→））＝0正確．答案：C例2課本本節(jié)例2.變式訓(xùn)練1．如圖4，ABCD中，eq\o（AB,\s\up6(→）)＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，你能用a、b表示向量eq\o（AC，\s\up6(→））、eq\o(DB，\s\up6(→）)嗎?圖4活動：本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量，這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ)．要多注意這方面的訓(xùn)練，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系．解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道eq\o（AC,\s\up6(→)）＝a＋b，同樣，由向量的減法，知eq\o(DB，\s\up6(→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→))－eq\o（AD,\s\up6（→)）＝a－b.2．已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量eq\o(OD，\s\up6（→）)等于（)A．a(chǎn)＋b＋cB．a(chǎn)－b＋cC．a(chǎn)＋b－cD．a(chǎn)－b－c解析：如圖5，點O到ABCD的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，圖5結(jié)合圖形有eq\o（OD,\s\up6（→）)＝eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA，\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6(→））＝eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o（OC,\s\up6(→）)－eq\o（OB,\s\up6(→）)＝a－b＋c.答案:B3．若eq\o（AC，\s\up6(→）)＝a＋b,eq\o(DB,\s\up6（→））＝a－b。①當(dāng)a、b滿足什么條件時,a＋b與a－b垂直？②當(dāng)a、b滿足什么條件時,｜a＋b|＝｜a－b｜?③當(dāng)a、b滿足什么條件時,a＋b平分a與b所夾的角？④a＋b與a－b可能是相等向量嗎？解：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量eq\o(AC，\s\up6（→))、eq\o(DB，\s\up6（→))恰為平行四邊形的對角線．由平行四邊形法則，得eq\o（AC，\s\up6（→））＝a＋b，eq\o（DB，\s\up6（→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o（AD，\s\up6（→))＝a－b.圖6由此問題就可轉(zhuǎn)換為：①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？（|a｜＝|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？（a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內(nèi)角?(|a|＝|b|)④a＋b與a－b可能是相等向量嗎?（不可能，因為對角線方向不同）點評：靈活的構(gòu)想，獨特巧妙，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn)．由此我們可以想到在解決向量問題時，可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力，教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟。思路2例1判斷題．(1）若非零向量a與b的方向相同或相反，則a＋b的方向必與a、b之一的方向相同．(2)△ABC中，必有eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→))＋eq\o（CA,\s\up6（→）)＝0.（3）若eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o(BC,\s\up6（→）)＋eq\o（CA,\s\up6(→)）＝0，則A、B、C三點是一個三角形的三頂點．（4)｜a＋b｜≥|a－b｜。解：(1)a與b方向相同，則a＋b的方向與a和b方向都相同；若a與b方向相反，則有可能a與b互為相反向量，此時a＋b＝0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥．(2）由向量加法法則得：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o（AC,\s\up6(→））與eq\o(CA，\s\up6(→)）互為相反向量,所以有上述結(jié)論．(3）因為當(dāng)A、B、C三點共線時也有eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o(BC,\s\up6（→））＋eq\o(CA,\s\up6（→））＝0，而此時構(gòu)不成三角形．（4)當(dāng)a與b不共線時,由向量加法的平行四邊形法則可知其大小不定．當(dāng)a、b為非零向量共線時,同向則有|a＋b｜>|a－b|，異向則有|a＋b｜〈｜a－b|；當(dāng)a、b中有零向量時，|a＋b|＝｜a－b|。綜上所述,只有(2)正確．例2若|eq\o(AB,\s\up6（→）)｜＝8,｜eq\o（AC,\s\up6(→）)｜＝5,則｜eq\o(BC，\s\up6(→）)｜的取值范圍是（）A．［3,8］B．(3，8）C．［3,13]D．（3，13)解析：eq\o（BC,\s\up6（→))＝eq\o(AC,\s\up6（→）)－eq\o（AB，\s\up6(→）).（1)當(dāng)eq\o（AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6（→))同向時，｜eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3；（2)當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→）)，eq\o（AC，\s\up6（→））反向時,|eq\o(BC,\s\up6（→）)|＝8＋5＝13；(3）當(dāng)eq\o(AB，\s\up6（→)）,eq\o（AC,\s\up6（→))不共線時，3<|eq\o(BC，\s\up6(→）)｜〈13。綜上,可知3≤|eq\o（BC，\s\up6(→））|≤13。答案：C點評：此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)||a｜－｜b｜|≤｜a＋b|≤｜a|＋|b|求解．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練））課本本節(jié)練習(xí)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：相反向量，向量減法的定義，向量減法的幾何意義，向量差的作圖．2．教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，類比，數(shù)形結(jié)合，幾何作圖,分類討論．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)已知O為△ABC的外心,H為垂心，求證：eq\o(OH,\s\up6（→))＝eq\o（OA，\s\up6(→）)＋eq\o（OB，\s\up6（→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)）.證明：作直徑BD，連結(jié)DA，DC，有eq\o（OB,\s\up6(→))＝－eq\o（OD，\s\up6（→)）,DA⊥AB，DC⊥BC,故CH∥DA，AH∥DC,得四邊形AHCD為平行四邊形，∴有eq\o（AH，\s\up6(→）)＝eq\o（DC,\s\up6(→)）。又∵eq\o(DC,\s\up6(→））＝eq\o（OC，\s\up6（→)）－eq\o（OD，\s\up6(→)）＝eq\o(OC，\s\up6(→))＋eq\o(OB，\s\up6（→))，∴eq\o(OH，\s\up6(→))＝eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\o（AH，\s\up6（→））＝eq\o(OA,\s\up6（→))＋eq\o（DC，\s\up6（→））＝eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\o(OB，\s\up6（→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))。∴結(jié)論成立．eq\o(\s\up7(）,\s\do5（設(shè)計感想)）1．向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形法則和三角形法則進行講解的,兩種作圖方法各有千秋．第一種作法結(jié)合向量減法的定義，第二種作法結(jié)合向量的平行四邊形法則，直接作出從同一點出發(fā)的兩個向量a、b的差,即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，第二種作圖方法比較簡捷．2．鑒于上述情況，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量減法的幾何意義，注意差向量的方向，也就是箭頭的方向不要搞錯了，a－b的箭頭方向要指向a的終點，如果指向b的終點則表示b－a，在幾何證明題目中,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系．eq\o（\s\up7（），\s\do5（備課資料）)一、向量減法法則的理解向量減法的三角形法則的式子內(nèi)容是:兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同(否則無法相減)，這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點的字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點的向量．只要學(xué)生理解法則內(nèi)容,那么解起向量加減法的題來就會更加得心應(yīng)手,尤其遇到向量的式子運算題時，一般不用畫圖就可迅速求解，如下面例題：例1化簡：eq\o(AB,\s\up6（→))－eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\o（BD，\s\up6(→））－eq\o（CD，\s\up6（→))。解：原式＝eq\o(CB,\s\up6(→)）＋eq\o（BD，\s\up6(→)）－eq\o（CD，\s\up6（→）)＝eq\o(CD，\s\up6(→））－eq\o(CD，\s\up6（→）)＝0。例2化簡：eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o（OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6（→)）＋eq\o（CO，\s\up6（→））.解：原式＝(eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o（BO,\s\up6（→))）＋(eq\o(OC，\s\up6(→)）＋eq\o(CO，\s\up6（→）））＝(eq\o（OA，\s\up6(→））－eq\o（OB，\s\up6（→）)）＋0＝eq\o(BA，\s\up6(→）).二、備用習(xí)題1．下列等式中，正確的個數(shù)是()①a＋b＝b＋a②a－b＝b－a③0－a＝－a④－（－a)＝a⑤a＋(－a)＝0A．5B．4C．3