數學4例題與探究：任意角的三角函數

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1已知sinα=t且|t|<1，求角α的余弦值和正切值。思路分析：利用三角函數基本關系式，分類討論求解，即要考慮到α所在象限，以及要求的三角函數值的正負情況.解：∵sinα=t且｜t｜〈1，∴角α可能為四個象限的角和x軸上的軸線角。（1）當α為第一、四象限或x軸正半軸上的角時，有cosα=,tanα==。（2）當α為第二、三象限或x軸負半軸上的角時,有cosα=,tanα==—。綠色通道：若已知正弦、余弦、正切中的某一個三角函數值是用字母表示的，且角所在象限也沒有指定時，這個角α可能在四個象限(也可能是軸線角）,此時，不必按四個象限討論，只需將四個象限角（可能含軸線角)的三角函數值分成兩組討論。變式訓練1（2006重慶高考卷,文13）已知sinα=，≤α≤π，則tanα等于______.思路解析：由sinα=,≤α≤πcosα=,所以tanα=—2.答案：—2變式訓練2sin2α>0且cosα<0，試確定α所在的象限。思路分析:由sin2α>0得出α的范圍，再由cosα〈0得出α的范圍，兩者取交集即可。解：∵sin2α>0，∴2kπ〈2α〈2kπ+π（k∈Z)?！鄈π<α<kπ+（k∈Z）.當k=2n(n∈Z)時，有2nπ〈α〈2nπ+(n∈Z),∴α為第一象限角。當k=2n+1（n∈Z)時，有2nπ+π<α〈2nπ+(n∈Z)，∴α為第三象限角?！唳翞榈谝换虻谌笙藿?。由cosα〈0，知α在第二或第三象限或α終邊在x軸的負半軸上.綜上所述，知α為第三象限角。例2y=的定義域是_____________。思路解析：利用函數y=sinx，y=cosx，y=tanx的定義域及分式函數的定義域即可求解.要使函數有意義必須使tanx有意義且tanx≠0,即（k∈Z）∴函數y=的定義域為｛x|x≠,k∈Z}。答案：｛x|x≠,k∈Z}黑色陷阱：解答本題，往往容易忽視tanx本身有意義這個條件，只考慮到tanx作為分母不能為0.變式訓練若|cosα|=cos（π+α),則角α的集合為_____________.思路解析:由絕對值的意義確定角α所在象限,進而寫出范圍.由已知,得|cosα｜=-cosα，∴α為第二、三象限角或終邊落在y軸上的角.∴2kπ+≤α≤2kπ+（k∈Z）。答案：｛α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z｝例3分別作出和-的正弦線、余弦線和正切線。思路分析:利用單位圓中三角函數線的作法作圖。解:（1）在直角坐標系中作單位圓，如圖1-2—4,以Ox軸為始邊作角，角的終邊與單位圓交于點P,作PM⊥Ox軸,垂足為M，由單位圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線與OP的反向延長線交于T點,則的正弦線為有向線段MP,余弦線為有向線段OM，正切線為有向線段AT。圖1—2—4（2)同理可作出-的正弦線、余弦線和正切線,如圖1-2-5?！恼揖€為有向線段M1P1，余弦線為有向線段O1M1，正切線為有向線段A1T1.圖1-2-5黑色陷阱：容易忽視的正切線的數量為負,即有向線段的方向與y軸負方向相同，所以應反向延長.-的正切線同樣應反向延長。變式訓練集合M=｛x｜sin|x｜=1｝,N=｛x|｜sinx｜=1｝,則M與N之間的關系是(）A。MNB。MNC。M=ND.M∩N=思路解析:采用淘汰法。sin｜x|=1｜x｜=2kπ+（k∈Z）x=±（2kπ+）(k∈Z），｜sinx|=1sinx=±1x=2kπ±（k∈Z),從而淘汰D。又｜sin｜=1,∴∈N,而sin｜|=sin=-1，∴M，從而淘汰B、C。答案:A例4已知tanα=2，求值:（1）=_____________；(2)=______________.思路解析：根據同角的三角函數之間的關系，對所求代數式進行適當變形.(1)∵cosα≠0，分子分母同除cosα，得==-1。(2）∵cos2α≠0,分子分母同除cos2α，得.答案：（1)-1（2）綠色通道:這是一組在已知tanα=m的條件下,求關于sinα、cosα的齊次式值的問題.解這類問題需注意以下幾點:（1)一定是關于sinα、cosα的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數式;（2）因為cosα≠0,所以可用cosnα(n∈N*)除之.這樣可以將所求式化為關于tanα的表達式,整體代入tanα=m的值求解.變式訓練已知sin（α+β)=1,求證：tan(2α+β)+tanβ=0。思路分析：由已知得α+β的取值，注意將α+β變形得到α，代入被證式左邊，然后利用誘導公式進行化簡,直到推得右邊.證明:∵sin(α+β）=1，∴α+β=2kπ+(k∈Z)，∴α=2kπ+-β(k∈Z)。∴tan（2α+β）+tanβ=tan[2(2kπ+-β)+β]+tanβ=tan（4kπ+π—2β+β）+tanβ=tan(4kπ+π—β)+tanβ=tan(π—β)+tanβ=—tanβ+tanβ=0.∴tan（2α+β)+tanβ=0得證.例5已知sinα是方程6x=1—根，那么的值等于（)A?！繠?！繡。D.思路解析：先求出方程6x=1—的根,即為sinα的值,然后對所求式子用誘導公式化簡，最后把sinα的值代入化簡后的式子即可.由6x=1-,解得x=,即sinα=,=-tanα,∵sinα=,∴α應為第一或第二象限的角?！鄑anα=±，-tanα=±。答案：A黑色陷阱:解答此題容易出錯的地方有兩處，一是在解方程6x=1—時,忽視了x的定義域，錯誤地把得到的負值也保留;二是對各誘導公式掌握不熟練，在化簡所求關系式的過程中出錯。變式訓練1已知sin(π-α）-cos（π+α）=（〈α<π),則sinα—cosα等于___________。思路解析:將已知平方，得sinαcosα，然后利用（sinα±cosα)2=1±2sinαcosα求解。易知sin（π-α)—cos（π+α）=sinα+cosα=.兩邊平方,得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=.∵<α<π，∴sinα>0>cosα.故有sinα-cosα==.答案:變式訓練2如圖1—2-6，已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2,0)，C(2,1），D（0,1)。一質點從AB的中點P0出發(fā)，沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3、P4（入射角等于反射角）。設P4的坐標（x4，0）,若1〈x4〈2,則tanθ的范圍是(）圖1—2-6A.(,1)B.（,）C.(,）D。（，）思路解析:可以把tanθ表示為x4的函數,即得到tanθ=f(x4)，再根據1〈x4〈2求解；或得到x4=f(tanθ)，然后根據1〈f(tanθ)〈2解tanθ;也可用淘汰法.設P1(2,y1），P2(x2,1）,P3(0，y3），其中P0（1，0)，根據反射角與入射角相等的關系，得到關系式tanθ=?！鄖1=tanθ，x2=2—,y3=1-x2tanθ=2-3tanθ,x4=—3?！擀取?0,)，x4∈(1,2)，∴1<—3<2.解得<tanθ<。答案：C例6已知cos（-α)=，求cos(+α)-sin2（α-）的值.思路分析：注意到—α++α=π,可以把+α化成π-(-α），α-=—(-α)，利用誘導公式化簡即可.解:cos(+α）=cos［π—（—α）]=—cos(-α）=，sin2(α-）=sin2［-(-α）］=1-cos2(—α）=1-()2=,∴cos（+α)—sin2（α-)=—=.綠色通道:此類題目要靈活運用誘導公式，在做題時要注意觀察角與角之間的關系，例如+α=π—(-α），利用誘導公式把未知三角函數值用已知三角函數表示出來.變式訓練求函數y=lgsin(630°-2x)的最大值。思路分析：將sin（630°-2x)化簡為-cos2x,然后利用對數函數單調性及余弦函數的有界性,求得y=lgsin（630°—2x）的最大值。解：sin（630°—2x）=sin(360°+180°+90°-2x）=sin(180°+90°-2x)=—sin（90°-2x）=—cos2x,∴y=lgsin(630°-2x)=lg（-cos2x).其中—cos2x〉0，∴cos2x〈0。又cos2x≥-1，∴當且僅當cos2x=-1時，ymax=lg1=0。例7若f(sinx）=cos17x,求f（）的值。思路分析:此類題目是誘導公式與函數之間的一種混合運算，在運算的過程中，要理解函數表達式的意義,靈活運用誘導公式.解:f（）=f(sin)=cos=cos（2π+)=cos=cos(π—）=—cos=.綠色通道:此類題目在運算過程中要注意選取恰當的角，在運用誘導公式時，要注意角的合理拆分.解答三角函數問題的時候，除了掌握特殊角的三角函數值，還要能夠把某些數值恰當地轉化成某個特殊角的三角函數的形式，以達到簡化問題的目的。變式訓練設f（x)=asin（πx+α)+bcos(πx+β），其中a、b、α、β都是非零實數，若f(2002）=-1,則f(2003）等于____________.思路解析:用誘導公式尋求f（2002)和f(2003)的關系。f(2003)=asin（2003π+α)+bcos（2003π+β）=asin[π+(2002π+α)］+bcos[π+（2002π+β）］=-asin(2002π+α）-bcos（2002π+β）=—f(2002）=1.答案:1問題探究問題1你能找到三角函數值在各個象限的符號記憶規(guī)律嗎?導思：三角函數的符號是根據三角函數的定義和各象限內的坐標符號導出的,從原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值,根據三角函數的定義可知正弦的符號取決于縱坐標y的符號,余弦的符號取決于橫坐標x的符號,正切當x、y同號時為正，異號時為負.探究：方法一：利用口訣“一全正，二正弦,三正切，四余弦”，也可簡寫為“全，S，T,C”來記憶.上述口訣表示：第一象限全是正值，第二象限正弦（S)是正值，第三象限正切(T）是正值，第四象限余弦(C)是正值。至于正割、余割和余切函數值在各象限的符號,只需記住它們與余弦、正弦、正切在各象限內的符號相同就可以了.方法二：利用圖1-2-7記憶,口訣在圖下方:圖1—2-7問題2誘導公式六:sin(+α）=cosα，cos（+α）=—sinα課本中已經給出了推導方法，你還能有其他的方法推導出這兩個公式嗎？導思:思路一：借助誘導公式五實現(xiàn)正弦函數與余弦函數的相互轉化,再借助公式三判斷出函數值的符號；思路二:借助單位圓,根據三角函數值去找角的終邊，從而得出公式的