數(shù)學(xué)4優(yōu)化訓(xùn)練：兩角和與差的正切

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1.3兩角和與差的正切5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.tan15°=_______________.思路解析：（1）tan15°=tan（45°—30°）=====2-。答案：2-2.若tanα=,則tan(α+）=_______________。思路解析：tan（α+)===3。答案:310分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1.計(jì)算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=______________。思路解析：這道題要先觀察角，分析出20°+40°=60°.然后靈活地對(duì)兩角和的正切公式進(jìn)行變形。tan60°=tan（20°+40°）==，則tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°）=-tan20°tan40°，因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=。答案：2.已知=4+，則的值等于（）A.4+B.4—C.—4—D.-4+思路解析：在正切函數(shù)運(yùn)算中,經(jīng)常需要用到一個(gè)特殊的數(shù)字“1"，因?yàn)閠an=1，運(yùn)算中要能夠把1與tan靈活代換.由于==tan(—α）.可知，tan（-α)=4+。而-α與+α互為余角,則有=tan（—α）=4+。答案:A3.求的值.思路解析:此題著重考查是否能靈活掌握弦與切之間的相互轉(zhuǎn)換原則:化弦（切)為切（弦）,并且要注意到正切三角函數(shù)值里的一個(gè)特殊數(shù)字“1”，即tan45°=1。解：把原式分子、分母同除以cos15°，有===tan（15°—45°)=tan(—30°）=—.志鴻教育樂(lè)園事出有因老師:“你的題為《搶救親人》的作文怎么連一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)也沒(méi)有？”學(xué)生：“那么急的事怎么能停頓?”30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1.已知α為第二象限的角，sinα=，β為第一象限的角,cosβ=,求tan（2α—β）的值.解：∵α為第二象限角,sinα=，∴cosα=—，tanα=—,tan2α=—.又∵β為第一象限角,cosβ=，∴sinβ=，tanβ=?！鄑an（2α-β）===.2。(2005北京)已知tan=2，求:tan(α+）的值;（2）的值。解：(1）∵tan=2，∴tanα===-.所以tan(α+)====—。(2）由（1）,tanα=—，所以===.3。已知銳角三角形ABC中，sin（A+B）=,sin(A—B）=.(1)求證：tanA=2tanB；(2）設(shè)AB=3,求AB邊上的高。思路解析：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和、差的三角函數(shù)值以及應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。（1）證明：∵sin（A+B）=,sin(A-B)=,∴=2.所以tanA=2tanB。（2）解：∵<A+B〈π,sin(A+B)=，∴tan(A+B）=-,即=—.將tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB—1=0.解得tanB=,舍去負(fù)值得tanB=,∴tanA=2tanB=2+。設(shè)AB邊上的高為CD.則AB=AD+DB=+=。由AB=3，得CD=2+。所以AB邊上的高等于2+。4。在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1，則△ABC一定是（）A。等邊三角形B。直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形思路解析:三角形中,常用到內(nèi)角和定理，可以把三個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值通過(guò)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換.由于0＜tanA·tanB＜1,可知tanA＞0，tanB＞0。所以tan（A+B）=＞0.又因?yàn)樵凇鰽BC中，所以A+B是銳角。而tanC=tan［π—(A+B）］=-tan(A+B）＜0，所以，在△ABC中，C是鈍角.因此，△ABC是鈍角三角形。答案:D5。在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的兩個(gè)根,則tanC等于（)A.2B?！?C.4D?！悸方馕觯捍祟}要根據(jù)三角形內(nèi)角和定理把C用角A和B表示出來(lái),C=π—（A+B），這樣就可以利用兩角和與差的正切公式展開(kāi)運(yùn)用，從而來(lái)計(jì)算.由于tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的兩個(gè)根，那么根據(jù)韋達(dá)定理，有tanA+tanB=—，tanA·tanB=—.則tanC=tan［π—（A+B)］=—tan（A+B）=-=-=2。答案:A6。如果α，β，γ都是銳角，并且它們的正切分別為，，,求證：α+β+γ=45°。思路解析:分析題意，要證明α+β+γ=45°，需要證明tan(α+β+γ）=1。先根據(jù)α、β的正切值可以利用兩角和的正切求出α+β的正切值，而α+β+γ又可以看作是兩個(gè)角α+β與γ的和，再運(yùn)用兩角和的正切公式求證即可.但是要注意一定還要確定出α+β+γ這個(gè)和的范圍，才能證得結(jié)果。證明：由于tanα=，tanβ=，可知tan(α+β)===。由題意可知tanγ=,則tan(α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］===1。根據(jù)α、β、γ都是銳角，且0＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1,0＜tanγ=＜1，可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°,0°＜γ＜45°。得0＜α+β+γ＜135°。所以，α+β+γ=45°.7.求證：tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan20°tan40°=1。思路解析：這道題目著重考查兩角和與差的正切變形公式的應(yīng)用.分析題中出現(xiàn)的角可知，30°是特殊角，并且20°+40°=60°。證明:由于tan60°=tan（20°+40°)==，可得tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°）,所以原式左邊=tan20°tan