數(shù)學(xué)備課資料：向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精備課資料一、向量的數(shù)乘運(yùn)算律的證明設(shè)a、b為任意向量,λ、μ為任意實(shí)數(shù),則有（1）λ(μa)=（λμ）a;①（2)（λ+μ）a=λa+μa;②（3）λ(a+b）=λa+λb。③證明：（1)如果λ=0或μ=0或a=0，則①式顯然成立.如果λ≠0,μ≠0,且a≠0，則根據(jù)向量數(shù)乘的定義,有|λ（μa)|=|λ｜｜μa|=|λ｜｜μ｜｜a|,|(λμ）a｜=|λμ｜|a｜=｜λ｜｜μ｜｜a|。所以｜λ（μa）｜=｜（λμ）a｜。如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號，則①式兩邊向量的方向都與a反向。因此，向量λ（μa)與(λμ）a有相等的模和相同的方向，所以這兩個向量相等.（2)如果λ=0或μ=0或a=0,則②顯然成立.如果λ≠0,μ≠0且a≠0，可分如下兩種情況：當(dāng)λ、μ同號時(shí),則λa和μa同向，所以|(λ+μ）a｜=｜λ+μ｜｜a｜=(｜λ|+｜μ｜）｜a｜,｜λa+μa｜=|λa|+｜μa｜=|λ||a|+|μ|｜a｜=（|λ|+｜μ｜)|a｜,即有|（λ+μ）a|=｜λa+μa|.由λ、μ同號，知②式兩邊向量的方向或都與a同向,或都與a反向，即②式兩邊向量的方向相同.綜上所述,②式成立。如果λ、μ異號，當(dāng)λ〉μ時(shí)，②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同；當(dāng)λ〈μ時(shí),②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同。還可證｜(λ+μ)a｜=｜λa+μa｜。因此②式也成立.(3)當(dāng)a=0，b=0中至少有一個成立，或λ=0,λ=1時(shí),③式顯然成立.圖13當(dāng)a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1時(shí),可分如下兩種情況：當(dāng)λ〉0且λ≠1時(shí)如圖13，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O作=a,=b，=λa，=λb,則=a+b，=λa+λb.由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1，|｜=λ｜|。所以｜==λ。所以△AOB∽△A1OB1.所以=λ，∠AOB=∠A1OB1。圖14因此O、B、B1在同一條直線上，｜｜=｜λ｜，與λ的方向也相同.所以λ（a+b)=λa+λb。當(dāng)λ<0時(shí)，由圖14可類似證明λ（a+b）=λa+λb。所以③式也成立.二、備用習(xí)題1.[（2a+8b）—（4a-2b)]等于（）A.2a-bB.2b—aC.b-aD。a2。設(shè)兩非零向量e1、e2不共線,且ke1+e2與e1+ke2共線，則k的值為（）A。1B.—1C.±13。若向量方2x—3(x—2a)=0，則向量x等于（)A。aB?！?aC.6aD.a4。在△ABC=，EF∥BC,EF交AC于F，設(shè)=a，=b,則用a、b表示的形式是=_________.5。在△ABC，M、N、P分別是AB、BC、CA邊上的靠近A、B、C的三等分點(diǎn)，O是△ABC平面上的任意一點(diǎn)，若+=e1—e2，則=________.6.已知△ABC的重心為G,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，=a,=b，=c,求證：=(a+b+c）。7。對判斷向量a=-2e與b=2e是否共線?有如下解法：解：∵a=-2e，b=—2e,∴b=-a.∴a與b共線。請根據(jù)本節(jié)所學(xué)的共線知識給以評析.如果解法有誤，請給出正確解法。參考答案：1。B2.C3.C4.—a+b5。e1—e2.6。連接AG并延長,設(shè)AG交于M?！?b—a,=c—a,=c—b，∴=+=（b—a）+(c-b)=(c+b-2a）?！?=（c+b—2a）.∴=+=a+(c+b-2a）=（a+b+c).7。評析:乍看上述解答，真是簡單明快.然而，仔細(xì)研究題目已知,卻發(fā)現(xiàn)其解答存在問題，這是因?yàn)?，原題已知中，對向量e并無任何限制，那么就應(yīng)允許e=0,而當(dāng)e=0時(shí)，顯然,a=0，b=0，此時(shí)，a不符合定理中的條件,且使b=λa成立的λ值也不唯一(如λ=-1，λ=1，λ=2等均可使b=λa成立)，故不能應(yīng)用定理來判斷它們是否共線.可見,對e=0的情況應(yīng)另法判斷才妥。綜上分析,此題應(yīng)解答如下：解:(1)當(dāng)e=0時(shí)，則a=-2e=0。由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以此時(shí)a與b共線.