2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一《圓錐曲線的方程》測(cè)試卷及答案解析

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一《圓錐曲線的方程》測(cè)試卷

（本卷共19道題；總分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）

姓名：成績(jī):

單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

x2y2

i.橢圓7+T—=i的焦點(diǎn)在x軸上，則它的離心率的取值范圍（）

5a4az+l

11V5V5

A.（0,-）B.[-,1）C.（0,—]D.[——，1）

5555

2.拋物線/=8尤的焦點(diǎn)為用設(shè)A（xi,yi）,B（尤2,”）是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若xi+尤2+4=竽|48|,貝iJ/AFB

的最大值為（）

n3n57r27r

A.—B.—C.—D.—

3463

3.已知橢圓C：—+￡7=1（a>b>0）的離心率為一，過(guò)右焦點(diǎn)廠且斜率為左（Q0）的直線與C相交于A,B

a2b22

—>—>

兩點(diǎn)，若4F=3FB,貝殊=（）

A.1B.V2C.V3D.2

x2

4.若點(diǎn)。和點(diǎn)B（-2,0）分別是雙曲線丁=1缶>0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，

—>—>

貝UOP-FP的取值范圍為（）

77

A.[3—2^3/+8）B.[3+2^/3/+°°）C.[―[，+8）D.+8）

5.將離心率為d的雙曲線C1的實(shí)半軸長(zhǎng)Q和虛半軸長(zhǎng)b（a7b）同時(shí)增加m（m>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率

為02的雙曲線Q,則（）

A.對(duì)任意的“，b,e\>ei

B.當(dāng)〃時(shí)，ei>e2；當(dāng)4Vb時(shí)，e\<ei

C.對(duì)任意的a,b,e\<ei

D.當(dāng)時(shí)，ei<e2；當(dāng)時(shí)，ei>e2

6.已知雙曲線=一%=1（a>0,b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,點(diǎn)尸（2,V3）在雙曲線上，且|P尸1|,百為，

azbz

|尸7切成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為（）

22—y2

A.JC-y2=lB.---=1

23

汽2yN2

7-設(shè)八,放分別是橢圓后+短”46>。）的左、右焦點(diǎn)，若在直線x啖（其中02+廬=心上存在點(diǎn)以

使線段P門的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸2,則橢圓離心率的取值范圍是（）

/V2,V3V3V2

A.(0,—]B.(0,—]C.[—,1)D.[—，1)

2332

y2—>t

8.已知雙曲線C：---=1的左，右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,A,8是雙曲線C上的兩點(diǎn)，且=3&B,cosZAF2B=

,則該雙曲線的離心率為（）

Vioc,匹

A.VToB.——D.V5

22

二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)

的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.下列四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中，為真命題的是（）

222

x7xy,

A.橢圓器+y=1與雙曲線弘一3=1有相同的焦點(diǎn)

B.設(shè)A,8為兩個(gè)定點(diǎn)，上為非零常數(shù)，若|B4|-|PB|=七則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

C.方程7-3尤+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率

D.動(dòng)圓尸過(guò)定點(diǎn)尸（1,0）且與定直線/：x=-l相切，則圓心尸的軌跡方程是y2=4x

（多選）10.已知拋物線C：/=8尤的焦點(diǎn)為「直線/過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C交于M（xi,yi）,N（%2,”）兩點(diǎn)，

\MF\

其中yi>0,且舄=）1,則（）

\NF\2

A.直線/的斜率為-孚

B.XIX2=4

C.\MN\=9

D.△〃（?可（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為6

（多選）11.已知尸1,R是橢圓C：卷+y2=i的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)%）（%>*）在橢圓上，/乃PR的平分

線與x軸交于點(diǎn)加，0）,則機(jī)的可能取值為（）

A.1B.2C.0D.-1

三.填空題（共3小題）

12.已知拋物線y=以的焦點(diǎn)為R過(guò)F且垂直于x軸的直線交拋物線于A、8兩點(diǎn)，則弦A8長(zhǎng)等于.

x2y202

13.已知尸1,尸2是橢圓Q：—+—=1v（a>b>0）與雙曲線Q：/—9=1的公共焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與C1

交于一點(diǎn)尸，^PFiLPFi,則/+必=.

14.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)過(guò)尸且斜率大于。的直線/與C交于A,

B兩點(diǎn)，若taMAMB=2vL則1的斜率為

四.解答題(共5小題)

15.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),直線AM,3M相交于M,且它們的斜率之積為2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)N8,1)的直線/交點(diǎn)M的軌跡于C,。兩點(diǎn)，且N為線段C。的中點(diǎn)，求直線/的方程.

16.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),實(shí)軸長(zhǎng)2g.

(1)求雙曲線的方程

(2)若直線/：y=fcr+/與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且NA08為銳角(其中。為原點(diǎn))，求左的取值

范圍.

17.已知雙曲線C：*，=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)尸(4,0)到漸近線的距離為2?

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)/的直線與雙曲線C的右支交于A,8兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)尸到直線抬，P8的距

離相等？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為R過(guò)尸的直線/交c于A,B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).A0,

3。的延長(zhǎng)線與直線x=-4分別交于P、0兩點(diǎn).

(I)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(II)連接。求△OPQ與的面積比.

19.已知點(diǎn)尸為拋物線C：y1=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的動(dòng)直線/與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，如圖.當(dāng)直

線/與x軸垂直時(shí)，\MN\=4.

(I)求拋物線C的方程；

(II)已知點(diǎn)尸(-1,0),設(shè)直線的斜率為右，直線PN的斜率為上.請(qǐng)判斷依+七是否為定值，若是，

寫出這個(gè)定值，并證明你的結(jié)論；若不是，說(shuō)明理由.

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修一《圓錐曲線的方程》測(cè)試卷

參考答案與試題解析

單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

XV

L橢憶+,0的焦點(diǎn)在x軸上，則它的離心率的取值范圍（）

11V5V5

A.(0,—)B.1，1)C.(0,—]D.[―,1)

55

汽2y21

解:,??橢圓—+——=1的焦點(diǎn)在無(wú)軸上，.\5a>4a2+l.-.-<a<l

5a4a2+i4

,/橢圓的離心率為J"一”?—1=』—彌4（1+3<jl-|x2J4ax'=*（當(dāng)且僅當(dāng)4a=K即a=與寸取等

V5

號(hào)）...橢圓的禺心率的取值范圍為（0,g］故選：C.

2.拋物線b=8x的焦點(diǎn)為足設(shè)A（xi,ji）,B（尤2,”）是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若無(wú)1+尤2+4=竽|48|,貝iJ/AFB

的最大值為（

n3715TT27r

A.-B.C.—D.

3463

解：因?yàn)?1+%2+4=學(xué)|43],\AF\+\BF\^X1+X2+4,所以|4F|+|BF|=學(xué)|48].

在△A冏中，由余弦定理得：CEAFB耦仁產(chǎn)=(網(wǎng)+|嗎潟器『FHM=

期一網(wǎng)2=煙

2\AF\-\BF\_一1~2\AFY\BF\~

又時(shí)+\BF\=竽|網(wǎng)>2j\AF\'\BF\今\AF\■\BF\<||/1B|2.

所以cosNAFB>311-i=_J,/AFB的最大值為空,

2x||ABr23

故選：D.

x2y2V3

3.已知橢圓C：—+—=1(〃>Z?>0)的離心率為一，過(guò)右焦點(diǎn)/且斜率為％(左>0)的直線與。相交于A,B

a2b22

兩點(diǎn)，若第=3薪，貝！H=()

A.1B.V2C.V3D.2

解：A(xi,yi),B(x2,?),

—>—>

U：AF=3FB,：.yi=-3y2,

Ve=設(shè)a=2ac=y/3t,b=t,

.??/+4y2-4P=0①，

設(shè)直線AB方程為％=sy+遍3代入①中消去x,可得(s?+4)y2+2y/3sty—t2=0,

2cstt乙2/3st

?*?71+丫2=一，，_2y2=--

S2+4y2=—kS2+4

解得$2=￡kW

故選：B.

x2

4.若點(diǎn)。和點(diǎn)F(-2,0)分別是雙曲線0-y2=l(a>0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),

則心?訪的取值范圍為()

77

A.[3—2V+oo)B.[3+2V3/+8)C.[—+8)D.00)

解：因?yàn)槭?-2,0)是已知雙曲線的左焦點(diǎn)，

2

所以〃2+1=4,即“2=3,所以雙曲線方程為/%_—y2=1,

設(shè)點(diǎn)PGo,yo),

則有十一丫。？=1("。-解得Vo?=乎—1(久。？V3),

—>—>

因?yàn)槭a(chǎn)=(%o+2,J/Q),OP=(%o，y0)，

->—>第八24%八2

所以。P,FP=Xg(XQ+2)+y02=xo(無(wú)o+2)H——1=―—F2x0—1,

此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為比=-1，

因?yàn)閄o>V3,

所以當(dāng)&=舊時(shí)，OP■而取得最小值：x3+2V3-1=3+2?,

故品?廂的取值范圍是[3+2百，+8),

—>—>—>—>

另解：取OF的中點(diǎn)A,貝!]OP?FP=PO?PF=(PA+AOXPA+AF)

—>—>―?—>—>—>

=P^+AO^F+PA<AO+AF)=|M|2-(1+V3)2-1=3+2V3,

故選：B.

5.將離心率為即的雙曲線Ci的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b(aWb)同時(shí)增加m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率

為62的雙曲線Q,則()

A.對(duì)任意的。，b,ei>ei

B.當(dāng)〃時(shí)，ei>e2;當(dāng)時(shí)，ei〈e2

C.對(duì)任意的a,b,e\<ei

D.當(dāng)時(shí)，ei<e2；當(dāng)〃VZ?時(shí)，e\>ei

222

解：由題意，雙曲線Ci：c=a+bf/=泉

雙曲線C2：*2=3根)2+3書(shū)2,e2=J(a+M)\(b+4,

a+m

2279

?22_b(b+m)_(b—a)(2abm+bmA+am1)

22

12a2(Q+7n)2a(a+m)

「?當(dāng)〃>Z?時(shí)，ei<e2；當(dāng)〃Vb時(shí)，e\>ei,

故選：D.

22

6.已知雙曲線二一77=1（a>0,b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為A,F2,點(diǎn)、P（2,V3）在雙曲線上，且|PFi|,回放|,

azbz

|尸尸2成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為（）

%2y2

A./_y2=]B.———=1

23

x2y2

D.———=1

164

解：設(shè)|PA|=M,|FIF2|=2C,\PF2\=n.

?*.m-n=2a.

V|PFi|,IF1F2I，|/7切成等差數(shù)列，??.4。=加+小

m=a+2c=J(2+c)2+3,n=2c-a=J(2一療+3,

聯(lián)立解得a=l,c=V2,.,.b1=c2-a2=\.

...雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

故選：A.

7.設(shè)為，尸2分別是橢圓三+三=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，若在直線X=2（其中。2+廬=°2）上存在點(diǎn)p,

azbzc

使線段P門的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2,則橢圓離心率的取值范圍是（）

D.盧，1)

2

解：由題意得Fi（-c,0）,Fi（c,0）,

、M

設(shè)點(diǎn)口（工，m），

口2—021

則由中點(diǎn)公式可得線段尸產(chǎn)1的中點(diǎn)K（二一,-m）,

2c2

???線段PFi的斜率與KF2的斜率之積等于-1,

m-0-m-0

，_____

即彳a2-c2=—1,

---------C

C

Ca"a"

/.m2=-(一+(?)?(——3c)NO,

cc

?-242c2-3c4WO,

?，?3e,+2e2-120,e^>或e2a-1(舍去),

V3

T,

又橢圓的離心率0<e<l,

故一<e<l,

3

故選：C.

x2y2-?-?

8.已知雙曲線C：---=1的左，右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,A,B是雙曲線C上的兩點(diǎn)，且4尻=3%B,cosZAF2B=

I，則該雙曲線的離心率為()

V10V5e

A.V10B.-----C.—D.V5

22

解：設(shè)|乃川=3方\F\B\-x,則|AB|=4x,\BF2\—1a+x,|AF2|=2a+3x,

在△43放中，由余弦定理得：

(4x)2=(2a+x)2+(2a+3x)2-2(2a+x)(2a+3x)X

解得x=a,.\AF2—5a,AB=4a,BFi=3a,

.??△A8F2是直角三角形，

2

在Rt△尸i而'2中，/+（3。）2=（2c）,代入得10/=中2,gpe2=

則該雙曲線的離心率為e=乎.

故選：B.

二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)

的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.下列四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中，為真命題的是（）

X2X2V2、

A.橢圓器+y7=1與雙曲線石-可=1有相同的焦點(diǎn)

B.設(shè)A,B為兩個(gè)定點(diǎn)，上為非零常數(shù)，若|%|-|尸2|=總則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

C.方程％2-3尤+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率

D.動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)尸（1,0）且與定直線/：x=-l相切，則圓心P的軌跡方程是V=4x

x2y2

解：對(duì)于A：二一乙=1的焦點(diǎn)在X軸上，

259

所以c=[25+9=后,

所以焦點(diǎn)為（回，0）,（-V34,0）,

久2

因?yàn)楸P+y2=l焦點(diǎn)在x軸上，

所以c=V35-1=V34，

所以焦點(diǎn)為（屬，0）,（-V34.0）,故A正確；

對(duì)于B：根據(jù)雙曲線的定義,^||M|-\PB\\=k<\AB\,

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：方程/-3x+2=0的兩個(gè)根為xi=1或皿=2,

所以2可作為雙曲線的離心率，但1不可作為橢圓的離心率，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：根據(jù)拋物線的定義可得：=1,即p=2,

所以拋物線的方程為儼=4無(wú)，故。正確.

故選：AD.

（多選）10.已知拋物線C：/=8尤的焦點(diǎn)為R直線/過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于M（xi,yi）,N（xi,”）兩點(diǎn),

其中N>°,且\M舄F\=）1,則（）

\NF\2

A.直線/的斜率為一?

B.XIX2=4

C.\MN\=9

D.△MON（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為6

解：因?yàn)閥i>0,

所以點(diǎn)M在第一象限，

顯然直線/不與x軸垂直，設(shè)直線：x=my+2（機(jī)W0）,

聯(lián)立b~Qx,可得y2-8沖-16=0,

由韋達(dá)定理可得：yi+y2—8m,yiy2--16.

作MA,垂直于x軸，則

吧=\MA\_yi_1yi=1

侍|NF|-IWBI——-2-y2-2’

則為=2V2,y2=-4V2.

/2

A選項(xiàng),7i+72=8m=—2V2nm=一彳,

則直線斜率為工=-2迅，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，因資=yl=8%2,

則%1%2=*,等=4,故3正確；

。選項(xiàng)，由拋物線定義，\MN\=\MF]-^-\NF]=XI+X2+4,

又x=my-^-2,

則無(wú)1+上+4=m(yi+y2)+8=一孝?(―2/)+8=9,故C正確；

11

。選項(xiàng)，由圖有義"0'=米。91(1“川+1樣|)="2*(%72)=6加,故。錯(cuò)誤.

21

(多選)11.已知四，R是橢圓C：卷r+y2=i的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)PQ1，%)(%>*)在橢圓上，/為尸放的平分

線與x軸交于點(diǎn)M(加，0),則機(jī)的可能取值為()

A.1B.2C.0D.-1

解：由橢圓方程可得尸1(-V3,0),Fi(V3,0),

1

由yi>2，可得一百<3：1<、8,

則直線PF1的方程為y-0=r-(%+V3)，即%%-(%i+V3)y+75yl=0,

3

直線PF2的方程為y-0=~~r5(%-A/3)，即y6-(%1-V3)y-75yl=0.

-VD

,：M(m,0)在/乃PF2的平分線，

.必M+加1|_______兇1-—超1|①

Jyi2+(Xi+y/3)2Jyi2+(%1-V3)2

222

,.,y1+(x1+V3)=.xj+24X、+4=(乎久i+2),

72

J/+(久i—V3)='xj-2V3X1+4=(好久i—2產(chǎn),

—V3<xi<V3,

???①式轉(zhuǎn)化為第=津'即”=汪「

又一百<nv?，-孥v^v察

結(jié)合選項(xiàng)可得m的可能取值為1,0,-1,

故選：ACD.

三.填空題(共3小題)

12.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為R過(guò)尸且垂直于x軸的直線交拋物線于4、2兩點(diǎn)，則弦48長(zhǎng)等于4

解：由題意可知焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,0),則X4=XB=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限，點(diǎn)B位于第四象限,

代入拋物線方程可得班=2,yB=-2,

故|A8|=2-(-2)=4.

故答案為：4.

工2y22

13.已知尸1,R是橢圓Ci：—+—=1(a>b>0)與雙曲線C2：/-手=1的公共焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與Ci

交于一點(diǎn)尸，若尸為，尸尸2,則/+必=5+4西.

解：雙曲線C2：^=1的焦點(diǎn)(±b，0),：.cr-b2=5.

取C2的一條漸近線y=2x,與橢圓相交于點(diǎn)尸〃)

22

VPFi±PF2,Am,〃滿足匚，且-y+￡=l.

+nz=5azbz

b2=2V5,

c^+b1=5+2.=5+4V5，

故答案為：5+4V5.

14.已知拋物線Cy2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)尸且斜率大于。的直線/與。交于A,

B兩點(diǎn),若tern乙4MB=2或，則/的斜率為1.

解：設(shè)直線/的方程為％=my+芻，A(xi,yi),B(x2fy2),

聯(lián)立直線與拋物線方程f=叼+之化簡(jiǎn)整理可得，y2-2s-p2=0,

ly2=2px

由韋達(dá)定理可得，yi+y2=2mp,y/z=-口?，

k+k=_2L+_2Z_=當(dāng)+當(dāng)=2771yly2+「(力+巧)=2一(—p2)+p(2mp)=Q

AMBM

x1+^-my1+pmy2+p(my1+p)(my2+p)~(my1+p)(my2+p)

???ZAMF=ZBMF,

2tanZ.AMF

貝!JtcmzZMB==2-\/2,

l-tan^Z-AMF

???NAM/為銳角，

tanZ.AMF=或~，

作軸于點(diǎn)孫如圖所示：

根據(jù)拋物線得定義可得1MH^\AF\,

貝iJtanZTiMF=3%]==sinZ-AFH=*，

?.,乙49為銳角，，乙4尸”=手，；.直線/的斜率為1211/4萬(wàn)?/=1.故答案為：1.

4

四.解答題(共5小題)

15.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),直線AM,相交于M,且它們的斜率之積為2.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)N8,1)的直線/交點(diǎn)M的軌跡于C,。兩點(diǎn)，且N為線段C。的中點(diǎn)，求直線/的方程.

解：(1)設(shè)MG,y),：直線AM,相交于V,且它們的斜率之積為2,

―2,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為2/-『=2(%#±1)；

x+1x-1

(2)由(1)得M的軌跡方程為2?-『=2(%w±i),

設(shè)點(diǎn)C(xi,yi),D(X2,”)，則有2%i—尤=2①,2好一%=2②,

①一②得：2(xi-x2)(xi+%2)-(yi-y2)(yi+y2)=0,

1

9：N(-,1)為CD的中點(diǎn)，.,.xi+x2=l,以+竺=2,???直線/的斜率％=1,

1

.?.直線/的方程為y-1=尤一2，即2x-2y+l=0.

16.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),實(shí)軸長(zhǎng)2g.(1)求雙曲線的方程(2)若直線/：>=依+四與雙

曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且NA03為銳角(其中。為原點(diǎn))，求上的取值范圍.

解：(1)?..中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),實(shí)軸長(zhǎng)2百，

比2

/.2a=2b，a=V3/c=2,b=1,.,.雙曲線的方程為可—y2=1；

(2)將〉=丘+近代入雙曲線消去y得(1-3后)x2-6<2kx-9=0.

由直線/與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得卜笠二0,2、5即合是且F<1.①

(4=36(1—fcz)>0§

設(shè)A(x4,ya),B(切，中),則XA+XB=,XAXB=---由NAOB為銳角，得M比5+小中>0,

1-3k1-3k

BPxAXB+yAyB=xAXB+(fcvA+V2)(to+V2)=(Q+l)XAXB+V2k(XA+XB)+2=3有+7X).②

3k—1

V-3^-7<0,1-3lc<Q,fc2>|綜上：kG(-1,一字)U(孚，1)

17.已知雙曲線C：*，=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)尸(4,0)到漸近線的距離為2原

(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線與雙曲線C的右支交于A,8兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P,使得

點(diǎn)F到直線陰，尸8的距離相等？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)由右焦點(diǎn)尸(4,0),所以c=4,故“2+62=02=16,

又因?yàn)殡p曲線C；鳥(niǎo)—馬=1的漸近線為y=土，，即施土3=0,

所以右焦點(diǎn)F(4,0)到漸近線的距離為虧=2必，解得b=2V3,

y/az+bz

第2丫2

所以廬=12,『=16-廿=4,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為——乙=1.

412

(2)假設(shè)存在P(n,0),設(shè)A(xi,yi),B(必》),

由題意知，直線斜率不為0,設(shè)直線AB：x=my+4,

①當(dāng)初=0時(shí)，直線AB：x=4,顯然點(diǎn)尸到直線以，尸8的距離相等；

X=my+4

②當(dāng)加W0時(shí)，聯(lián)立％2y2,消去x,得(39之-1)『+24m,+36=0,

Ef=1

則3m2-IWO,A=(24/77)2-4X36C3m2-1)=144(ZTZ2+1)>0,

且為+%=-烏%7,yiy2=因?yàn)辄c(diǎn)尸到直線B4,PB的距離相等，所以PF是/AP8的角平分線,

3mz—13mz—1

Viy7

貝UkM+kpB=O,即----+-----=0,貝!Jyi(my2+4-〃)+y2(myi+4-n)=0,

xr-nx2-n

+心,,2mx36(4-n)x24m

整理得2myiy2+(4-〃)(yi+y2)=0,故-------------------=0,

OI/LO//L上

即3徵-機(jī)(4-n)=0,因?yàn)闄C(jī)W0,所以〃=1,故存在P(1,0).