2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：集合（八大題型）講義（解析版）

第01講集合

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：元素與集合...........................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:集合間的基本關(guān)系.....................................................................5

知識(shí)點(diǎn)3：集合的基本運(yùn)算.......................................................................5

知識(shí)點(diǎn)4:集合的運(yùn)算性質(zhì).......................................................................6

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：集合的表示：列舉法、描述法............................................................7

題型二：集合元素的三大特征....................................................................8

題型三：元素與集合間的關(guān)系...................................................................10

題型四：集合與集合之間的關(guān)系.................................................................11

題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算.................................................................13

題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合.............................................................15

題型七：容斥原理..............................................................................17

題型八：集合的創(chuàng)新定義運(yùn)算...................................................................20

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................22

05課本典例?高考素材...........................................................24

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................26

易錯(cuò)點(diǎn)：在解含參數(shù)集合問(wèn)題時(shí)忽視空集.........................................................26

答題模板......................................................................................26

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題為主，

2023年I卷第1題，5分考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)是

(1)集合的概念與表示2023年n卷第2題，5分集合間的基本運(yùn)算，主要考查集合的交、并、補(bǔ)

(2)集合的基本關(guān)系2022年I卷n卷第1題，5分運(yùn)算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等

(3)集合的基本運(yùn)算2021年I卷II卷第1題，5分式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式解

2020年I卷II卷第1題，5分法結(jié)合.同時(shí)適當(dāng)關(guān)注集合與充要條件相結(jié)合的解

題方法.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.

2、理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.

3、會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.

4、能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言描述不同的具體問(wèn)題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本

運(yùn)算.

//二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

確定性］

元素

互異性

特性

無(wú)序慢）

屬于

Y元素與集合的關(guān)系

不屬于

元素與集W）Y列舉法）

T集合的表示方法）--（描述法）

不常見(jiàn)數(shù)斷數(shù)學(xué)相

如果集合Z中任意一個(gè)元素都是集合5中的兀素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系,

稱集合N為集合笈的子集，記作ZG5（或574）

如果集合但存在元素x￡氏Fir時(shí),

真子集

我們稱集合力是集合△的真子集，記作力

集合間的基本關(guān)系

集合如果集合力是集合△的子集，且集合△是集合力的子集

我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0

0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

交集/（1笈=住比￡4小￡5}

集合的基本運(yùn)算4UB={X|X￡/,X￡5}

I/n(CM)=0，NU(Ci/)=U，CL(CLA)=A.

集合的運(yùn)算性質(zhì)A(JA=A,A(J0-A,A\JB-B\JA.

A[\A-A,/lf|0=0,A(}B-B^\A.

X./

者占突曲?題理探密

-------------H-H-c

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見(jiàn)的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以

是其他對(duì)象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn).

（3）無(wú)序性：集合與其組成元素的順序無(wú)關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作a箔A）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）列舉法

把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)括起來(lái).

（2）描述法

在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合

中元素所具有的共同特征.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或N.ZQR

【診斷自測(cè)】（2024?廣東惠州.一模）設(shè)集合M={xeZ1100<2*<1000},則M的元素個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.9D.無(wú)窮多個(gè)

【答案】A

【解析】由函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增,及26=64,27=128,29=512,2"=1024,

可得M={7,8,9},則其元素個(gè)數(shù)為3,

知識(shí)點(diǎn)2：集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、3,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合3中的元素，我們

就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集，記作A=3（或8=A），讀作“A包含于3”

（或“3包含人”）.

（2）真子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與3，若A=B，且存在OeB，但6已4，則集合人是集合3的真子

集，記作（或B復(fù)A）.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”?

（3）相等：對(duì)于兩個(gè)集合A與3,如果4屋3，同時(shí)3=4,那么集合A與3相等，記作人=臺(tái).

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真

子集.

【診斷自測(cè)】（2024.高三?四川成都?階段練習(xí)）已知集合4={1,2},8={2,3},貝!）集合

C={z|z=x+y,xeA,ye3}的子集個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】。={3,4,5},故其子集的個(gè)數(shù)為8,

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)3：集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合5的元素組成的集合，叫做A與6的交集，記作AcB,

即AcB={x|尤eA且xe8}.

（2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做A與5的并集，記作

即4u8={x|xeA或xeB}.

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集。中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全

集。的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作C^A,即C（/A={x|xeU,且x任A}.

【診斷自測(cè)】（2024?陜西西安.一模）已知全集。=R,集合M={*|y=@=},N={-丘,01,2,向,

貝N=（）.

A.{-^,0,1}B.{2,⑨C.{1,2,如}D.{2}

【答案】B

【解析】由IrNO解得〃=（-8,小

所以e“=（l,+8），所以@M）CN=[2,4}.

故選：B

知識(shí)點(diǎn)4：集合的運(yùn)算性質(zhì)

（1）A|A=A，A0=0>AB=BA，AnBcA-AnBcB-

（2）AiA=A，A0=A，AB=BA，AcAoB-B7AuB.

⑶A'I（CuA）=0,A（G7A）=U，CU（CUA）=A-

（4）Ac8=AoAu8=3oAa3o稠屋0AoAc多3=0

【診斷自測(cè)】（2024.江西鷹潭.一模）己知集合4=卜|必一5*46},集合3={x|xNa},若8=

則。的取值范圍為（）

A.（6,+00）B.[6,+oo）C.（-co,-l）D.（-℃』]

【答案】A

【解析】H^A={X|X2-5X<6}={X|%2-5.X-6<0}={X|-1<X<6},

々4={蟲<-1或%>6},

因?yàn)榧?={%|%2.},8=&A）,所以a>6,

故選：A.

解題方法總結(jié)

（1）若有限集A中有"個(gè)元素，則A的子集有T個(gè)，真子集有才.1個(gè)，非空子集有2"一1個(gè)，非空真

子集有271—2個(gè).

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）AqBoAB=A<^A\B=B<^CUB^CUA.

（4）Q（A3）=（C"）.S）,Cu（AB）=（C[/A）-（C;/B）-

r------------

\題型洞察n

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

【典例1-1】（2024?廣東江門?一模）已知集合4={一1,0,1},B={m|/H2-leA,zn-UA）,則集合B中

所有元素之和為（）

A.0B.1C.-1D.也

【答案】C

【解析】根據(jù)條件分別令=解得“=0,土1,土應(yīng),

又m—1笑A,所以〃2=-1，土應(yīng)，3=卜1,a,-0},

所以集合B中所有元素之和是-1,

故選：C.

【典例1-2】已知集合&={-3,—2,01,2,3,7},B={x|xeA-x1閩,則8=（）

A.[0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}

【答案】B

【解析】因?yàn)锳={-3,-2,0,1,2,3,7},B={x\x&A,-xiA\,

所以3={1,7}.

故選：B.

【方法技巧】

1、列舉法，注意元素互異性和無(wú)序性，列舉法的特點(diǎn)是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

【變式1-1]（2024?新疆?一模）已知集合A=,ngkeN,且。WAV”，則集合A的元素個(gè)數(shù)為（

A.3B.2C.4D.5

【答案】A

【解析】當(dāng)左=0時(shí)，sin—=sin0=0,

4

當(dāng)k=1時(shí)，sin—=sin—=,

442

當(dāng)左=2時(shí)，sin—=sin—=sin—=1,

442

、【/,7Qn-i--ku.37iA/2

三左=3H丁，sin——=sin——=——，

442

、1/丁Art-u-kit.4TT.C

當(dāng)左=4時(shí)，sm一=sin一=sinjr=0,

44

故4=卜,亭,1],共三個(gè)元素.

故選：A.

【變式1?2】(2024?高三?山東泰安?期中)已知集合4={1,2,3},5={3,5},則

。={%歸=2.+),々￡中的元素個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由題意，x=2a+b,

當(dāng)〃=1,Z?=5nx=7,

當(dāng)a=l,b=3=>x=5,

當(dāng)a=2,b=5=>x=9,

當(dāng)〃=2,b=3nx=7,

當(dāng)a=3,b=5^>x=ll,

當(dāng)a=3,Z?=3=>x=9,

由集合中元素滿足互異性，所以C={5,7,9,11}.

故選：B

故選：A.

題型二：集合元素的三大特征

【典例2-1】設(shè)集合4=卜,3，]一3a,a+”1,B={\a-2\,3],已知4cA且4居3,則。的取值集合

為—,

【答案】{4}

【解析】因?yàn)?eA,即4e12,3,片—3a,a+/+71,

2

所以〃2一3〃=4或〃+—+7=4,

a

若〃2一3〃二4，貝1」。=-1或I=4；

2、

若々+—+7=4,即/+3〃+2=0，貝IJ。=一1或。=一2.

a

2

由3〃與a+—+7互異，得aw—1,

a

故a=-2或a=4,

又4走3,即4e{|a-2|,3},所以|a-2快4,解得aw—2且ax6,

綜上所述，。的取值集合為{4}.

故答案為：{4}

【典例2-2】由Q,—〃，同,構(gòu)成的集合中，兀素個(gè)數(shù)最多是__.

【答案】2

【解析】當(dāng)4=0時(shí)，a=-a=\a\=^=Q,此時(shí)元素個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)aw0時(shí)，4^=同=［“'〃>0,

［-a,a<0

所以一定與a或-a中的一個(gè)一致，此時(shí)元素個(gè)數(shù)為2.

所以由a,-a,|a|,而構(gòu)成的集合中，元素個(gè)數(shù)最多是2個(gè).

故答案為2

【方法技巧】

1、研究集合問(wèn)題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無(wú)序性。

2、研究?jī)蓚€(gè)或者多個(gè)集合的關(guān)系時(shí)，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。

【變式2-1］（2024?高三?天津河西?期中）含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成又可表示成

a2,a+b,0},貝以2必+/。22=_.

【答案】1

【解析】因?yàn)椴凡穥1,。+6,0},

b

顯然awO,故一=0,貝！Jb=O；

a

此時(shí)兩集合分別是{a,1,0},{a,4,0},

貝!1/=1，解得。=1或-1.

當(dāng)。=1時(shí)，不滿足互異性，故舍去；

當(dāng)a=-1時(shí)，滿足題意.

所以a2022+b2022=（-1）2022+O2022=1

故答案為：r

【變式2-2］（2024?高三?山東濰坊?期中）英語(yǔ)單詞*aww”所含的字母組成的集合中含有個(gè)元素.

【答案】3

【解析】英語(yǔ)單詞“加國(guó)加?”所含的字母組成的集合為松,科，共3個(gè)元素.

故答案為：3.

【變式2-3］（2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）已知{削GX2—4X+1=0}={6},其中a,beR,則6=（）

A.0B.—或！C.gD.一

4224

【答案】B

【解析】由題意知：b為方程以2一4尤+1=0的根，

當(dāng).=0時(shí)，b=--

4

[ab1-4Z>+1=01

當(dāng)。片0時(shí)，二次方程有兩個(gè)相同的根，則有，此時(shí)8=：.

[16-4a=02

故選:B.

題型三：元素與集合間的關(guān)系

【典例3-1】已知集合A={x|x=4Z,左eZ|,B=|x|x=4zn+l,mez1,C=|x|x=4n+2,neZ|,

D={x\x=4t+3,t^Z},若“eg,beC,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a-\-beAB.a+bE,BC.a+beCD.a+bD

【答案】D

【解析】因?yàn)閎eC,

則由題意可設(shè)a=4根+1,b=4n+2,其中加wZ,〃wZ,

則〃+b=4（M+〃）+3,Mm+neZ,

故。+人eD,

故選：D.

【典例3-2]（2024.高三.山東青島.開學(xué)考試）已知xe{l,2,尤2},貝口的取值為（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1或2

【答案】C

【解析】由元素和集合關(guān)系可知：*=1或尤=2或%=X2,

解的x=O或1或2,

由集合的性質(zhì)可知，當(dāng)x=l時(shí)，{1,2,1}不滿足互異性，

所以工的取值為?；?.

故選：C.

【方法技巧】

1、一定要牢記五個(gè)大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當(dāng)集合用描述法給出時(shí)，一定要注意描述的是點(diǎn)還是數(shù).

【變式3-1]（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={尤?=3左+1水?2},則下列表示正確的是（）.

A.-2eA2023gA

C.3k2+l^tA-35A

【答案】A

【解析】當(dāng)上=-1時(shí)，x=-2,所以-2eA,故A正確；

當(dāng)上=674時(shí)，x=3x674+l=2023,所以2023vA,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)左=1或左=0時(shí)，3%2+1=3%+1,所以次2+leA,故C錯(cuò)誤；

當(dāng)上=一12時(shí)，x=-12x3+l=-35,所以一35wA,故D錯(cuò)誤.

故選：A

【變式3-2](2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))若集合A={x|2〃ix-3>0,加eR},其中2e/且1交A,則實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍是()

(331「33、(33、「33一

A.—B.—C.yD.—

(42」L42J(42)142」

【答案】A

心—,.,(2mx2—3>0A,33

【解析】由題意可得:|Q/八，解得=<加工].

[2mxl-3<042

故選：A.

【變式3-3]已知4=卜卜2一依+i?o},若2e/,且3任A,貝必的取值范圍是()

「「、

A5.引10AB./匕5，引1010?匕5刁)口.(—10

【答案】A

【解析】由題意得4—2"+14。且9—3。+1>。，解得

故選：A

題型四：集合與集合之間的關(guān)系

【典例4-1】(2024?四川德陽(yáng)?三模)已知集合4="|1<彳<2024},B^[x\x<a},若A=B,則實(shí)數(shù)

。的取值范圍是()

A.(2024,E)B,[2024,+oo)C.(—8,2024]D.(-oo,2024)

【答案】B

【解析】集合A={x[l<x<2024},B^[x\x<a],又貝i]aN2024,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2024,+助.

故選：B

【典例4?2】(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知集合｛1,0｝旦3｛-1,0,1,2｝,則滿足條件的集合笈的個(gè)數(shù)為

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】由｛1,0仁8可得1€8且。€3,根據(jù)3為｛-1,0,1,2｝的真子集，

可得3=｛1,0｝或8=｛1,0,-1｝或3=｛1,0,2｝,故滿足條件的集合3的個(gè)數(shù)為3.

故選：A

【方法技巧】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：

(1)定義法進(jìn)行判斷

(2)數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷

【變式4-1](2024?河南駐馬店?一模)已知集合

M=卜x=5+7,左eZN=]xk=工+萬(wàn),左wZeA/,則與與N的關(guān)系是()

A.B.XQ^N

C.無(wú)(,eM且不走ND.不能確定

【答案】A

【解析】M=|x|x=~|+；=2;晨eZ：,N=1x|x=：+；=^^,A:ez1,

由上eZ,可得2左+1是奇數(shù)，左+2是整數(shù)，

所以MqN,因?yàn)椴粈加，所以Xo^N.

故選：A.

【變式4-2】已知集合",Nu/,若McN=N,則()

A.薛必口[NB.M三0NC.猴/c,ND.M

【答案】C

【解析】McN=N,N=M,若把/看作全集，作出韋恩圖如圖所示:

的補(bǔ)集包含M的補(bǔ)集.

故選：C.

【變式4-3](2024.青海西寧.二模)設(shè)集合A={1,2“+1},8={3,a-1,34-2},若4=8,則。=()

A.-2B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】由已知得，若2a+l=3,解得a=l,

此時(shí)A={1,3},8={0,1,3},符合題意；

若2a+l=a—1,解得a=—2,

此時(shí)4={L—3},8={-8,-3,3},不符合題意;

若2a+l=3a-2,解得°=3,此時(shí)A={1,7},8={2,3,7},不符合題意，

綜上所述,。=1.

故選:C.

題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

【典例5-1】已知集合4={磯尤-2)(X-5)<0},B=W|3-2x|<5},貝|他力18=()

A.(-1,2)B.[-1,2]C.[-1,2)D.(-1,2]

【答案】C

【解析】由(％-2心—5)40,得2VXV5,則4={x|2VxV5},則％A={x|x<2或x>5},

由|3-2x|<5,得-LVxV4,則8={尤|-14x<4},

所以(hA)cB={x|-14x<2}.

故選：C.

【典例5-2】（2024?廣東深圳?二模）對(duì)于任意集合下列關(guān)系正確的是（）

A.M風(fēng)力=MNB.瘠N(MN)=(材

D.瘩N(/N)=(MNM)%'N)

C.M④NN=MN

【答案】B

對(duì)于A：如圖所知，為區(qū)域①，所以=M故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：&UN（MCN）為區(qū)域①和③；（加施加）為區(qū)域③，（&°NN）為區(qū)域①，則

（齦NM）U（MUNN）也為為區(qū)域①和③；兩邊相等，故B正確;

對(duì)于C：(a^N)為區(qū)域①，MeNN為區(qū)域①，不等于區(qū)域②(區(qū)域②為McN),故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：g”(McN)為區(qū)域①和③；而(勒〃加)為區(qū)域③，(孰3》)為區(qū)域①，所以

(麻NM)C(MUVN)為空集，所以D錯(cuò)誤；

故選：B.

【方法技巧】

1、注意交集與并集之間的關(guān)系

2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個(gè)概念

【變式5-1】已知集合0="4={巾=括二1+^^},3=卜卜一%2<()),則必(4可=()

A.[0,1)B.(0,1]

C.(-co,0]u(l,+co)D.(^?,0)kj[l,+co)

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=^/Tz7+C的定義域?yàn)閧l},

所以函數(shù)y=VI=+GT值域?yàn)閧0},

所以A={0}，

不等式％-》2<0的解集為{小<o或》〉1},

所以8=[x\x<0或x>1},

AuB={x|xW0或x>l},

則2(408)={引0<彳<1}.

故選：B.

【變式52](2024?四川德陽(yáng)?二模)已知集合人=卜|九2一%—224,B={%|y=hiY},貝！](a4)八8二

()

A.1x|0<x<l|B.|x[0<x<21

C.{x|-l<x<2}D.{x|x>2}

【答案】B

【解析】因?yàn)锳={九Ix2-x-2>0]={x\x>2^x<-l],

貝ijdA=|x|-l<x<2|,又5={x|y=Inx}=1x|x>0},

所以(aA)cB={x|0vxv2}.

故選：B

題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合

【典例6-1】(2024?福建廈門?二模)設(shè)集合A=｛T,0/｝,B=\^xi,x1,x3,x^,x5)\xieA,z=1,2,3,4,5),那

么集合3中滿足14卜|+國(guó)+國(guó)+聞+國(guó)＜3的元素的個(gè)數(shù)為()

A.60B.100C.120D.130

【答案】D

【解析】由題意知集合3中滿足閆玉|+國(guó)+國(guó)+聞+國(guó)43的元素的個(gè)數(shù)，

即指王,々,三，州，毛中取值為-1或1的個(gè)數(shù)和為1或2或3,

故滿足條件的元素的個(gè)數(shù)為C；x2+C；x2?+C；x23=10+40+80=130(個(gè))，

故選：D

【典例6-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均在集合｛1,2,3,4｝內(nèi)，則這樣

的三角形共有()

A.64個(gè)B.125個(gè)

C.432個(gè)D.516個(gè)

【答案】D

【解析】由題意，橫縱坐標(biāo)均在集合｛L2,3,4｝內(nèi)的點(diǎn)共有4x4=16個(gè)，

從這16個(gè)點(diǎn)中任意選出三個(gè)點(diǎn)，共有CM=與手;=560個(gè)，

3x2x1

其中三個(gè)點(diǎn)共線的情況有C：x4x2+C：x2+4=44個(gè)，

所以滿足題目要求的三角形共有560-44=516.

故選：D

加

4

【典例6-3】card(AB)=card(BC)=card。A)=l,且ABC=0,則稱(A,B,C)為N的“有

序子集列”.現(xiàn)有N={1,2,3,4,5,6},則N的“有序子集列”的個(gè)數(shù)為()

A.540個(gè)B.1280個(gè)C.3240個(gè)D.7680個(gè)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，優(yōu)先確定兩兩交集cwd(A'3)=ca"(3C)=card(CA)=l中的元素，六個(gè)元

素中選擇三個(gè)進(jìn)行排列，然后再排其余的三個(gè)元素，其余的三個(gè)元素可能再A,B,C的某一個(gè)里面可能都不

在，所以其余的三個(gè)元素都有4種選擇方法，所以N的“有序子集列”的個(gè)數(shù)為A：X43=7680（個(gè)）.

故選：D.

【方法技巧】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法。

【變式6-1】設(shè)集合A={1,2,3,4},8={5,6,7},則從A集合到B集合所有不同映射的個(gè)數(shù)是（）

A.81B.64C.12D.以上都不正確

【答案】A

【解析】集合A中的每一個(gè)元素，在集合3中都有唯一對(duì)應(yīng)的元素與之對(duì)應(yīng)，

A中有4個(gè)元素，每個(gè)元素可以有3種對(duì)應(yīng)方式，共有34=81種不同的對(duì)應(yīng)方式，

即從集合A到集合3的不同映射的個(gè)數(shù)是81.

故選：A

【變式6-2］己知AB={1,2,3,,2022,2023},則由集合A,3構(gòu)成的集合{A,周的個(gè)數(shù)為（）

A24045_22023B24045—22022

C24046_22023D24046—22022

【答案】B

【解析】由于口,2,3,,2022,2023}的子集個(gè)數(shù)為22。23,

因此集合{4團(tuán)是從{123,「2022,2023}的22。23個(gè)子集中挑選2個(gè)子集組成的集合，

22023/22023_1\

240452022

于是集合{A，B}的個(gè)數(shù)為CM23=_____'_______L=2-2.

22U232

故選：B.

【變式6-3］（2024.高三?四川雅安.開學(xué)考試）已知集合［/=口€2|14工＜5},非空集合A=且A中

所有元素之和為奇數(shù)，則滿足條件的集合A共有（）

A.12個(gè)B.14個(gè)C.16個(gè)D.18個(gè)

【答案】C

【解析】U={xeZ|lWxW5}={l,2,3,4,5},

由于A中所有元素之和為奇數(shù)，且非空集合

當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，則4={1},或A={3},或4={5},

當(dāng)A中有2個(gè)元素時(shí)，則A中的元素必為一偶一奇，故有2*3=6個(gè)滿足條件的A,

當(dāng)A中有3個(gè)元素時(shí)，則A中的元素必為2偶一奇或者三個(gè)元素均為奇數(shù)，故有4個(gè)滿足條件的A,

當(dāng)A中有4個(gè)元素時(shí)，則A中的元素必為一偶3奇，故有2個(gè)滿足條件的A,

當(dāng)A中有5個(gè)元素時(shí)，則A={1,2,3,4,5}滿足條件,

故共有3+6+4+2+1=16,

故選：c

【變式6-4］（2024?上海靜安?一模）已知直線歐+力+C=O的斜率大于零，其系數(shù)。、b、c是取自集合

{-2,-1,0,1,2}中的3個(gè)不同元素，那么這樣的不重合直線的條數(shù)是（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€6+外+。=0的斜率大于零，

所以“6<0,

當(dāng)c=0,。有2種選法，b有2種選法，c有1種選法；

因?yàn)橹本€-2x+2y=0與直線-尤+y=0重合，

所以這樣的直線有2x2x1-1=3條；

當(dāng)c<0時(shí)，。有1種選法，b有2種選法，c有2種選法；

所以這樣的直線有2xlx2=4條，

當(dāng)c>0時(shí)，。有2種選法，b有1種選法，c有2種選法；

所以這樣的直線有2xlx2=4條，

綜上：這樣的不重合直線的條數(shù)是3+8=11條，

故選:A

題型七：容斥原理

【典例7-1】（2024?高三?北京?強(qiáng)基計(jì)劃）一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營(yíng)，每名同學(xué)參加至少一個(gè)學(xué)科考

試.已知有100名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)考試，50名學(xué)生參加了物理考試，48名學(xué)生參加了化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)

是只參加一門考試學(xué)生數(shù)的2倍，也是參加三門考試學(xué)生數(shù)的3倍，則學(xué)生總數(shù)為（）

A.108名B.120名C.125名D.前三個(gè)答案都不對(duì)

【答案】A

【解析】設(shè)只參加了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)考試的學(xué)生數(shù)分別為％,y,z；

參加了兩門學(xué)科考試的同學(xué)中參加了數(shù)學(xué)和物理、物理和化學(xué)、化學(xué)和數(shù)學(xué)的學(xué)生數(shù)分別為c,a,

同時(shí)參加了三門學(xué)科考試的學(xué)生數(shù)為加，如圖.

x+b+c+m=100

y+c+a+m=50

根據(jù)題意，有<

z+a+b+m=4S

x+y+z+〃+b+c+機(jī)=2（x+y+z）=3m

前面三個(gè)等式相加，可得元+丁+2+2（。+/?+0）+3機(jī)=198.

3m

由第四個(gè)等式可得x+y+z=一a,a+b+c=一,

22

3

因止匕一根+m+3m=198,

2

解得m=36.因此學(xué)生總數(shù)為3m=108.

【典例7-2】“四書五經(jīng)”是中國(guó)傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學(xué)》《中庸》

《論語(yǔ)》《孟子》.某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《大學(xué)》

的有60位，閱讀過(guò)《論語(yǔ)》的有160位，閱讀過(guò)《大學(xué)》或《論語(yǔ)》的有180位，閱讀過(guò)《大學(xué)》且閱讀

過(guò)《論語(yǔ)》及《中庸》的有20位.則該校閱讀過(guò)《大學(xué)》及《論語(yǔ)》但未閱讀過(guò)《中庸》的學(xué)生人數(shù)與

該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值是（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【答案】A

【解析】如下圖，閱讀過(guò)《大學(xué)》且閱讀過(guò)《論語(yǔ)》的人數(shù)是160+60—180=40,

閱讀過(guò)《大學(xué)》及《論語(yǔ)》但未閱讀過(guò)《中庸》的學(xué)生人數(shù)是40—20=20,

由樣本估計(jì)總體，得所求比值為2品0=。」.

容斥問(wèn)題本身存在包容與排斥的一種計(jì)數(shù)問(wèn)題，所以我們?cè)谔幚磉@一類問(wèn)題的時(shí)候必須要注意扣除掉

重復(fù)的部分，也要保證沒(méi)有遺漏，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方

法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)

時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理.

【變式7-1］（2024.高三.湖北.期末）某校高一年級(jí)有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動(dòng)供學(xué)生選擇，要

求每個(gè)同學(xué)至少選擇一種參加.統(tǒng)計(jì)調(diào)查得知，選擇其中一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%,選擇另一項(xiàng)

活動(dòng)的人數(shù)占50%到55%,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有100人

B.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有180人

C.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有260人

D.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有320人

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，60%+50%-1=10%,65%+55%-1=20%,

則同時(shí)選4,8的人數(shù)在10%到20%之間，換算成人數(shù)為1200xl0%=120,1200x20%=240,即120到

240之間，

因此符合題意的選項(xiàng)只有B.

故選：B.

【變式7-2］（2024?高三?福建三明?期中）某班有45名同學(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)興趣小組.已知僅參

加一個(gè)興趣小組的同學(xué)有20人，同時(shí)參加語(yǔ)文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有9人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語(yǔ)興趣小

組的同學(xué)有15人，同時(shí)參加語(yǔ)文和英語(yǔ)興趣小組的同學(xué)有11人，則同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有

人.

【答案】5

【解析】以集合A、B.C表示分別參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)興趣小組的學(xué)生，如下圖所示：

設(shè)同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有1人，由圖可得20+（9-x）+（n-x）+（15—x）+x=55—2x=45,

解得x=5.

故答案為：5.

【變式7-3］（2024.江西?模擬預(yù)測(cè)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：

看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之

歌》《建黨偉業(yè)》《開國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看

了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4

人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國(guó)大典》的有6人,

三支短視頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為一.

【答案】3

【解析】把大學(xué)社團(tuán)50人形成的集合記為全集U,觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國(guó)大典》三

支短視頻的人形成的集合分別記為A,B,C,依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有21-4-6-3=8（人）,

因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看了《建黨偉業(yè)》的有23-4-7-3=9（人），

因觀看了《開國(guó)大典》的有26人，則