黑龍江省雙鴨山市2025屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題含解析

黑龍江省雙鴨山市2025屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的左、右焦點分別為，過焦點的傾斜角為直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.2．設數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則（）A.255 B.257C.127 D.1293．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與4．已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.， B.C.， D.5．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.6．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.7．已知向量分別是直線的方向向量，若，則（）A. B.C. D.8．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.9．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是（）A.4 B.5C.6 D.710．數(shù)列2，0，2，0，…的通項公式可以為（）A. B.C. D.11．一質(zhì)點的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則該質(zhì)點在時的瞬時速度為（）A.4 B.12C.15 D.2112．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線的左、右焦點，若為雙曲線上一點，且，則__________.14．設F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積為______.15．已知曲線的焦距是10，曲線上的點到一個焦點的距離是2，則點到另一個焦點的距離為__________.16．設、分別是橢圓的左、右焦點．若是該橢圓上的一個動點，則的最大值為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓過點，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，反射光線剛好經(jīng)過圓心，求反射光線的方程.18．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）當時，若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍19．（12分）已知等差數(shù)列前n項和為，，，若對任意的正整數(shù)n成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知雙曲線：的兩條漸近線所成的銳角為且點是上一點（1）求雙曲線的標準方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，點能否為線段的中點？并說明理由21．（12分）設圓的圓心為A，直線l過點且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E（1）判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系，并寫出點E的軌跡方程；（2）過點作斜率為，的兩條直線，分別交點E的軌跡于M，N兩點，且，證明：直線MN必過定點22．（10分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長c；（2），，，求角C.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內(nèi)切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.2、C【解析】由題設可得，再由即可求值.【詳解】由數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，∴，即，∴.故選：C.3、C【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導數(shù)公式，結(jié)合代入法進行求解即可.【詳解】因為，所以，所以，，故選：C4、D【解析】由等差數(shù)列通項公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，由于數(shù)列滿足，所以對任意的都成立，故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，所以，解得故選：5、D【解析】根據(jù)垂直關(guān)系可得，由向量坐標運算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.6、A【解析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標準方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的計算能力，屬于基礎題7、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點睛】本題主要考查向量共線的坐標表示，屬于基礎題8、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.9、C【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個出來，則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個.故選：C.10、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當時，，不符；B.當時，，不符；C.當時，，不符；D.當時，，當時，，符合.故選：D.11、B【解析】由瞬時變化率的定義，代入公式求解計算.【詳解】由題意，該質(zhì)點在時的瞬時速度為.故選：B12、A【解析】構(gòu)造，應用導數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設不等式等價于即可得解.【詳解】設，則，∴R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、17【解析】根據(jù)雙曲線的定義求解【詳解】由雙曲線方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案為：1714、##2.25##【解析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立后得到兩根之和，結(jié)合焦點弦弦長公式求出，用點到直線距離公式求高，進而求出三角形面積.【詳解】易知拋物線中，焦點，直線的斜率，故直線的方程為，代人拋物線方程，整理得.設，則，由拋物線的定義可得弦長，原點到直線的距離，所以面積.故答案為：15、或10.【解析】對參數(shù)a進行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進而結(jié)合橢圓與雙曲線的定義和性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點到一個焦點距離是2，則點到另一個焦點的距離為；若曲線是焦點在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點在y軸，所以，不妨設點P在雙曲線的上半支，上下焦點分別為，因為實半軸長為4，容易判斷點P到下焦點的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點P到上焦點的距離為2，則它到下焦點的距離.故答案為：或10.16、4【解析】設，寫出、的坐標，利用向量數(shù)量積的坐標表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當時，.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量數(shù)量積的坐標表示及橢圓的有界性求最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)題意設圓心，利用兩點坐標公式求距離公式表示出，解出，確定圓心坐標和半徑，進而得出圓的標準方程；(2)根據(jù)點關(guān)于坐標軸對稱的點的特征可得，利用直線的兩點式方程即可得出結(jié)果.【小問1詳解】圓過點，，因為圓心在直線：：上，設圓心，又圓過點，，所以，即，解得，所以，所以故圓的方程為：；【小問2詳解】點關(guān)于軸的對稱點，則反射光線必經(jīng)過點和點，由直線的兩點式方程可得，即：.18、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導數(shù)來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當時．函數(shù)有極大值，故當時，函數(shù)有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數(shù)為減函數(shù)，有，故當時，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為【點睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數(shù)法，結(jié)合導數(shù)求最值來求解.在利用導數(shù)研究函數(shù)的過程中，如果一階導數(shù)無法解決，可考慮利用二階導數(shù)來進行求解.19、【解析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得，解方程得，，進而得，故恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得當或4時，取得最小值，進而得答案.【詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，由已知，.聯(lián)立方程組，解得，.所以，，由題意，即.令，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為，所以當或4時，取得最小值，所以實數(shù)的取值范圍是.20、（1）；（2）點不能為線段的中點，理由見解析.【解析】（1）由漸近線夾角求得一個斜率，再代入點的坐標，然后可解得得雙曲線方程；（2）設直線方程為（斜率不存在時另說明），與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應用韋達定理，結(jié)合中點坐標公式求得，然后難驗證直線與雙曲線是否相交即可得【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線的漸近線的傾斜角為30°或60°，即或當時，的標準方程為，代入，無解當時，的標準方程為，代入，解得故的標準方程為（2）不能是線段的中點設交點，，當直線的斜率不存在時，直線與雙曲線只有一個交點，不符合題意.當直線的斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，將代入判別式，所以滿足題意的直線也不存在所以點不能為線段的中點21、（1）與半徑相等，（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進行討論，由設而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過定點的條件即可解決.【小問1詳解】圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因為，故E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓（不包括左右頂點），且有，，即，，，則點E的軌跡方程為；【小問2詳解】當直線MN斜率不存在時，設直線方程為，則，，，，則，∴，此時直線MN的方程為當直線MN斜率存在時，設直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設，，有則將*式代入化簡可得：，即，∴，此時直線MN：，恒過定點又直線MN斜率