黃山市重點中學2025屆高二上數(shù)學期末考試試題含解析

黃山市重點中學2025屆高二上數(shù)學期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.82．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（）A.當時，平面 B.當時，平面C.當為直角三角形時， D.當?shù)拿娣e最小時，3．已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，過坐標原點作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點（）A. B.C. D.4．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.105．下列說法錯誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為96．直線與直線交于點Q，m是實數(shù)，O為坐標原點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.47．如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，與其準線交于點（點位于之間）且于點且，則等于（）A. B.C. D.8．設滿足則的最大值為A. B.2C.4 D.169．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知空間中四點，，，，則點D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.011．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種12．直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.都有可能二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線經(jīng)過點，則__________.14．已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；15．若和或都是假命題，則的范圍是__________16．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點E為CD的中點，沿AE將折起，使得點D到達F位置.（1）當時，求證：平面AFC；（2）當時，求二面角的余弦值.18．（12分）已知等比數(shù)列中，，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求前項和的最大值19．（12分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？（3）當（x為大于8的常數(shù)）時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？20．（12分）如圖，在長方體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長為2，且動點P在線段AC上運動（1）若Q為的中點，求點Q到平面的距離；（2）設直線與平面所成角為，求的取值范圍21．（12分）{}是公差為1的等差數(shù)列，.正項數(shù)列{}的前n項和為，且.（1）求數(shù)列{}和數(shù)列}的通項公式；（2）在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列，在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列，…，在和之間插入n個數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.①記，求{}的通項公式；②求的值.22．（10分）如圖，三棱錐中，，，，，，點是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】使用遞推公式逐個求解，直到求出即可.【詳解】因為所以，，，.故選：D2、D【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一計算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，因為，所以，所以，，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；當為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；設到的距離為，則，當?shù)拿娣e最小時，，故正確故選：3、A【解析】由橢圓方程可求得坐標，由此求得拋物線方程；設，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點的求法可求得定點.【詳解】由橢圓方程知其焦點坐標為，又拋物線焦點，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設，由得：，則，即，設，，則，，，，，解得：或；又與坐標原點不重合，，，當時，，直線恒過定點.故選：A.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線綜合應用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.4、A【解析】由已知設雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，設雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A5、C【解析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件，即可判斷；對于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件.故C錯誤；對于D：已知，且，所以（當且僅當，即時取等號）故D正確.故選：C6、B【解析】求出兩直線的交點坐標，結(jié)合兩點間的距離公式得到，進而可以求出結(jié)果.【詳解】因為與的交點坐標為所以，當時，，所以的最大值是，故選：B.7、B【解析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【詳解】設于點，準線交軸于點G，則，又，∴，又于點且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.8、C【解析】可行域如圖,則直線過點A(0,1)取最大值2,則的最大值為4,選C.點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.9、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當且時，成立，反過來，當時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎題型.10、C【解析】根據(jù)題意，求得平面的一個法向量，結(jié)合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點，，，，可得，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點D到平面ABC的距離為.故選：C.11、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B12、A【解析】求出圓心到直線的距離，然后與圓的半徑進行大小比較即可求解.【詳解】解：圓的圓心，，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相交，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】將點代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解：因為拋物線經(jīng)過點，所以，即.故答案為：2.14、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當時，若和時，；若時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當時，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；③當時，若和時，；若時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.15、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：16、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】解：設圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）結(jié)合線面垂直的判定定理來證得結(jié)論成立.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設，由于四邊形是等腰梯形，是的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，是的中點，所以，由于，所以平面.【小問2詳解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，設是的中點，設，則，所以，所以，由于兩兩垂直.以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，,平面的法向量為，設平面法向量為，則，故可設，由圖可知，二面角為鈍角，設二面角為，，則.18、(1)；(2)證明見解析，10.【解析】(1)設出等比數(shù)列的公比q，利用給定條件列出方程求出q值即得；(2)將給定等式變形成，再推理計算即可作答.【詳解】(1)設等比數(shù)列的公比為q，依題意，，而，解得，所以數(shù)列的通項公式為；(2)顯然，，由得：，所以數(shù)列是以為首項，公差為-1的等差數(shù)列，其通項為，于是得，由得，而，則數(shù)列前4項都為非負數(shù)，從第5項起都是負數(shù)，又，因此數(shù)列前4項和與前3項和相等并且最大，其值為，所以數(shù)列前項和的最大值是10.19、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關(guān)系式，根據(jù)當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元即可求解;（2）列出燃料費的函數(shù)解析式，利用導數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論可得答案.【小問1詳解】設每小時的燃料費為，則當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元，代入得.【小問2詳解】由（1）得.設全程燃料費為y，則（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以當時，；當時，，所以當v＝16時，y取得最小值，故為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為8km/h【小問3詳解】由（2）得，若時，則y在區(qū)間上單調(diào)遞減，當v＝x時，y取得最小值；若時，則y區(qū)間（8，16）上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當v＝16時，y取得最小值；綜上，當時，船的實際前進速度為8km/h，全程燃料費最?。划敃r，船的實際前進速度應為（x－8）km/h，全程燃料費最省20、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標系，利用空間向量法求出平面的法向量，結(jié)合點到平面的距離的向量求法計算即可；(2)設點，，進而得出的坐標，利用向量的數(shù)量積即可列出線面角正弦值的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由題意，分別以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標系，于是，，，，，設平面法向量所以，解得，，令得，，設點Q到平面的距離為d，【小問2詳解】由（1）可知，平面的法向量，由P點在線段AC上運動可設點，于是，，所以，的取值范圍是21、（1），（2）①；②【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式將展開化簡，求得首項，可得；根據(jù)遞推式，確定，再寫出，兩式相減可求得；（2）①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，采用倒序相加法求得結(jié)果；②根據(jù)數(shù)列的通項的特征，采用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】設數(shù)列{}的公差為d，則d=1，由，即，可得，所以{}的通項公式為；由可知：當，得，當時，，兩式相減得；，即，所以{}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】①