2025屆青海省西寧市城西區(qū)海湖中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆青海省西寧市城西區(qū)海湖中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.2．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費(fèi)，從第一個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第5個孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤3．已知直線：與雙曲線的兩條漸近線分別相交于A、B兩點(diǎn)，若C為直線與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.4．命題“若，則”的逆命題、否命題、逆否命題中是真命題的個數(shù)為（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個5．已知圓的半徑為，平面上一定點(diǎn)到圓心的距離，是圓上任意一點(diǎn).線段的垂直平分線和直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡為，當(dāng)時，軌跡對應(yīng)曲線的離心率取值范圍為（）A. B.C. D.6．過點(diǎn)，的直線的斜率等于2，則的值為（）A.0 B.1C.3 D.47．已知，則“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知M、N為橢圓上關(guān)于短軸對稱的兩點(diǎn),A、B分別為橢圓的上下頂點(diǎn),設(shè)、分別為直線的斜率,則的最小值為()A. B.C. D.9．若雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．通過隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”11．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．已知拋物線過點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是某賽季CBA廣東東莞銀行隊(duì)甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙比賽得分的中位數(shù)之和是______.14．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當(dāng)k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長.15．某單位現(xiàn)有三個部門競崗，甲、乙、丙三人每人只競選一個部門，設(shè)事件A為“三人競崗部門都不同”，B為“甲獨(dú)自競崗一個部門”，則______.16．若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橢圓E：過點(diǎn)，離心率為（1）求E的方程；（2）設(shè)直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使得對任意實(shí)數(shù)k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由18．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線l1過點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長；（2）求過點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線l2的方程.19．（12分）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)的動直線與相交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由20．（12分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于，和的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時間位于的概率.21．（12分）如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值22．（10分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點(diǎn)．過MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C2、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項(xiàng)和為，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，故選：A3、D【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后分別與直線聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線方程可知其漸近線方程為：，當(dāng)時，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D4、B【解析】先判斷出原命題和逆命題的真假，進(jìn)而根據(jù)互為逆否的兩個命題同真或同假最終得到答案.【詳解】“若a=0，則ab=0”，命題為真，則其逆否命題也為真；逆命題為：“若ab=0，則a=0”，顯然a=1，b=0時滿足ab=0，但a≠0，即逆命題為假，則否命題也為假.故選：B.5、D【解析】分點(diǎn)A在圓內(nèi)，圓外兩種情況，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義可判斷軌跡，再由離心率計算即可求解.【詳解】當(dāng)A在圓內(nèi)時，如圖，,所以的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，此時，，.當(dāng)A在圓外時，如圖，因?yàn)?，所以軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線，其中，，此時，，.綜上可知，.故選：D6、A【解析】利用斜率公式即求.【詳解】由題可得，∴.故選：A7、A【解析】首先由兩直線平行的充要條件求出參數(shù)的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，所以“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選：A.8、A【解析】利用為定值即可獲解.【詳解】設(shè)則又,所以所以當(dāng)且僅當(dāng),即,取等故選:A9、A【解析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A10、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A11、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補(bǔ)全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補(bǔ)全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B12、D【解析】把點(diǎn)代入拋物線方程求出，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以拋物線方程為，方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、58【解析】分別將甲、乙兩名運(yùn)動員的得分按小到大或者大到小排序，分別確定中位數(shù)，再相加即可【詳解】因?yàn)榧?、乙兩名籃球運(yùn)動員各參賽11場，故中位數(shù)是第6個數(shù)甲的得分按小到大排序后為：12,22,23,32,33,34,35,40,43,44,46，所以，中位數(shù)為34乙的得分按小到大排序后為：12,13,21,22,23,24,31,31,34,40,49所以，中位數(shù)為24所以，中位數(shù)之和為34+24＝58，故答案為：5814、（1）直線過定點(diǎn)P（4，3），直線和圓總有兩個不同交點(diǎn)（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點(diǎn)斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時，弦長最短.【小問1詳解】直線方程可化為，則直線過定點(diǎn)P（4，3），又圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，而，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個不同交點(diǎn).【小問2詳解】由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時，弦長最短.，所以k=1時弦長最短.弦長為.15、##0.5【解析】根據(jù)給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】依題意，，，所以.故答案：16、【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程，求出答案.【小問1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為【小問2詳解】設(shè)存在點(diǎn)滿足條件記，由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝上式為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或此時，或所以，存在定點(diǎn)或者滿足條件18、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率不存在直線得到直線方程，但直線的斜率存在時設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問1詳解】解：根據(jù)題意，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為故；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線的斜率不存在時，過點(diǎn)的直線方程是，此時與圓C：相切，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，直線與圓相切時，圓心到直線的距離為解得此時，直線的方程為，所以滿足條件的直線的方程是或.19、（1）；（2）存在；或.【解析】（1）設(shè)，由，，，求得的值即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立可得，，進(jìn)而可得弦長，求出點(diǎn)到直線的距離，解方程，求得的值即可求解.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以，可得，又因?yàn)?，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設(shè)存在直線，使得的面積為，當(dāng)軸時，不合題意，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立消去得：，由可得或，，，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直線：或使得的面積為.20、（1）（2）【解析】（1）由頻率之和為1求參數(shù).（2）由分層抽樣的比例可得抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，再應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率計算即可.小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得；【小問2詳解】由于，和的頻率之比為：，故抽取的5人中，，和別為：1人，2人，2人，記的1人為，的2人為，，的2人為，，故隨機(jī)抽取2人共有，，，，，，，，，10種，其中至少有1人每天閱讀時間位于的包含，，，，，，共7種，故概率.21、（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可。【詳解】（1）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,設(shè)是平面CDF的一個法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡單題目。22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，