2025屆江蘇如皋市江安鎮(zhèn)中心初中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析2

2025屆江蘇如皋市江安鎮(zhèn)中心初中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，在雙曲線上，線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.2．已知點(diǎn)，，直線：與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.3．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.04．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸6．設(shè)異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.7．若橢圓的短軸為,一個(gè)焦點(diǎn)為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.8．若橢圓與直線交于兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為,則A. B.C. D.29．在等差數(shù)列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.910．過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知，則點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.12．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)為橢圓C的下頂點(diǎn)，直線MA與MB的斜率之積為.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P，Q為橢圓C上位于x軸下方的兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.14．雙曲線的焦距為____________15．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是_________16．已知向量，若，則實(shí)數(shù)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）雙曲線的離心率為，虛軸的長為4.（1）求的值及雙曲線的漸近線方程；（2）直線與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）已知圓關(guān)于直線對稱，且圓心C在軸上.（1）求圓C的方程；（2）直線與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，求直線的方程.19．（12分）如圖，在三棱柱中，四邊形為矩形，，，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）求平面AEB與平面夾角的余弦值.20．（12分）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為9，最小值為1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.21．（12分）某工廠修建一個(gè)長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元．設(shè)池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先根據(jù)中點(diǎn)弦定理求出直線的斜率，然后求出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長公式求解的長.【詳解】設(shè)，，則可得方程組：，兩式相減得：，即，其中因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，故，故，即直線的斜率為，故直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由韋達(dá)定理得：，，則故選：D2、A【解析】由可求出直線過定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點(diǎn)，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：A.3、B【解析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.4、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.5、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長，公差為，則，所以立夏日影長丈，即四尺五寸.故選：D6、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C7、B【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?所以.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì).點(diǎn)評：橢圓圖形當(dāng)中有一個(gè)特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.8、D【解析】細(xì)查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由過原點(diǎn)與線段的中點(diǎn)的直線的斜率為，進(jìn)而可推導(dǎo)出的值.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設(shè)，則，從而線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，因?yàn)檫^原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題是一道關(guān)于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點(diǎn)有直線與橢圓相交時(shí)對應(yīng)的解題策略，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，斜率坐標(biāo)公式，屬于簡單題目.9、D【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，，計(jì)算得到答案.詳解】等差數(shù)列中，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，利用性質(zhì)可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】根據(jù)，，可以得到，從而得到與的關(guān)系式，再由，，的關(guān)系，進(jìn)而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由，，則是圓的切線，，，，所以，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即為故選：C11、C【解析】根據(jù)對稱性求得坐標(biāo)即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：C12、C【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，由反射光線的性質(zhì)，可設(shè)反射光線所在直線的方程為：，再利用直線與圓相切，可知圓心到直線的距離等于半徑，由此即可求出結(jié)果【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，設(shè)反射光線所在直線的方程為：，化為因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切，所以圓心到直線的距離，可得，所以或故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）【解析】（1）由斜率之積求得，再由已知條件得，從而得橢圓方程；（2）延長QF2交橢圓于N點(diǎn)，連接，，設(shè)直線，，.直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，結(jié)合不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性可得的范圍，再計(jì)算出四邊形面積得結(jié)論【小問1詳解】由題知：，，，又，∴橢圓.【小問2詳解】延長QF2交橢圓于N點(diǎn)，連接，，如下圖所示：，∴設(shè)直線，，.由，得，，，.，由勾形函數(shù)的單調(diào)性得，根據(jù)對稱性得：，且，，∴四邊形面積的最大值為.14、【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.15、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點(diǎn)處切線方程是，即故答案為：.16、2【解析】利用向量平行的條件直接解出.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得?故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，雙曲線的漸近線方程為和；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式，結(jié)合虛軸長的定義進(jìn)行求解即可；（2）將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用方程解的個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以有ca而該雙曲線的虛軸的長為4，所以，所以，因此雙曲線的浙近線方程為：y=±x?x-y=0或；【小問2詳解】由（1）可知：，，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，與直線聯(lián)立得：，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于互異兩點(diǎn)，所以有：且，所以的取值范圍為：.18、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意得到等量關(guān)系，求出，，進(jìn)而求出圓的方程；（2）結(jié)合第一問求出的圓心和半徑，及題干條件得到圓心到直線的距離為，列出方程，求出的值，進(jìn)而得到直線方程【小問1詳解】由題意得：直線過圓心，即，且，解得：，，所以圓C的方程為；【小問2詳解】的圓心為，半徑為2，由題意得：，圓心到直線的距離為，即，解得：或，所以直線的方程為：或.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)矩形及勾股定理的逆定理可得線面垂直的條件，再由平面，即可證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)后，求出相關(guān)法向量，再用夾角公式即可.【小問1詳解】證明：由三棱柱的性質(zhì)及可知四邊形為菱形又∵∴為等邊三角形∴，又∵，∴，∴又∵四邊形為矩形∴又∵∴平面又∵平面∴平面平面.【小問2詳解】以B為原點(diǎn)BE為x軸，為y軸，BA為E軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，設(shè)平面的法向量為.則即∴，又∵平面ABE的法向量為，∴，∴平面ABE與平面夾角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）令，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）令，方程化為，求出的變化情況即可求出.【小問1詳解】令，則，則題目等價(jià)于在的最大值為9，最小值為1，對稱軸，開口向上，則，解得；【小問2詳解】令，則，于是方程可變?yōu)?，即，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，要使方程有兩個(gè)不同的解，則與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.21、（1)1600,（平方米）；（2）池底設(shè)計(jì)為邊長40米的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低造價(jià)為268800元.【解析】（1）根據(jù)題意，由于修建一個(gè)長方體無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時(shí)池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元設(shè)池底長方形長為x米，則可知總造價(jià)s=,x=40時(shí)，則.故可知當(dāng)x=40時(shí)，則有可使得總造價(jià)最低,最低造價(jià)是268800元.考點(diǎn)：不等式求解最值點(diǎn)評：主要是考查了不等式求解最值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）（2）證明見詳解.【解析】（1）設(shè)出直線方