人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：定弦定角構(gòu)造輔助圓（解析版）

專題25定弦定角構(gòu)造輔助圓

1.如圖，點尸是正六邊形ABCDfF內(nèi)一點，AB=4,當(dāng)NARB=90。時，連接PD,則線段尸。的

最小值是（）

A.2拒-2B.2岳-2C.6D.4A

【解答】解：AB=4,ZAPB=90°,

：.點尸在以為直徑的圓弧上，

如圖，取至的中點O,連接8,當(dāng)O、尸、。三點共線時，PD有最小值,

連接BD,過點C作CH_L3￡＞于點〃，

?點。為的中點，

.?Q=C?=O尸=4+2=2,

.?正六邊形的每個內(nèi)角為180。*(6-2)+6=120。,

CD=CB,

ZCBD=(180°-120°)4-2=30°,BD=2BH,

Z.OBD=120°-30°=90°.

在RtACBH中，CH=LCB=2,BH=26,

2

:.BD=4也,

在RtAOBD中，OD=百+(4圾2=2-713,

.?.20的最小值為前-0「=2萬一2.

故選：B.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段A5在x軸上移動，在運動過程中，直線y=gx上的點P如

果滿足N4PB=30。，則點P為好點，當(dāng)鉆在x軸上運動到某一位置時，好點P的個數(shù)最多有(

)

C.3個D.4個

【解答】解：如圖，當(dāng)在x軸的正半軸時，構(gòu)建等邊三角形ABC,以C為圓心，以C4為半徑

作輔助圓C,

直線>=氐與C的交點就是點P,

此時ZAPB=-ZACB=30°,

2

二好點產(chǎn)最多有兩個，

同理在x軸的負(fù)半軸時，也存在兩個好點P,

故選：B.

3.如圖，5。是。的直徑，BC=4垃,M、N是半圓上不與5、。重合的兩點，且NMON=120。,

AABC的內(nèi)心為七點，當(dāng)點A在MN上從點Af運動到點N時，點石運動的路徑長是()

A27r仆3兀-167r

A.——B.——C.——D.-----

3333

【解答】解：如圖，連接BE、CE,

NS4c=90。，E是內(nèi)心，

:.ZBEC=135。,

.?.點E在以P為圓心的PC為半徑的圓上運動（軌跡是GH）,在（尸上取一點M',連接BM'、CM',

則4?'=180°-135°=45°,ZBPC=2ZM'=90°,

.?.ABCP是等腰直角三角形，

BC=4叵,

.-.PB=PC=4,

ZHPC=24HBe=ZNBC=-NNOC,同理NGPB=-NMOB,

22

ZHPC+ZGPB=1（NNOC+NMOB）=30°,

:.NGPH=60。,

.,.點E運動的路徑長是=-7i,

1803

故選：B.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△。記的邊QB在x軸正半軸上，點A（3,機），m>0,點D、

E分別從B、。以相同的速度向O、A運動，連接4）、BE,交點為P,M是y軸上一點，則9

的最小值是（）

.?.ZAO3=ZABD=60。，OB=AB,

點、D、石分別從6、O以相同的速度向O、A運動，

OE=BD

:.BD=OE,在△05￡和Z\046中，\zBOE=ZABD=60°f

OB=AB

,\AOBE=ADAB(SAS),

-,ZOBE=ZBAD,

ZABE+ZBAD=ZABE+Z.OBE=ZABO=60°

/.ZAFB=180。-(ZABE+/BAD)=120°,

點尸是經(jīng)過點A,B,尸的圓上的點，記圓心為。，在。上取一點N,使點N和點尸在弦Afi

的兩側(cè)，連接4V,BN,

/.ZANB=180?！猌AFB=60°,

連接。A,O'B,

ZAO'B=2ZANB=120°,

O'A=O'5,

.\ZABCf=ZBAOf,

ZABOr=1(180°-ZAO⑻=g(180°-120°)=30°,

ZABO=60°,

/.ZOBOr=90°,

AA05是等邊三角形，A(3,m),

AB=OB=2x3,m=3^/3,

過點。作O'G_LAB,

BG=-AB=3,

2

在力△BO'G中，NA8O'=30°,BG=3,

O'B=———=—--=273，

cosZABO'cos30°

Or(6,2回

設(shè)M(0,ri),

O'M=小36+(〃-2揚2

FM=O'M-O'F=J36+5_2后_2^3,

只有〃一2若=0時，(〃一2g)2最小為0,即j36+("-2g)2最小為6.

當(dāng)〃-26=0時，即：附=2舊時，最小，

的最小值=6-2#.

故選：D.

5.如圖，正方形ABCD中，AB=2,動點E從點A出發(fā)向點。運動，同時動點P從點。出發(fā)向

點C運動，點E、尸運動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點時停止運動，運動過程中線段?1F、

BE相交于點P,則線段DP的最小值為—括-1_.

【解答】解：如圖:

?動點尸，E的速度相同，

:.DF=AE,

又?正方形ABCD中，AB=2,

:.AD=AB,

在AABE和AZMF中，

AB=AD

</BAE=ZADF,

AE=DF

:.MBE^ADAF,

:.ZABE^ZDAF.

ZABE+ZBEA=9(r,

:.ZFAD+ZBEA=9Q°,

:.ZAPB=90°,

■點尸在運動中保持NAPS=90。，

點尸的路徑是一段以互為直徑的弧，

設(shè)的中點為G,連接CG交弧于點P,此時CP的長度最小，

AG^BG=-AB=\.

2

在RtABCG中，DG=7AG2+AD2=A/12+22=A/5,

PG=AG=1,

:.DP=DG-PG=j5-l

即線段DP的最小值為石-1,

故答案為：A/5-I.

6.如圖，正方形ABCD,以3為圓心，3c長為半徑畫弧，點E在圓弧上，EH_LBC于點、H,P

是AEHB的內(nèi)心，AB=2,則AP的最小值為710-72

DA

【解答】解：連接PE、PC、PB.

尸是A￡HB的內(nèi)心，NEHB=90。,

NEPB=180°-1（NHEB+NHBE）=135。，

BC=BE,ZPBC^ZPBE,PB=PB,

:ZBC="BE,

:.ZBPC=ZBPE=135°（定角），

二點尸的運動軌跡是圓弧，以3C為斜邊在BC的下方作等腰直角三角形BCO,連接OP、OA.

則以點。為圓心，OB為半徑的。是點P的軌跡，

AP?AO-OP,

.?.當(dāng)。、P、A共線時，上4的值最小，

作于易知08=也，OF=BF=1,OA^^+32=A/10,

二%的最小值為何-五，

故答案為兩-0.

7.如圖，在矩形A3CO中，AB=a,3C=b,點P是3c上的一個動點，連接AP,把沿

著AP翻折到△尸BC（點方在矩形的內(nèi)部），連接夕C,80.點尸在整個運動過程中，若存在唯

一的位置使得△夕CD為直角三角形，則。，6之間的數(shù)量關(guān)系是b=42a.

【解答】解：如圖，以CD為直徑作<_O,當(dāng)點A到一。的最小距離等于時，使得△笈CD為直

角三角形且唯一，

在RtAADO中，AEr+OD2=OA2,

b~+（_=（aH—,

整理得廿=2/,

a>0>b>0,

b=0a.

8.如圖，。的直徑為4,C為O上一個定點，ZABC=30°,動點P從A點出發(fā)沿半圓弧AB向

3點運動（點尸與點C在直徑鉆的異側(cè)），當(dāng)尸點到達(dá)3點時運動停止，在運動過程中，過點C作

CP的垂線CD交尸3的延長線于D點.

（1）在點尸的運動過程中，線段CD長度的取值范圍為_2/<CD,,4g_.

（2）在點尸的運動過程中，線段仞長度的最大值為一.

【解答】解：（1）如圖1中,

D

AB是直徑，ZABC=3Q°,AB^4

.-.ZACB=90°,NA=NP=60。，AC=2,

CDYPC,

:.ZPCD=90°,CD=PC-tan60°,

PC的最小值=人。=2,PC的最大值為直徑=4,

二CD的最小值為2指，最大值為4石，

.?點P與點C在直徑AB的異側(cè)

2A/3<CD,,4A/3.

故答案為2百<CR,4百.

(2)如圖2中，

「在RtAPCD中，ZPCD=90°,ZP=60。，

:.NPDC=30°,

.?.點。在以3c為弦的。(紅弧線)上運動，

.?.當(dāng)A、O'、。共線時，的值最大.連接C。、BO'.

ZBOC=2NCDB=60°,OC=OB,

.?.△OBC是等邊三角形，

BO'=BC=273,NCB(7=60。,

ZABC=30°,

;.ZAB(y=9G°,

ACf=y/AB2+BO'2=次+(2后=2s,

:.AD=AO+OD=2幣+26.

AD的最大值為2⑺+26.

故答案為2e+26.

9.如圖，AB是O的直徑，C為圓上一點，且NAOC=120。，。的半徑為2,P為圓上一動點,

。為"的中點，則CQ的長的最大值是_1+b_.

【解答】解：如圖，連接OQ,作于".

AQ^QP,

OQ1PA,

ZAQO=90°,

.?.點。的運動軌跡為以AO為直徑的一K,連接CK,

當(dāng)點。在CX的延長線上時，C。的值最大，

在RtAOCH中，

ZCOH=60°,OC=2,

:.OH=-OC=l,CH=上,

2

在RtACKH中，CK=J(9+2?=幣,

，c。的最大值為i+

10.如圖，尸是矩形ABCD內(nèi)一點，AB=4,AD=2,APA.BP,則當(dāng)線段Z）尸最短時，CP=

【解答】解：以他為直徑作半圓O，連接OD,與半圓O交于點P,當(dāng)點P與P重合時，DP最

短，

AO=OP'=OB=-AB=2,

2

AD=2,ZBAD=90°,

:.OD=2也,ZADO=ZAOD=ZODC=45°,

DP=OD-OP'=2V2-2,

過P作PEJLCD于點E,則

PE=DE=^DP=2-近，

2

:.CE=CD-DE=-fi+2,

CP'=y]P'E2+CE2=2百.

故答案為：2G.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(O,-2)、3(0,3),點C是X軸正半軸上的一點，當(dāng)NBC4=45。

時，點C的坐標(biāo)為_(6,0)_.

【解答】解：如圖，作AABC的外接圓[尸，過尸作b_L84,尸尸_LOC于

AE=BE,

.點A(0,—2)、3(0,3),

7.AB=5，

ZACB=45°,

.\ZAPB=90°,

:.PE=-AB=~,

22

55l

在RtAPBE中，PE=BE=~,由勾股定理得：PB=-42,

22

在RtAPFC中，PFJ,PC=PB=、0,由勾股定理得：FC=L

222

57

.?.OC=OF+CF=-+-=6,

22

點C坐標(biāo)為(6,0),

故答案為(6,0).

12.如圖，正方形ABCD中，AB=2,動點E從點A出發(fā)向點。運動，同時動點尸從點。出發(fā)向

點C運動，點E、P運動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、

國相交于點尸，M是線段上任意一點，則的最小值為_&6_.

【解答】解：如圖作點。關(guān)于3c的對稱點連接尸

由軸對稱的性質(zhì)可知：MD=DM,CD=CD=2

:.PM+DM=PM+MD=PD

過點P作PE垂直DC,垂足為G,

易證”，座，故可知尸的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧上，當(dāng)點E與點。重合，點廠與

點C重合時，PG和GZ7均最短，

此時，PD1最短.

四邊形ABCD為正方形，

:.PG=-AD=],GC=-DC=1.

22

:.GD=3.

在RtAPGD中，由勾股定理得：PD=4PG。+G￡>'2=>/儼+32=廊.

故答案為：回.

13.如圖，邊長為4的正方形ABCD外有一點E,ZAEB=90°,F為DE的中點，連接CF,則CF

的最大值為_屈+1_.

【解答】解：解法一：如圖，以AB為直徑作圓

E

ZA￡B=90°,

.?.點E在這個.H上,

延長DC至P,使CD=PC,連接BE,EH,PH,過H作HW_LCD于M,

EF=DF,CD=PC,

:.CF=-PE,

2

RtAAEB中，〃是AB的中點，

:.EH=-AB=2,

2

RtAPHM中，由勾股定理得：PH=4HM2+PM2=742+82=2^/13,

PE,,EH+PH=2+2屈,

當(dāng)P,E,H三點共線時，PE最大,CF最大，

的最大值是J"+l;

解法二：連接BD,取BD、AD的中點為〃、G,連接FH、GF,

P為DE的中點，

.?.FH是ABDE1的中位線，F(xiàn)G是AADE1的中位線,

:.FH!/BE,FG//AE,

:.ZHFD=ZBED，ZGFD=ZAED,

ZA￡B=90°,

:.ZBED+ZAED=90°,

:.NHFD+NGFD=90。,

:.ZHFG=9Q°,

：.點/在以G//為直徑的半圓上運動，

取G”的中點/,

則CF最大時，是經(jīng)過圓心/,

GH是AA&D的中位線，

GH=—AB=—x4=2,

22

:.GI=1,

過/作的_LCD于M,

在RtACIM中，CM=4-1=3,IM=2,

由勾股定理得：CZ=V22+32=713,

:.CF'=y/13+l,

故答案為：713+1.

14.如圖，正方形ABCD中，AB=4,動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點尸從點。出發(fā)向

點C運動，點E、尸運動的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、

助相交于點P,V是線段3c上任意一點，則加+MP的最小值為_2河_.

【解答】解：如圖作點。關(guān)于3c的對稱點連接尸

由軸對稱的性質(zhì)可知：MD=DM,CD=CD=4,

:.PM+DM=PM+MD=PD

過點P作PE垂直DC,垂足為G,

易證”，座，故可知尸的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧上，當(dāng)點E與點。重合，點廠與

點C重合時，PG和GZ7均最短，

此時，PD1最短.

四邊形ABCD為正方形，

PG=-AD=2,GC=-DC^2.

22

:.GD=6.

在RtAPGD中，由勾股定理得：PD=1PG。+GZ）'2=&+6,=2M.

故答案為2而

三.解答題（共4小題）

15.在平行四邊形ABCD中，AD=-j2,AB=2,NA=45。，問Afi邊上是否存在一個點尸，使得

NDPC=45。？若存在，請求出AP的長；若不存在，請說明理由.

【解答】解：存在.理由如下，

如圖，作于

在RtAADM中，AD=應(yīng),ZA=45。,

,-.AM=DM=l,

AB=2,

:.ZADB^90°,

AD//CB,

:.ZDBC=ZADB=90°,AADB,AZ汨C的是等腰直角三角形，

：.BD=BC=AD=y[2,

以3為圓心3c畫圓交AB于P,此時Z.DPC=-NDBC=45°,

2

;.PB=BC=4i,

:.AP=AB-PB=2-yfi,

16.已知線段3c=2,用尺規(guī)作AABC,使NA=45。，你能作出多少個滿足條件的三角形?

【解答】解：如圖，

當(dāng)BC=2,NBOC=90。時，點A在優(yōu)弧3C上，

,ZA=-ZBOC=45°,

2

.?.ZA，=ZA〃=ZA=45。，

，滿足條件的點A有無數(shù)個.

17.如圖，在四邊形ABCD中，AB=2,BC=^3,CD=1,NABC=NBCD=90。，點E、點P是

四邊形內(nèi)的動點，且NAED=150。，求尸C+PB+PE的最小值.

D

---------------------^1C

【解答】解：過點A作AGLCD于點G,

ZABC=/BCD=90。,

二.四邊形ABCG是矩形，

,\CG=AB^2fAG=BC=B

,\DG=2-1=1,

RtAAGD中，tan/AHD=—=的，

GD

:.ZADG=60°,AD=2,

延長DG至點O,使得8=AD=2,

AQ1D是等邊三角形，

以點。為圓心，Q4為半徑作圓，

.?.優(yōu)AD的度數(shù)為300。，

ZAED=150°,

點E在(_。上，

ABPC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至^BPC,

:.BP=BP,PC=PC,NPBP=60。,

:.BP=PP,

PC+PB+PE^PC+PP+PE,

而OE是定值，

^PC+PP+PE最短，就是求PC+PP+PE+OE最短，

當(dāng)。、E、P、。四點共線時，PC+PP+PE+OE最短,最短值就是OC的長,

過點。作OC于點P,

AB。。是等邊三角形，

:.C'F=-BC=—,CF=yj3C'F=—xs/3=~,

2222

.-.OC'=sIC'F2+OF2=Jgy+(|+l+2)2=721,

PC+PP+PE+OE最短值為721,

,PC+尸P+PE最短值為0T-2,

.?.尸。+尸3+尸石最短值為01-2.

18.如圖1,已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC_L3C且AC=3C,以3C、AC所在直線為坐

標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系5(-6,0),直線y=3x+匕過點。且與x軸交于點M.

(1)請直接寫出點。，6的