2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：常用邏輯用語(yǔ)（五大題型）（講義）（原卷版）

第02講常用邏輯用語(yǔ)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：充分條件、必要條件、充要條件........................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:全稱量詞與存在量詞..................................................................4

知識(shí)點(diǎn)3：含有一個(gè)量詞的命題的否定............................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................5

題型一：充分條件與必要條件的判斷..............................................................6

題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍......................................................6

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假......................................................7

題型四：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍........................................................8

題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定......................................................8

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................9

05課本典例?高考素材...........................................................10

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................11

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆充分條件與必要條件...............................................................11

答題模板：充分條件與必要條件的判斷...........................................................11

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

從近幾年高考命題來(lái)看，常用邏輯用語(yǔ)沒(méi)有

(1)必要條件、充分條

2023年新高考I卷第7題，5分單獨(dú)命題考查，偶爾以已知條件的形式出現(xiàn)在其

件、充要條件；

2023年天津卷第2題，5分他考點(diǎn)的題目中.重點(diǎn)關(guān)注如下兩點(diǎn)：

(2)全稱量詞與存在量

2023年全國(guó)甲卷第7題，5分(1)集合與充分必要條件相結(jié)合問(wèn)題的解

詞；

2022年天津卷第2題，5分題方法；

(3)全稱量詞命題與存

2021年全國(guó)甲卷第7題，5分(2)全稱命題與存在命題的否定和以全稱

在量詞命題的否定.

命題與存在命題為條件，求參數(shù)的范圍問(wèn)題.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；

2、理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系；

3、理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.

匐2

〃二知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

<若p=y且1#p,則P是夕的充分不必要條件）

一（一若p#g￡Lg=/>,則「是夕的必要不充分條件一）

充分條件、必要條件、充要條件>

｛若P=yH■q=/>,則尸是g的的充要條件）

（若p#q旦夕#p,則p是夕的既不充分也不必要條件）

全稱量詞與全稱量詞命題

全稱量詞與存在量詞

會(huì)竄詞與曲導(dǎo)詞命題

常用邏輯用語(yǔ)

全稱I讓詞命題,:VxW的否定V為mV。wM,rp（xJ

含有一個(gè)量詞的命題的否定

存在量詞命題p：3.V0￡M,p住0）的否定rp為Vx￡M,rp（2

如={x\p(x)},B-3夕(x)},若4G4則

常用結(jié)論={.v|p(x)},B=國(guó)］(.V)},若4$B,則夕=［旦1#P

設(shè),4={.v|^(.v)},B={x|夕(.v)},若,4=B,則〃O夕

老占突硒?力理慳宙

「知識(shí)育親

知識(shí)點(diǎn)1:充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若p,則q”為真（記作0=q）,則p是q的充分條件；同時(shí)q是p的必要條件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

（1）若0=>4且44p,則p是q的充分不必要條件；

（2）若pLq且qnp,則p是q的必要不充分條件；

（3）若0nq且4=則p是q的的充要條件（也說(shuō)p和q等價(jià)）；

（4）若q且44p<則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

對(duì)充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：pnq,則p是q的充分條件，同時(shí)4是

p的必要條件.所謂“充分”是指只要p成立，q就成立；所謂“必要”是指要使得°成立，必須要q成立

（即如果q不成立，則p肯定不成立）.

【診斷自測(cè)】（2024?北京西城?二模）己知aeR,》eR.則“必>1”是""十/>?”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

知識(shí)點(diǎn)2：全稱量詞與存在量詞

（1）全稱量詞與全稱量詞命題.短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)

“V”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題”對(duì)A1中的任意一個(gè)x,有/?（無(wú)）成立“可

用符號(hào)簡(jiǎn)記為“VxeM,p（x）”,讀作”對(duì)任意尤屬于有p（尤）成立

（2）存在量詞與存在量詞命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符

號(hào)“三”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的一個(gè)％,使p（Xo）成立”

可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“玉尸（X。）”，讀作“存在M中元素玉,使p（x。）成立”（存在量詞命題也叫存在性命

題）.

【診斷自測(cè)】下列命題中的假命題是()

A.3xeR,log2x<0B.3XGR,COSX=1

C.VxGR,x2>0D.VxGR,2X>0

知識(shí)點(diǎn)3：含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p：x/x￡A1,p(x)的否定可為土：oEM,rX%).

(2)存在量詞命題p：玉：owM,p(%0)的否定為也￡加，力(兀)?

【診斷自測(cè)】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知命題p:X/x￡Z,%220,貝Ijr?為()

A.eZ,x2<0B.Z,x2<0

C.GZ,x2<0D.Z,x2<0

解題方法總結(jié)

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)A={x|p(x)},3={x|<7(x)}.

(1)若A=3,則p是q的充分條件(°=>q),4是p的必要條件；若則p是4的充分不必

要條件，q是p的必要不充分條件，即且q%p；

簡(jiǎn)記：“小=>大”.

(2)若3=A,則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若A=3,則p與q互為充要條件.

2、常見(jiàn)的一些詞語(yǔ)和它的否定詞如下表

原詞語(yǔ)等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一個(gè)有一個(gè)

否定詞語(yǔ)不等于小于等于大于等于不是不都是某個(gè)至少有一個(gè)都

(<)(>)兩個(gè)沒(méi)有

(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合/中的每一個(gè)元素x證明其成立，要判斷

全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合"中的一個(gè)無(wú)。，使得其不成立即可.

(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合拉中能找到一個(gè)七使之成立即可，否則這

個(gè)存在量詞命題就是假命題.

題型洞察

題型一：充分條件與必要條件的判斷

【典例1-1］（2024?浙江寧波?二模）已知平面a,￡,7,ac?=/,則“/_L/”是“e_L7且尸_L7”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2】（2024?湖南?二模）已知實(shí)數(shù)a>6>0,則下列選項(xiàng)可作為。-6<1的充分條件的是（）

A.\［a—y/b=1B.------=—

ba2

a

C.2-2*=1D.log2a-log2Z?=l

【方法技巧】

1、要明確推出的含義，是p成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要條件在面對(duì)集合問(wèn)題時(shí)，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

【變式1-1］（2024?遼寧沈陽(yáng)?二模）已知向量4=（2,4）,6=（3,-1）,貝以=應(yīng)”是“（“+助工卜-助”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

ab

【變式1-2］（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a,，eR,則“"<0”是“時(shí)+帆=?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-31（多選題）已知0是r的充分而不必要條件，q是廠的充分條件，s是廠的必要條件，q是s的必

要條件，下列命題正確的是（）

A.r是q的充分條件B.p是q的充分條件

C.廠是q的必要而不充分條件D.r是s的充分而不必要條件

題型二：根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍

【典例2-1】設(shè)xeR,a<b,若"aWZ/'是"尤2+左_240”的充要條件，貝防-〃的值為（）

A.0B.-3C.3D.2

【典例2-2】給出如下三個(gè)條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請(qǐng)從中選擇補(bǔ)充到下面橫線上.

已知集合尸={x|T<k<5},S=［x\l-m<x<3+2m^,存在實(shí)數(shù)加使得"xeP"是"xeS”的___條件.

【方法技巧】

1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含關(guān)系.

2、把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參

數(shù)的不等式求解.在充分必要條件求解參數(shù)取值范圍時(shí)，要注意端點(diǎn)能否能取到，容易出錯(cuò).

【變式2-1］已知命題P：“方程a/+2尤+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根”，若P為真命題的一個(gè)必要不充分條件為

a<m+l,則實(shí)數(shù)用的取值范圍是

22

【變式2-2】已知集合40B={x|x-2ar+a-l<0},若A”是“x?3”的必要非充分條

件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【變式2-3］已知命題p:4-x46,q:x2a-l,若"是q的充要條件，則”

題型三：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

【典例3-1】下列正確命題的個(gè)數(shù)為（）

①VxeR,X2+2>0；②VxeN/wi；③HxeZ.x'vl；@3xeQ,x2=3.

A.1B.2C.3D.4

【典例3-2］（2024?高三?北京通州?期中）下列命題中的假命題是（）

A.VxeR,（g）>0B.HreR,%>苫

C.VxeR,2|A|>1D.HxeR,tanx>1

【方法技巧】

1、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷既要理解漢字意思，又要使用數(shù)學(xué)結(jié)論.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的真假性判斷相對(duì)簡(jiǎn)單，注重細(xì)節(jié)即可.

【變式3-1】下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）

A.3jreR,l+siiu<0

B.每個(gè)等腰三角形都有內(nèi)切圓

C.VxeR,x2+2x>-1

D.存在一個(gè)正整數(shù)，它既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)

【變式3-2］（2024?廣東東莞?三模）已知全集U和它的兩個(gè)非空子集A,8的關(guān)系如圖所示，則下列命

C.3x&B,xeAD.VxgB,xeA

【變式3?3】（2024?福建廈門(mén)?模擬預(yù)測(cè)）已知集合M,N滿足McNwO,貝1J（）

A.VXGM,XGNB.VxGM,x^N

C.,XGND.BxeM,x^N

題型四：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

【典例4-1】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知命題“對(duì)于Vxe（O,+?））,+為真命題，寫(xiě)出符合條件

的。的一個(gè)值：—.

TT1T

【典例4-2]（2024?高三?湖北武漢?期末）若命題“V%e,tan2%+22〃乃是假命題，則實(shí)數(shù)加

_oo

的取值范圍是.

【方法技巧】

1、在解決求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題上，可以先令兩個(gè)命題都為真命題，若哪個(gè)是假命題，去求真命題

的補(bǔ)集即可.

2、全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問(wèn)題，要注意端點(diǎn)是否可以取到.

【變式4-1]若命題"XZxeR,（a+lW+x+GO”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為一.

【變式4-2]（2024?遼寧?三模）若“土?0,內(nèi)），使尤2一狽+4<0”是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

【變式4-3]（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）命題。：存在使得函數(shù)〃力=》2-2制在區(qū)間[a,4w）

內(nèi)單調(diào)，若P的否定為真命題，則。的取值范圍是—.

題型五：全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

【典例5-1】（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）命題“VxeR,勘eN*,〃>無(wú)的否定形式是（）

A.VXGR,V〃EN*，n<x2B.*wR,0neN*,rKx2

C.3XGR,sN*,nWx1D.3XGR,GN*,rKx1

【典例5-2]（2024?陜西商洛?三模）命題“對(duì)任意的工￡凡/一%2+120，，的否定是（）

A.不存在X￡R,%3_%2+”0B.存在Y+iwo

C.存在X￡R,%3_%2+]<0D.對(duì)任意的X￡R,%3一%2+1>0

【方法技巧】

含量詞命題的否定，一是改寫(xiě)量詞，二是否定結(jié)論.

【變式5-1]（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）命題引目T』,x+W<0的否定是（）

A.3XG[-1,1],X+|X|>0

B.VXG[-1,1],X+|X|>0

C.Vx-1)U(1,+O?),A:+|X|>0

D.VxG(-<x>,-1)u(1,+??),x+|x|<0

【變式5-2】已知命題(cosO『V(siW則()

A.-np:30e|,(COSO*°>(sin。廣,且r7是真命題

s，n

B.I，(cos0)°>酬。葉,且r7是假命題

可:me￡1s

C.,(cos。*'>(sin<\且力是假命題

，12

D.^p:\/0e1(cosdf'>(sinO廣,且力是真命題

【變式5-3］（2024?貴州遵義?一模）已知命題o：Vx>l,lnx>；-則引為（）

A.\fx>1,Inx<——§3B.3xVI,Inx<——3

C.3xW1,InxV-------D.3x>1,InxW--------

33x333x3

1.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）“x為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

1.（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)xeR,則“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

2.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)｛q｝是公差不為。的無(wú)窮等差數(shù)列，貝廣｛%｝為遞增數(shù)列”是“存

在正整數(shù)N。，當(dāng)〃〉N。時(shí)，%>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知aeR,則“a>6”是>36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1.設(shè)集合&=滿足條件p},3={x|x滿足條件q}.

(1)如果那么p是q的什么條件？

(2)如果那么p是q的什么條件？

(3)如果A=3,那么p是4的什么條件？

試舉例說(shuō)明.

2.在下列各題中，判斷p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既