廣州某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024年9月廣附高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)問(wèn)卷

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一.單選題（8道，共40分）

1.已知A={疝＜x＜2},3={x|x＜0,若“xeA”是“xeB”的充分不必要條件，貝/的取值

范圍是（）

A.a<\B.a>lC.a<2D.a>2

2.已矢口z=1—i是方程z?+2〃z—。=0(〃,b￡R)的根，貝!Ja+Z?=()

A.-3B.-1C.2D.3

3.已知=兀，b\nb=兀，c=G則（)

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

已知1

4.Gf0,—,cos2cir-sin2a=—且3sin/7=sin(2a+￡),則a+6的值為()

7

A71c兀

A-12D.-

-73

5.已知函數(shù)〃x）=sin（2x+°）（。＜。＜兀），,則（）.

A.〃。)=;

B./（尤）的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱

O

C./（x）在T"］上單調(diào)遞減

D--

6.在某種藥物實(shí)驗(yàn)中，規(guī)定100ml血液中藥物含量低于20mg為“藥物失效”.現(xiàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)動(dòng)

物血液中藥物含量為0.8mg/ml,若血液中藥物含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，那么至少

經(jīng)過(guò)（）個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”.（參考數(shù)據(jù)：但2。0.3010）

A.4B.5C.6D.7

7.已知圓臺(tái)的體積為電玩，母線長(zhǎng)為3,高為石，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）

3

A.36KB.24兀C.18兀D.12兀

8.已知。為DABC的內(nèi)心，角A為銳角，sinA=半，若15=〃而+21^,則〃+彳的最

大值為（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

二.多選題（3道，共18分）

9.已知。>0,6>0,且a+b=l,則下列不等式成立的是（）

A.abN—B.—I—225C.y[a+y[b<-x/2D.a1<a

4ab

10.如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A與6A中，點(diǎn)p在線段8c上運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)給出下

列結(jié)論：則正確的選項(xiàng)為（）

A.直線A"與直線。尸所成角的大小不變

B.平面_L平面AG。

C.點(diǎn)P到平面AC。的距離為定值空

3

D.存在一點(diǎn)P,使得直線AP與平面BCGg所成角為J]T

11.一個(gè)同學(xué)投擲10次骰子，記錄出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，在下列情況中可能出現(xiàn)點(diǎn)

數(shù)6的有（）

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為4

B.中位數(shù)為4,眾數(shù)為3

C.平均數(shù)為2,方差為2.1

D.中位數(shù)為3,方差為0.85

三.填空題（3道，共15分）

12.從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如

圖的頻率分布直方圖，則估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的75%分

位數(shù)為分.

13.已知口ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,是口ABC的中線.若AO=2,

且b?+c2+bc-(ZJCOSC+ccosB)-,則□ABC面積的最大值為

14.設(shè)函數(shù)/（尤）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且滿足:

(i)；（ii）存在正常數(shù)。使數(shù)a）=L

則函數(shù)的一個(gè)周期是

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

四.解答題(13,15,15,17,17,共77分)

15.已知函數(shù)/(司=瓜皿3+夕)(0<0<1,同<與的圖象過(guò)［一:,。］，兩點(diǎn)，將

/(X)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的縱坐標(biāo)不變，再向右平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度，得

到函數(shù)g(x)的圖象.

⑴求函數(shù)g(無(wú))的解析式；

⑵若函數(shù)尸(x)=g(x)-當(dāng)>0,求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間.

16.已知斜三角形ABC.

(1)借助正切和角公式證明：tanA+tanB+tanC二tanAtanBtanC.

并充分利用你所證結(jié)論，在①②中選擇一個(gè)求值：

①tan200+tan40°+V3tan20°tan40°,

tan200+tan400+tan120°

②

tan20°tan40°

(2)若C=135。，求tanA+tanB的最小值.

17.如圖，在平行四邊形ABC。中，AP1BC,垂足為P,E為CD中點(diǎn),

⑴若麗?府=32,求AP的長(zhǎng)；

⑵設(shè)I麗|=0，IACl=V5，cosZBAC=—,AP

10

=xAE+yAC＞求沖的值.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

18.如圖，在四棱錐P-ABC￡>中，底面A3CD為平行四邊形，ABAD=60°,PD=AD=1,

PB=AB=1.

(1)證明：B。/平面PAD；

(2)當(dāng)二面角PA-8的正切值為加時(shí)，求直線8。與平

面PBC所成角的大小.

19.已知有序數(shù)對(duì)x：｛尤1，尤2，再｝，有序數(shù)對(duì)丫：｛%,%，%｝，定義"。變換"：％=匕-尤2］，

%=民-引，為=|尤3-無(wú)］1，可以將有序數(shù)對(duì)X轉(zhuǎn)化為有序數(shù)對(duì)Y.

⑴對(duì)于有序數(shù)對(duì)X:｛3,4,5｝,不斷進(jìn)行“。變換”，能得到有序數(shù)對(duì)｛0,0,0｝嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵設(shè)有序數(shù)對(duì)X:｛占,馬,不｝經(jīng)過(guò)一次“C變換”得到有序數(shù)對(duì)Y-.｛y,2,x\(x>y),且有序數(shù)對(duì)

Y的三項(xiàng)之和為2024,求上的值.

X

⑶在(2)的條件下，若有序數(shù)對(duì)Y經(jīng)過(guò)幾次“。變換”得到的有序數(shù)對(duì)的三項(xiàng)之和最小，求”

的最小值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

2024年9月廣附高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)答案

1.D,2.A,3.A,4.D,5.D,6.D,7.D

8.C

【詳解】方法一：點(diǎn)。是DABC內(nèi)心的充要條件是：aOA+bOB+cOC=Q，其中BC=a,AC=b,

AB=c,理由如下：^aOA+bOB+cOC=0>則。為+6(國(guó)+通)+c(市+*)=6,

beABAC

整理得（a+8+c）礪+屈+c苑'=6,所以函=-即點(diǎn)。在/B4c的角平

a+b+c［洞|Zc|

分線上，同理可證，點(diǎn)。在/ABC,NBC4的角平分線上，即點(diǎn)。為O4BC的內(nèi)心.

故而=^-荏+—衣，故〃+八^^=」=1+4

a+b+ca+b+ca+b+cb+c

因?yàn)榻茿為銳角，sinA=姮，所以cosA=（.由定理得到

88

COS」+j7J22772

=—nb+c——bc=a

2bc84

又因?yàn)閊+白（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,

26=c所以所以

ca

cb

，=1+j+JI54

“故"+2*'

4+4b+cV16

方法二：如圖，延長(zhǎng)A。，交BC于點(diǎn)，

設(shè)CD=yCB,即A。-AC=y^AB—ACj,故AD=yAB+(1-y)AC,

設(shè)AO=xAD=尤卜48+(1-y)AC)=xyAB+x(\-y^AC,

/n-xy

則/?/+〃=x,作DABC的內(nèi)切圓與8c邊切于點(diǎn)E,與A3切于點(diǎn)R

A=x(l-y)

、.AA-A

2sin一cos一2tan一

設(shè)圓O半徑為廣，??,sinA=J"且A為銳角，sinA=2singcosg=22二2

.2A2A2Al

\822sin——Feos—tan——Fl

222

cA

2tan—

解得tan^=聲或瓦（舍去），故sin^=/cos2

故.....-

2Al

tan—+12

2

答案第1頁(yè)，共7頁(yè)

AAA]0p1

又si叱+c”l,解得sin5="負(fù)值舍去，=“即A°=4r，^OD>OE=r,

AO4r4

x=^=：故選:c.

AD4r+\OD\

9.BCD

10.ABC

11.ABD

【詳解】對(duì)于A：10次點(diǎn)數(shù)為U,1,1,4,4,4,4,4,6符合題意，故A正確;

對(duì)于B：10次點(diǎn)數(shù)為3,3,3,3,4,4,4,6,6,6符合題意,故B正確；

對(duì)于C：設(shè)10次點(diǎn)數(shù)為巧，工2，%3，%4，%5,4，工7，/，入9，占0且114％2（％34％4?毛4入6（入7（入8<入94玉0，

平均數(shù)為加，

假設(shè)有一次點(diǎn)數(shù)為6,不妨設(shè)占。=6,由方差公式?=丁+￥+4+”+與3+*+>+后+琉_/,

代入相關(guān)數(shù)據(jù)得：

2.1=x；+x-+*不+/+x；+36-4,即x；+考+尤；+*+尤；+x；+考+x；+無(wú)；=25,

顯然％最大只能取4，

不妨設(shè)/=4得x；+%；+x；+xj+%；+x；+4+=9,此時(shí)方程無(wú)解，所以％9。4,

當(dāng)天=3時(shí)得：X；+考+后+%：+石+工；+考+片=16,/最大只能取3,

不妨設(shè)4=3得%;+x；+x；+x：+x；+x；+x；=7,此時(shí)方程有唯一■解，

再

=x2x3=x4=x5=x6=Xy=1,

即10次點(diǎn)數(shù)為1,1，1,1，1,1，1,3,3,6,但此時(shí)平均數(shù)為1.9不合題意，所以％W3,

當(dāng)%9=2得入；+考+%；+%：+*+片+考+工；=21取%5=冗6=冗7=入8=2得片+考+君+%：=5,

此時(shí)方程無(wú)解（其余情況也均無(wú)解），所以當(dāng)/=1時(shí)，平均數(shù)為1.5不合題意.

綜上所述，假設(shè)有一次點(diǎn)數(shù)為6不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：10次點(diǎn)數(shù)為3,3,3,3,3,3,3,4,4,6符合題

意，故D正確.故選：ABD

12.86.25

13.4^/3

答案第2頁(yè)，共7頁(yè)

【詳解】因?yàn)??2+H+^=(8850+8053)2,由正弦定理可得

sin2B+sin2C+sinBsinC=(sinBcosC+sinCcosB)2,又

sinBcosC+sinCcos3=sin(3+C)=sin(7i—A)=sinA,所以sii?B+sii?C+sinBsinC=sir?A,由

正弦定理可得。2+°2+A=Q2,

由余弦定理。2=廿+02-2bccosA,所以cosA=-1，又4?(0,兀)，所以A=?，

___,1—.1___，

因?yàn)锳O是口ABC中BC邊上中線，則AD.AB+iAC,BP2AD^AB+AC，所以

4AD2=AB2+AC2+2AB-AC^\6=b2+c2-bc>2bc-bc,可得bc<16,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=4時(shí)等

號(hào)成立，故以詆=；^^114=￥A446，即口ABC面積的最大值為4vL

故答案為：4A/3

14.4a

“占)小2)+1

【詳解】令x=%-々，/（一耳=〃々一玉）==-〃占-々）=一〃尤）,

/(x2)-/(x2)

???〃尤）是奇函數(shù).,//(x+a)=/[%-(-?)]=

〃x)T]

=/,x]--,(y(a)=l),/.f(x+2a)-f\(x+a\+a\=1——=--

J

〃x)+i'l〃x)-if(xy

7Wi+

/.f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=2.)=/(x),

??J(x)是以4a為周期的周期函數(shù).

答案第3頁(yè)，共7頁(yè)

15.

【詳解】⑴因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=6sin(0x+°XO<0<l,|d<1)的圖象過(guò)(-彳，。)，C|，6)兩點(diǎn)，所

以工■+左T=兀，即(工+Qx—=71,解得(v=—+k,keZf

44CD2

又因?yàn)?<G<1,則&=g.所以6sin(gxg+9)=6,

TTTTTT

所以一+夕=—+2/CTI,左EZ,則。=—+2E,左￡Z,

623

又因?yàn)樗韵?"|,即/(x)=J^sin(；x+_|),

所以將Ax)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的g,縱坐標(biāo)不變，

再向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得g(x)=百sinx.

巧

(2)由(1)知J,尸(x)=6sin無(wú)一方

因?yàn)?0)>。，所以6sin尤一三■>(),即sinx〉］,

TT57r

解得—+2k7i<x<--F2for,左￡Z,

66

所以尸(無(wú))的單調(diào)遞增區(qū)間為(弓+2版卷+2版］,左€2單調(diào)遞減區(qū)間為1+2E，*2far),%eZ

16.

[詳角軍](1)'：C=TI—{A+B),tanC=tan[K-(A+B)]=-tan(A+B),

-tanA+tanB

tanC=--------------tanC(1-tanAtanB)=-(tanA+tanB),

1-tanAtanB

**.tanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC；①tan200+tan40°+石tan20°tan40°

=tan20°+tan40°+tan120°+V3tan20°tan40°+43=tan20°tan40°tan120°+百tan20°tan40°+V3

=-V3tan20°tan40°+>/3tan20°tan40°+百=百；

tan20°+tan40°+tan120°tan20。tan40。tan120。=tan120°=—\/3；

tan20°tan40°tan20°tan40°

(2)vC=135°,則(r<A<45。，0°<B<45°,且A+5=45。,

11

所以tanA〉0,tanB〉0,?.tanA+tan3=-tan1350+tauAtan3tan1350=1—tanAtan521—('4+‘a(chǎn)"B)

4

/.(tanA+tanB)*2+4(tanA+tanB)-4>0,解得tanA+tan322正一2或tanA+tan3<—2夜一2(舍去)，

所以tanA+tan322夜-2,當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB=y[2-1時(shí)取等號(hào)

tanA+tanB的最小值為2后-2.

答案第4頁(yè)，共7頁(yè)

17.

【詳解】（1）???APJLBC,.?.而是衣在而方向上的投影向量，

■,-AP-AC=AP2=|AP|2=32,BpAP=4A/2;

法二：?.,AP_LBC,.,.而?I^=|而H衣|cosNPAC=|而|-|Q|=|而「=32,

即AP=4V2;

（2）在□ABC中，BC2=AB2+AC2-2ABACCOSZBAC==9,

cos人空2+9-5

所以BC=3,V|

2xABxBC2x3xV2V

―兀

因?yàn)?e（0,萬(wàn)），所以8=一，AP=A8sinB=l,BP^ABcosB^l,PC=BC—PB=2,

4

以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PC,R4所在直線分別為無(wú)軸，y軸，建系如圖:

易知產(chǎn)（0,0）,4（0,1）,C（2,0）,。（3,1）,因?yàn)镋為。中點(diǎn),

所以E（|，g）,

AP=（O,-l）,A￡=[j,-1^AC=（2,-1）,

AP=xAE+jAC,.'.

（0,-1）=尤g,-；）+y（2,T）=（?!x+2y,-gx-y）

C5ccf4

丁+2y=0x=-§20

2，解得：J，所以：xy=-y

法二：在□ABC中，BC2=AB2+AC2-2ABAC-cosABAC==2+5-2xV2x75=9,

2

所以BC=3,cosB='C+4'一一.。=”一；=交

2xABxBC2x3xj22

IT

因?yàn)锽e（0,兀），所以2=-,AP=ABsinB=l,BP=ABcosB=l,PC=BC~PB=2,

4

因?yàn)镻C=2PB,所以Q=+而=荏+；前=荏+；（/一！5）=：而+;衣，

又：Q=xAE+yAC=x（AC+CE）+yAC=x（AC-；而）+yAC--|A8+（X+y）AC

124

——x=一x=—

所以：個(gè)=一￡

由平面向量基本定理得：2；,解得：,§3,

x+y：

答案第5頁(yè)，共7頁(yè)

18.

【詳解】（1）在△A①）中，由余弦定理得Br>2=A￡>2+A82-2Ao.A8cosA=l+4-2xlx2x：=3,

_TT

顯然AD?+AD?=AB?，則NAO8=5，即AD/BD,

兀

由AO=P。，AB=PB,BD=BD,得△ABD經(jīng)△PB。，則/尸。3=—,即PCBD,

2

又A￡）nPD=。，PRADu平面R4O,所以平面尸40.

（2）取E4中點(diǎn)E,連接BE,DE,如圖，

由A8=P2,AD=PD,則BE_LPA,DEA.PA,即NBED為二面角。一尸4一8的平面角，

由（1）知，2。工平面PAD,OEu平面PAD,則BD_LDE,BD=6,

于是tan/BED=^=&,DE=—,而尸Z>=AZ>=1,

DE2

貝!]AE=J,PA=日PD2+AD2=PA2，于是PD_LAD,

2

又BDLAD,PDcBD=D,曰0,8。<=平面尸3。，因此A。_L平面P8￡）,

又BCUAD,則3C」平面P8。，過(guò)。作。F_LPB于點(diǎn)/，。尸u平面P8O,于是3C_LOP,

而BCnPB=B,BC,PBu平面P8C,則D尸4平面PBC,

因此直線BD與平面PBC夾角即為ZPBD,

RtZ\PBZ）中，ZBDP=-,sinZPBD=-=-,

2PB2

且,NPBDe（O㈤,^ZPBD=-,

6