2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理

2024年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編六概率、統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理

一、選擇題

1.已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)

2.下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

3.（久-CT的二項(xiàng)展開式中爐的系數(shù)為（）

A.15B.6C.-4D.-13

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位:

kg）并整理部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)612182410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）.

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100的的稻田所占比例超過(guò)40%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（)

1/13

A-IB-Ic-ID-1

6.有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)

從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件出所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件8所選盒中有記事本，事件C：所選盒中

有筆袋，則（）

A.事件/與事件3互斥B.事件/與事件3相互獨(dú)立

C.事件“與事件8UC互斥D.事件/與事件3CC相互獨(dú)立

二、多項(xiàng)選擇題

7.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入

的樣本均值兄=2.1,樣本方差￡2=0.01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（1.8,0」2）,

假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入y服從正態(tài)分布N（元，$2）,則（）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（中

o2）,則尸（Z<g+o）-0.8413）

A.PC￥>2）>0.2B.P（Q2）<0.5

C.P（K>2）>0,5D.P（7>2）<0,8

三'填空題

8.在（備+當(dāng)6的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為.

9.（X-1）6展開式中X，的系數(shù)為.

10.二項(xiàng)式6+乃1。的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是.

11.在（久+l）n的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32,則/項(xiàng)的系數(shù)為.

12.A,B,C,D,E五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.（1）甲選到A的概率為；已

知乙選了4活動(dòng)，他再選擇B活動(dòng)的概率為.

13.某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有4B、C3種題庫(kù)，/題庫(kù)有5000道題，3題庫(kù)有4000道題，C題

庫(kù)有3000道題.小申已完成所有題，他/題庫(kù)的正確率是0.92,8題庫(kù)的正確率是0.86,C題庫(kù)的正

確率是0.72,現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是.

14.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球.記

7〃表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記〃表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則小與"差的絕對(duì)值不超過(guò);的概

率是.

15.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙

的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片

中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄

置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概

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率為.

16.設(shè)集合4中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元

素個(gè)數(shù)的最大值_________.

17.在下圖的4X4方格表中選4個(gè)方格,要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種

選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

II213140

I2223342

13223343

15243444

18.ai=2,?2—4,。3=8,44=16,任意61,bi,bi,ZMGR,滿足｛0+勾|1守＜/44｝=｛瓦+/|1胃＜左4｝,

求有序數(shù)列｛bi,bi,加，兒｝有對(duì).

四'解答題

19.水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱.

（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；

（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)

果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園

中單果的質(zhì)量.

20.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得

到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍

[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

學(xué)業(yè)成績(jī)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)人數(shù)約為多少？

（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）

3/13

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)?

附：公;聲加唱搖Em2>3,841)0.05.

21.已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元，前3次出險(xiǎn)每次賠付0.8萬(wàn)元，第4次賠付0.6萬(wàn)元

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：

(1)求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；

(2)(i)毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差.設(shè)毛利潤(rùn)為X,估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；

(ii)若未賠償過(guò)的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降4%,已賠償過(guò)的增加20%.估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期

毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望.

22.某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)

中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?。分；若至少投中一次，則該隊(duì)

進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?/p>

第二階段的得分總和.

某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與

否相互獨(dú)立.

(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率.

(2)假設(shè)0<p<q.

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段的比賽？

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(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段的比賽?

23.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150

件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

(1)填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩

車間產(chǎn)品的估級(jí)品率存在差異？

(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率2=0.5.設(shè)0為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品

率.如果p>p+1.65jP『),則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù),

能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？(VI前句2.247)

《2_n(ad—bc)2

,—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(爛注)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

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24.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150

件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

CD填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩

車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5.設(shè)。為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品

率.如果0>p+1.65則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù),

能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（6加。12.247）

n(ad—6c)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（相次）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

25.設(shè)加為正整數(shù)，數(shù)列Ql,。2,…，。4加+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)0和勾?（ZVJ）

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后剩余的4%項(xiàng)可被平均分為機(jī)組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列0,…，。4“+2是

(Z,J)——可分?jǐn)?shù)列.

(1)寫出所有的(/,7),1<Z<J<6,使數(shù)列。2,…，。6是G,j)——可分?jǐn)?shù)列；

(2)當(dāng)論3時(shí)，證明：數(shù)歹U6，<22,...?a4H1+2是(2,13)----可分?jǐn)?shù)列；

(3)從1,2,…，4加+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和j&<7),記數(shù)列a”a2,a4m+2是Ci,j)

可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm,證明：Pm二o.

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答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】B,C

8.【答案】20

9.【答案】15

10.【答案】5

U.【答案】10

12.【答案】|；1

13.【答案】0.85

14.【答案】,

15.【答案】1

16.【答案】329

17.【答案】24；112

18.【答案】48

19.【答案】(1)解：從136箱中隨機(jī)挑選兩箱水果樣本空間。共有C%6=卑轡=9180個(gè)樣本點(diǎn)，

ZXX

設(shè)事件M="恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱"則事件M包含的樣本點(diǎn)共以02或4=3468個(gè)，

由古典概率公式可得P(M)==圣

loU413

(2)解：因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)普T，

所以8箱水果中抽到一級(jí)果8x+=6箱，二級(jí)果8x=2箱；

綜上8箱水果中有一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱；

(3)解:設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為禮方差為蹬，二級(jí)果質(zhì)量為歹，方差為明，總體樣本平均質(zhì)量為m平

均值，方差為S2,

由已知可得土=303.45,Sj.=603.46,y=240.41,Sy=648.21

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所以血=X303.45+于怨山X240.41=285.44,

lZU-r4o1ZU-T4O

2J20ax(603.46+(303.45-285,44)2]+x[648.21+(240.41-285,44)2]=1427.27.

S=IZU-r1^7t1oLJJ.ZU十4,。黑LJ

預(yù)估：果園中單果平均質(zhì)量為舄%x303.45+引熹虧pX240.41=287.69克.

lUZ-rJ4,J.U/十341

綜上168個(gè)水果的平均數(shù)285.44克；方差1427.17克2,整個(gè)果園的單果的平均質(zhì)量約287.69克

20.【答案】（1）解：由表可知，鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)占比為1791方+28=第

則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000X||=12500;

（2）解：該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為

也[苧X139+x191+X179+X43+X28]?0.9-

□oULLLZZLJ

則該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí)；

（3）解：由題，列出2x2聯(lián)表，如表所示:

口2)其他合計(jì)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

合計(jì)222358580

零假設(shè)Ho：該地區(qū)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無(wú)關(guān),

580x(45x308-177x50)2

23,976>3,841-則零假設(shè)不成立,

Z95x485x222x358

即有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān).

60+30+10_1

21.【答案】（1）解：由題意可得：隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的頻率為

800+100+60+30+10—奇

用頻率估計(jì)概率，所以“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”概率為余.

（2）解：（i）設(shè)丫為賠付金額，

由題意可知：X=0.4—匕且y可取0,081.6,2.4,3,

則有p(y=0)=瑞=Q(y=0,8)=揣=白

P(Y=1.6)=-JQQQ=so'PW=2.4)=-JOOQ=同，

414Q1

可得E(y)=0xqJ+0.8x-3-\pJ+1.6x-JpT\jJ-+2.4x彳U+3x]UU=0.278,

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0.4-0.278=0.122(萬(wàn)元);

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(ii)由題意可得：保費(fèi)的變化為0.4義卜96%+0.4工號(hào)x1.2=0,4032,

所以估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望0.122+0.4032-0.4=0.1252(萬(wàn)元).

22.【答案】(1)解：甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲在第一階段至少投中1次，乙在第二

階段也至少投中1次，

記甲在第一階段至少投中1次的事件為A,乙在第二階段也至少投中1次的事件為B,

則P(7)=0.63,P(巨)=0.53,故比賽成績(jī)不少于5分的概率「=(1-P⑷)(1-P⑥)=(1-

0.63)(1-0.53)=0.686.

(2)解：(i)若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為=[1-(1-

q)3]“3,

若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為P?=U-(1-P)3]q3,

因?yàn)?<p<q,所以P十一Pz=q3—(q-pq)3—p3+(p_pqy

=(q—P)(q2+pq+p2)+(p-q)?[(p-pq)2+(q—pq)2+(p-pq)(q-pq)]

—(p—q)(3p2/_3P2q_3Pq2)

=3Pq(p-q)(pq-p-q)=3Pq(p-q)[(l-p)(l-q)-1]>0,

所以P用〉P乙，故甲參加第一階段比賽；

(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)X的所有可能取值為0,5,10,15,

P(X=0)=(1—p)3+[1—(1—p)3]?(1—q)3,

P(X=5)=[1—(1—p)3]Wq-(l—q)2,

P(X=10)=[1-(1-p)3]-Cjq\l-q),

P(X=15)=[l-(l-p)3]-q3,

則E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3P2+3p)-q,

若乙先參加第一階段比賽，比賽成績(jī)y的所有可能取值為0,5,10,15,

同理E(Y)=15(g3—3q2+3q)-p

E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3Pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3),

因?yàn)?<p<q,則p—q<0,p+Q—3<1+1—3<0,

則(P-q)pq(p+q—3)>0,

故應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

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23.【答案】(1)解：根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下所示:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品總數(shù)

甲車間262450

乙車間7030100

總計(jì)96541

將上面的數(shù)值代入公式計(jì)算得：K2聯(lián)流藍(lán)裂塔=4.6875,

又因?yàn)?.841<4,6875<6.635,

所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間

產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.

(2)解：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為患=0.64,

所以用頻率估計(jì)概率可得0=0.64,

根據(jù)題意，升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5,

則p+1.65=0.5+1.65『5喘。司~0.5+1.65x1吃7七°-568,

可知p>p+1.65

所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.

24.【答案】(1)解：根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下所示：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品總數(shù)

甲車間262450

乙車間7030100

總計(jì)9654150

將上面的數(shù)值代入公式計(jì)算得:

2_150(26X30—24X70)2_75_

K—一50x100x96x54--

又因?yàn)?.841<4,6875<6.635,

所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間

產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.

(2)解：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為患=0.64,

所以用頻率估計(jì)概率可得。=0.64,

根據(jù)題意，升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率p=0.5,

11/13

則p+1.65JP(；P)=0.5+1.65臚(需.5)儀05+165火情景?0.568>

可知「>p+1.65JP(；P),

所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.

25.【答案】(1)解：等差數(shù)列ai,a2,a6刪去兩項(xiàng)后，余下4項(xiàng)成等差數(shù)列，此時(shí)剩下的數(shù)列

若想構(gòu)成數(shù)列，必然是公差為d的數(shù)列，

即可能的情況為ai,a2,a3,的或a2,as,a-as,或a3,a4,as,ae,

故刪去的兩項(xiàng)(i,j)可以為(5,6),(1,6),(1,2)

(2)證明：依題意得，數(shù)列ai,a2,....a4m+2是(2,13)——可分?jǐn)?shù)列，

即ai,a3,a4,…，aio,an,an,au,a4m+2,易分析連續(xù)的四項(xiàng)為等差數(shù)列，

即ai4,ai5,……，a4m+2,后共有(4m-12)連續(xù)項(xiàng)，此時(shí)必然構(gòu)成等差數(shù)列,

即證得ai,a3,a4,…，aio,a”，ai3,au,為等差數(shù)列，則數(shù)列ai,a2,…，a4m+2是(2,13)----

可分?jǐn)?shù)列，

通過(guò)分析可知，可以按照｛的，。4