2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角形

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角形

選擇題（共10小題）

1.在學(xué)習(xí)了《勾股定理》一課后，小明同學(xué)對于它的證明方式非常好奇，并動手操作，完成了其中一些

證明并給出了示意圖.請你根據(jù)示意圖幫助小明同學(xué)判斷，一定不能完成定理證明的是（）

B.

2.已知關(guān)于尤的不等式組［“一。切，至少有兩個整數(shù)解，且存在以2,a,5為邊的三角形，則。的整

（2久+128

數(shù)解有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

3.將一副三角板按如圖所示擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行,

4.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三

角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形面積為136,小正方形面積為16,則tan。的

值為（）

5.已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C,。對應(yīng)的數(shù)字分別為-1,1,x,7,點(diǎn)C在線段5。上且不與端點(diǎn)重合，若

線段A3,BC,CZ）能圍成三角形，則％的取值范圍是（）

4烏gp.

61X7

A.l<x<7B.2<x<6C.3<x<5D.3<x<4

6.如圖，直線MN〃尸。，等腰直角三角板ABC的底角頂點(diǎn)A落在尸。上，直角頂點(diǎn)C落在MN上，若N

A.70°B.65°C.60°D.55°

7.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波

克拉底月牙"，當(dāng)AC=4,8C=2時，則陰影部分的面積為（）

A.4B.4TCC.8nD.8

8.如圖，在△ABC中，AO_L8C于點(diǎn)。，點(diǎn)￡■是8C的中點(diǎn).設(shè)AB=c,AC=b,AD=h,BD=m,CD

=n,m<n9且層=根〃.有以下三個結(jié)論：

①。2=加2+根幾；

1

②點(diǎn)A,B,C在以點(diǎn)E為圓心，5（血+力為半徑的圓上；

③廿+機(jī)2>3層.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合

的紐帶之一.如圖，當(dāng)秋千靜止時，踏板8離地的垂直高度8E=0.7m,將它往前推3機(jī)至C處時（即

水平距離。=3%），隨板離地的垂直高度CT=25w,它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）

1MI

JVJ

?.F-..................E

A.3.4mB.5mC.4mD.5.5m

10.如圖，直線/i〃/2,等腰直角三角形ABC和等邊△。石尸在/1,/2之間，點(diǎn)A,。分別在/1,/2上，點(diǎn)8,

C,E,b在同一直線上.若Na=53°則的度數(shù)為（）

_____A____________i

D’2

A.50°B.52°C.54°D.56°

二.填空題（共5小題）

11.如圖，在四邊形ABC。中，BCLBD,BC=2,BD=4.作垂足為點(diǎn)M,連接CM,若AM

=3,則CM+AD的最小值為________

A

B/4

C

12.如圖，把四邊形的某些邊向兩方延長，其它各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹

四邊形.如圖，在凹四邊形ABCD中，BC=2,AB=2痘,ZB=90°,NC=30°,ZA=15°,則

凹四邊形ABCD的周長為

13.如圖，已知/BAC=60°,AD是角平分線且4。=20,作AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F,DELAC,

14.如圖，4ABC的頂點(diǎn)都在以邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上，則BC邊上的高等

于.

15.如圖，2。是△ABC的角平分線，DE_LBC于點(diǎn)、E.若3E=3,△2DE的面積為1.5,則點(diǎn)。到邊AB

的距離為.

16.如圖，△ABC中，AB=2AC,點(diǎn)尸為8c延長線上一點(diǎn).

⑴若，,求抬的長；(請從信息“①/E4C=/B,?BC=6,③CP

=2”中選擇兩個分別填入橫線中，將題目補(bǔ)充完整，并完成解答.)

(2)在(1)的條件下，當(dāng)AC=A尸時，求△ABC的面積.

(1)求證：AB=DE；

(2)若NA=25°,NE=35°,求/EC。的度數(shù).

18.如圖，已知△ABC,ZC=50°,將45沿著射線BC的方向平移至。E,使E為8C的中點(diǎn)，連接A。,

記DE與AC的交點(diǎn)為O.

(1)求證：△A0￡)義△COE；

(2)若AC平分/BA。，求NB的度數(shù).

19.某校項目式學(xué)習(xí)小組開展項目活動，過程如下：

項目主題：測量某水潭的寬度.

問題驅(qū)動：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測量水潭的寬度？

組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形

硬紙板，米尺，測角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機(jī)，確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進(jìn)

行實地測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計算水潭的寬度.

成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時的兩種測量方案:

方案方案①方案②

—w

測量示意圖

L

圖②

C1-------

圖①

測量說明如圖①，測量員在地面上找如圖②，測量員在地面上找

一點(diǎn)C,在BC連線的中點(diǎn)。一點(diǎn)C,沿著BC向前走到點(diǎn)

處做好標(biāo)記，從點(diǎn)C出發(fā)，。處，使得CO=AC,沿著

沿著與A2平行的直線向前AC向前走到點(diǎn)E處，使得

走到點(diǎn)E處，使得點(diǎn)E與點(diǎn)CE=BC,測出。、E兩點(diǎn)之

A、。在一條直線上，測出間的距離

CE的長度

測量結(jié)果CE=20m,BD=CD,CE//AC—CD,BC—CE,DE—2Qm

AB

請你選擇上述兩種方案中的一種，計算水潭的寬度A艮

20.將△A8C和如圖放置.已知ZD+ZC//F=18()°,AB//EF,求證：AABC^ADEF.

A

//\

BECD

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之三角形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.在學(xué)習(xí)了《勾股定理》一課后，小明同學(xué)對于它的證明方式非常好奇，并動手操作，完成了其中一些

證明并給出了示意圖.請你根據(jù)示意圖幫助小明同學(xué)判斷，一定不能完成定理證明的是（）

【考點(diǎn)】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】c

【分析】由正方形面積公式、三角形面積公式以及梯形面積公式分別對各個選項進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.設(shè)計的圖形中，如下圖，

c2=4x彳ab+(a—6)2,

.'.c1~2ab+a1-2ab+b2,

.".c1=a2+b2,

???可完成定理證明，故本選項不符合題意;

B.設(shè)計的圖形中，如下圖，

1111

.".-ab+~abc7=&(a+b)(a+b),

/.2ab+c2—cP'+lab+b1,

'.c^+kr—c1,

可完成定理證明，故本選項不符合題意；

C.設(shè)計的圖形中，不能完成勾股定理的證明，符合題意;

D.設(shè)計的圖形中，如下圖，

VZA=ZA,ZACB=ZADC=90°,

AADC^AACB,

.ACAD

??一,

ABAC

：.AC2=AB9AD,

?:/B=/B,ZBCA=ZBDC=90°,

:.XBCNSXBDC,

.BCBA

??—,

BDBC

:.Bd=AB?BD,

.'.Ad+B^^AB-AD+AB-BD^AB(AD+BZ5)=AB2,即a2+c2=c2,

可完成定理證明，故本選項不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明、正方形面積公式、三角形面積公式以及梯形面積公式，相似三角

形的性質(zhì)與判定，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.已知關(guān)于x的不等式組［,至少有兩個整數(shù)解，且存在以2,a,5為邊的三角形，則。的整

t2x+1>8

數(shù)解有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解.

【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】依據(jù)不等式組至少有兩個整數(shù)解，即可得到。>5,再根據(jù)存在以2,a,5為邊的三角形，可

得3<a<7,即可得到結(jié)論.

【解答】解：解不等式尤-。<0,可得無<4,

解不等式2x+l28,可得尤》3.5,

：不等式組至少有兩個整數(shù)解，

??ci）>5,

又?.?存在以2,a,5為邊的三角形，

：.a的取值范圍是5<a<7,

的整數(shù)解有1個，

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用，求不等式組的解集應(yīng)遵循

以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

3.將一副三角板按如圖所示擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行,

【考點(diǎn)】等腰直角三角形；平行線的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NA8C的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得/a的度數(shù).

【解答】解：???含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，如圖所示:

VZC=30°,

.?.Za=180°-45°-30°=105°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的特點(diǎn)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握這些知識是

解題的關(guān)鍵.

4.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三

角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形面積為136,小正方形面積為16,則tan0的

3

D.-

4

【考點(diǎn)】勾股定理的證明；解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】設(shè)小直角三角形的直角邊為a,b,根據(jù)兩個正方形的面積得到4X*6(a-6)2=136,(a-b)

2=16,進(jìn)而推出Z?=〃-4,ab=60,則可得方程〃(〃-4)=60,

解方程求出〃=10,則Z?=〃-4=6,再由正切的定義可得tan8=怖=￥=號.

【解答】解：設(shè)小直角三角形的直角邊為a,b,a>b,大正方形面積為136,小正方形面積為16,

.*.4x(a-b)2=136,(a-b)2=16,

：?2ab+(〃-Z?)2=136,

a-Z?=4,

.,.2ab+16=136,b=a-4,

?*60,

??ci（。-4）=60,

解得a=10或a=-6（舍去），

.".b—a-4=6,

tan0=者=當(dāng)=率

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了求角的正切值，解一元二次方程，解題的是掌握還是得靈活運(yùn)用.

5.已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C,。對應(yīng)的數(shù)字分別為-1,1,無，7,點(diǎn)C在線段BD上且不與端點(diǎn)重合，若

線段AB,BC,8能圍成三角形，則x的取值范圍是（）

A_BCDr

6ix7>

A.l<x<7B.2<x<6C.3Vx<5D.3cx<4

【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；數(shù)軸；解一元一次不等式組.

【專題】實數(shù)；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；三角形；運(yùn)算能力.

【答案】C

僅-1+7-%>2①

【分析】由三角形三邊關(guān)系定理得：h+x-l>7-x@,得到不等式組的解集是3〈尤<5,即可得到

[2+7-x>x-l@

答案.

【解答】解：由點(diǎn)在數(shù)軸上的位置得：AB^l-（-1）=2,BC=x-1,CD=7-x,

（x-1+7-x>2?

由三角形三邊關(guān)系定理得：12+x—l>7—x②，

（2+7-%>%-1（3）

不等式①恒成立，

由不等式②得：尤>3,

由不等式③得：尤<5,

不等式組的解集是3Vx<5,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，數(shù)軸，解一元一次不等式組，關(guān)鍵是由三角形三邊關(guān)系定理得

到一元一次不等式組.

6.如圖，直線MN〃尸。，等腰直角三角板A8C的底角頂點(diǎn)A落在尸。上，直角頂點(diǎn)C落在上，若/

A.70°B.65°C.60°D.55°

【考點(diǎn)】等腰直角三角形；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】先根據(jù)AABC是等腰直角三角形可得/8=45°,由三角形外角的性質(zhì)得N8OM=10°+45

=55°,最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：:△ABC是等腰直角三角形，

.,.ZB=45°,

10°,

/BDM=ZB+ZBCM,

：.ZBDM^10°+45°=55°,

'：MN//PQ,

：.ZPAB=ZBDM=55°.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

7.如圖，在RtAABC中，NC=90°,分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波

克拉底月牙"，當(dāng)AC=4,8C=2時，則陰影部分的面積為()

A.4B.4TTC.8itD.8

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】與圓有關(guān)的計算.

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理得到根據(jù)扇形面積公式計算即可.

【解答】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=20,

[1AC[BC〔AB

則陰影部分的面積=5XACXBC+5XnX()XnX()2-7TXTlX(—)2

2222222

=1x2X4+|x-rtx|x(AC2+BC2-AB2)

ZZ4

=4,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、扇形面積計算，掌握勾股定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在△ABC中，AO_L2C于點(diǎn)。，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).設(shè)AB=c,AC=b,AD=h,BD=m,CD

=n,m<n,且層=7加.有以下三個結(jié)論：

@c2=m2+mn；

1

②點(diǎn)A,B,C在以點(diǎn)E為圓心，](巾+n)為半徑的圓上；

③■+"，>3層.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)AZ)J_5C可得A82=BZ)2+A￡)2,即02=m2+%2,又因為〃2=加幾，所以《2=^+相〃，故①正

確；根據(jù)AO_L8C,痙=mn,可證△ABDs/^CA。，進(jìn)而NA4C=90°,所以點(diǎn)A,B,C在以點(diǎn)E為

1

圓心，5(血+71)為半徑的圓上，故②正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐一分析解答即可；在Rt^ACD中，

22222

AC=A￡>+CZ>,即。2-%2二九2,可得/?2+加2_3■=(廬一〃2)+(祖2一2層)=n+m-2mn=(m-n)

2，根據(jù)加〈九，可知(m-n)2>0,所以層+加2>3廬，故③正確.

【解答】解：9.AD=h,BD=m,CD=n,且爐=加幾，

hnCD

——=BP—=—,

mhBDAD

???A0_L5C于點(diǎn)O,

ZADB=ZCDA=90°,

XABDsXCAD,

：.ZBAD=ZC,

9：ZC+ZCAD=90°,

：.ZBAD+ZCAD=90°,

???△ABC為直角三角形.

在RtZXAB。中，AB2=BD1+AD2,

c2=m2+/z2,

?#=mn,

c2=m2+mn,故①正確.

:△ABC為直角三角形，ZBAC=90°,BC=m+〃,

1

???點(diǎn)A,B,C在以點(diǎn)E為圓心，鼻(M+n)為半徑的圓上，故②正確；

在RtZXAC。中，AC2=AD2+CD2,即廬-廬=九2,

/.Z?2+m2-3/Z2=(廬-廬)+(m2-2/z2)=n2+m2-2mn=(m-n)2,

■；m〈n,

-3/Z2=(m-n)2>0,

.?.廬+也2>3層,故③正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直徑所對的圓周角為90。、以及代數(shù)推理

等知識.

9.勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合

的紐帶之一.如圖，當(dāng)秋千靜止時，踏板8離地的垂直高度8E=0.7優(yōu)，將它往前推3機(jī)至C處時(即

水平距離CZ)=3W7),隨板離地的垂直高度CP=2.5相，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是()

A

IWIcZ^D

A.3.4mB.5mC.4mD.5.5m

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識.

【答案】A

【分析】設(shè)AC的長為x,則AB=AC=x〃z,故A￡>=AB-8D=(%-1.8)m.在直角△ADC中利用勾

股定理即可求解.

【解答】解：由題意可知，CF=2.5/77,BE=0.7m,

.\BD=1.8m.

設(shè)AC的長為尤根，貝i|AB=AC=xwi,

所以AD=A8-8￡)=(x-1.8)m.

在直角△ADC中，AD2+CD1=AC2,即(x-1,8)2+32=x2,

解得：x=3.4,

即繩索AC的長是3.4米.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，找到直角三角形并利用勾股定理構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，直線等腰直角三角形ABC和等邊在心/2之間，點(diǎn)A,。分別在心/2上，點(diǎn)B,

C,E,尸在同一直線上.若Na=53°,則的度數(shù)為()

A.50°B.52°C.54°D.56°

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】延長AC交/2于H,由平行線性質(zhì)得/C〃O=180。-Za=127°,由等腰直角三角形性質(zhì)得

NACB=/ECH=45°,再由等邊三角形性質(zhì)得NEZ加=60。,則NCED=180°-ZDEF=

120°,再由四邊形內(nèi)角和等于360°得/EDH=68。，由此可得的度數(shù).

【解答】解：延長AC交/2于H,如下圖所示：

V11//12JZa=53°,

.,.ZCH￡>+Za=180°,

ZCHZ)=180°-Za=180°-53°=127°,

???△ABC是等腰直角三角形，且N8AC=90°,

ZACB=ZECH=45°,

:△。斯是等邊三角形，

：.ZDEF=ZEDF=60°,

.?.ZCEZ)=180°-ZDEF=120°,

在四邊形CEDH中，ZECH+ZCHD+ZCED+ZEDH=360°,

即45°+127°+120°+/EDH=360°,

：.ZEDH=68°,

.?.Zp=180°-Z.EDF-ZEDH=lS0°-60°-68°=52°.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖，熟練

掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

二.填空題(共5小題)

11.如圖，在四邊形ABC。中，BCLBD,BC=2,BD=4.作AA/1.8。，垂足為點(diǎn)Af,連接CM,若

=3,則CM+AD的最小值為V41

A

C

【考點(diǎn)】勾股定理；解直角三角形；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】V41.

【分析】過。作AM的平行線，過A作8。的平行線，兩平行線交于點(diǎn)E,即AE//MD,證

明四邊形AMOE是矩形推出CM+AD=CM+ME；連接CE,則當(dāng)點(diǎn)〃與CE、BD的交點(diǎn)重合時，CM+ME

最小，從而CM+AD最小，且最小值為線段CE的長；在RtAEFC中，由勾股定理求出CE的長即可得

出結(jié)果.

【解答】解：如圖，過D作AM的平行線，過A作2D的平行線，兩平行線交于點(diǎn)E,即AM//DE,

AE//MD,

"：AM±BD,

四邊形AMDE是矩形，

：.DE±BD,AM=DE=?>,AD=ME,

：.CM+AD=CM+ME；

連接CE,

則當(dāng)點(diǎn)M與CE、8。的交點(diǎn)重合時，CM+ME最小,從而CM+A。最小，且最小值為線段CE的長;

過C作C尸〃B。，交ED延長線于點(diǎn)R則尸=90°,

四邊形BCFO是矩形，

：.CF=BD=4,ZF=90°,DF=BC=2,

：.EF^DE+DF^5；

在RtZXEFC中，由勾股定理得，

CE=VCF2+EF2=V16+25=V41,

.?.CM+AD最小值為V41,

故答案為：V41.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形EFC是解題的關(guān)

鍵.

12.如圖，把四邊形的某些邊向兩方延長，其它各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹

四邊形.如圖，在凹四邊形ABCD中，BC=2,AB=243,ZB=90°,ZC=30°,ZA=15°,則

凹四邊形ABC。的周長為4g+2a.

C

【考點(diǎn)】勾股定理；含30度角的直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】4V3+2V2.

【分析】過點(diǎn)。作。E_LBC于點(diǎn)E,作。于點(diǎn)R作/。GB=30°,設(shè)。E=x,則。=2。￡=

2x,由勾股定理求出CE的長，繼而求出BE的長，再證四邊形。防尸是矩形，即可得出DR8F的長，

再求出。G的長、FG的長，由A8的長即可求出尤的值，從而求出凹四邊形A8CQ的周長.

【解答】解：過點(diǎn)。作OELBC于點(diǎn)E,作。于點(diǎn)r作/。G8=30°,

設(shè)DE=x,

在RtZxCL比中，NC=30°,

：.CD=2DE=2x,

由勾股定理得，CE=<CD2-DE2=7(2x)2-%2=V3x,

,:BC=2,

:.BE=BC-CE=2-V3x,

\'DE±BC,DFLAB,ZB=90°,

...四邊形。EBE是矩形，

：.DE=BF=x,DF=BE=2一島,

在RtZXOFG中，ZZ)GB=30°,

:.DG=2DF=2(2-V3x)=4一2遮％,/GDF=60°,

FG

,."tan60°=籌

.B_FG

7二三總

:.FG=2V3-3x,

VZDGB=30°,ZA=15°,

?.ZADG=ZDGB-ZA=30°-15°=15°,

ZADG^ZA,

：.AG=DG=4-243x,

'：AB=2A/3,

.*.x+2-\/3—3x+4—2V3x=2V3,

x=V3—1,

CD=2V3-2,DF=V3-1,AF=AB-BF=2V3-(V3-1)=V3+1,

在RtAADF中，由勾股定理得，XD=VDF2+XF2=J(V3-l)2+(V3+l)2=2a,

.?.凹四邊形ABCD的周長為BC+AB+CD+AD=2+2V3+2y-2+2/=4舊+242,

故答案為：4V3+2V2.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，含30。角的直角三角形，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解

題的關(guān)鍵.

13.如圖，己知NBAC=60°,是角平分線且AD=20,作的垂直平分線交AC于點(diǎn)R作。ELAC,

則△OEF的周長為10+10b.

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出。及根據(jù)勾股定理求出AE,根據(jù)線段垂直平分線的

性質(zhì)、三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：：/區(qū)4。=60°,是角平分線，

.?.ZZ)A￡=30°,

在RtZXZME中，4。=20,ZDAE=30°,

：.DE=^AD=10,

由勾股定理得：AE=VXD2-DE2=10V3,

,：AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)F,

C.FA^FD,

：.LDEF的垂直=OE+EF+FD=Z)E+EF+膽=Z)E+AE=10+10V3,

故答案為：10+10VI.

【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線

上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

5-734

14.如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在以邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上，則8C邊上的高等于七.

【考點(diǎn)】勾股定理；三角形的面積.

【專題】三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力.

一5V34

【答案】-.

【分析】根據(jù)圖形可知：AC=2,AC邊上的高為5,根據(jù)勾股定理可以求得的長，再根據(jù)等面積法

即可求得邊上的高.

【解答】解：由圖可得，

AC=2,AC邊上的高為5,BC=V32+52=V34,

設(shè)BC上的邊上的高為人

?,2X5V34/1

則一=——)

22

解得h=翌，

山林15faAL5V34

故答案為：——?

17

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

15.如圖，8。是△ABC的角平分線，DELBC于點(diǎn)E.若BE=3,△BOE的面積為1.5,則點(diǎn)。到邊A8

的距離為1.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】1.

【分析】過點(diǎn)。作。尸，A8,交A8的延長線于點(diǎn)凡根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得。然后根據(jù)面

積公式求出。E即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)。作。尸，42,交A8的延長線于點(diǎn)R

：8。是△ABC的角平分線，OEL8C于點(diǎn)E,

：.DE=DF,

:BE=3,△BOE的面積為1.5,

1

—X3XDE=1.5,

2

解得?！?1,

：.DF=DE=\.

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理,掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，ZkABC中，AB=2AC,點(diǎn)尸為8C延長線上一點(diǎn).

（1）若①4c=/8,③CP=2,求出的長；（請從信息“①/B4c=/8,②BC=6,③

CP=2”中選擇兩個分別填入橫線中，將題目補(bǔ)充完整，并完成解答.）

（2）在（1）的條件下，當(dāng)AC=A尸時，求△ABC的面積.

（備用圖）

【考點(diǎn)】三角形的面積.

【專題】三角形；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力.

【答案】（1）①/朋C=/B,③CP=2；%=4；

（2）3V15.

Cp4c

【分析】（1）選擇①③CP=2,證△必Cs/kPBA得一=一，再根據(jù)A2=2AC即可得

PAAB

p力CPAC1

PA的長；另外（i）如果選擇①NEACuNB,②BC=6,由△RICS2XPBA得一=一=——=一，

PBPAAB2

進(jìn)而得P8=29,PA=2CP,此時求不出心的長；（ii）如果選擇②BC=6,?CP=2,此時也求出外

的長，由此即可得出答案；

（2）過點(diǎn)A作AO_LPC于。，則CP=2,AC=AP=4,進(jìn)而得CO=PD=1,再由勾股定理求出AD=V15,

zc1__

則Sc=V15,根據(jù)AB4c和△PB4相似且一=一,得SPAB=4V15,由此可得AABC的面積.

AB2A

【解答】解：（1）若①NB4C=NB③CP=2,求B4的長；

VZB4C=ZB,ZP=ZP,

?CPAC

??—,

PAAB

9

：AB=2ACf

.CP1

??=一,

PA2

：.PA=2CP=^

另外(i)如果選擇①NB4C=N8,②BC=6,

同理AB4cs△PR4,

ePACPAC1

??PB~PA~AB~2

：.PB=2PA,B4=2CP,

此時求不出出的長；

(ii)如果選擇②5c=6,③CP=2,此時也求出陰的長.

故答案為：①NB4C=N8③CP=2.

(2)過點(diǎn)A作AOLPC于。，如下圖所示：

???在（1）的條件下,

：.CP=2,AP=4,

：.AC=AP=4,

；?CD=PD=1,

在Rt^ACZ）中，由勾股定理得：AD=yjAC2-CD2=V15,

.".SAPAC=.XCPXAD=X2V15=V15,

AC1

「△B4cs△尸BA,—=一，

AB2

S^PAC:S^PBA=1:4,

S^PAB=4S/\PAC=4V15,

?\S^ABC=S^PAB-SAB4C=4V15-V15=3V15.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)

是解決問題的關(guān)鍵.

17.如圖，CA=CD,ZBCE=ZACD,BC=EC.

(1)求證：AB=DE；

(2)若乙4=25°,Z￡=35°,求/ECZ)的度數(shù).

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由得/ACB=NDCE,而CA=CZ),BC=EC,即可根據(jù)“SAS”證明△

ACB與ADCE,貝!]A8=OE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得NA=NQ=25°,而/E=35°,則NEC￡)=180°-ZD-ZE=120°.

【解答】(1)證明：

NBCE+NACE=ZACD+ZACE,

：.ZACB=ZDCE,

在△ACB和△OCE中，

CA=CD

Z.ACB=Z.DCE,

BC=EC

:.AACB2ADCE(SAS),

：.AB=DE.

(2)解：由(1)得△ACB之△OCE,

AZA=ZD=25°,

VZ￡=35°,

AZ￡CD=180°-ZD-ZE=180°25°-35°=120°,

.?./EC。的度數(shù)是120°.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，推導(dǎo)出

進(jìn)而證明△ACB會△OCE是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知△ABC,NC=50°,將AB沿著射線2C的方向平移至。E,使E為BC的中點(diǎn)，連接AD,

記DE與AC的交點(diǎn)為。.

(1)求證：AAOD^ACOE；

(2)若AC平分/BA。，求NB的度數(shù).

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】(1)見解析過程；

(2)80°.

【分析】⑴由三角形中位線定理可得。4=OC,EO=%B=OD,由“SAS”可證△49。絲△(%)￡；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/ZMO=NC=50°,由角平分線的定義可得"/氏4。=2/。4。=100°,

由平行線的性質(zhì)可求解.

【解答】(1)證明：由平移可知，AB=DE,AB//DE,

為BC的中點(diǎn)，

是△ABC的中位線，

：.OA=OC,EO=^AB,

1

???OE=2E,

即DO=OE,

在△AO。與△COE中，

OA=OC

Z-AOD=Z-COE,

OD=OE

：.AAOD^ACOE(SAS)；

(2)解：VAAOD^ACOE,

：.ZDAO=ZC=50°,

〈AC平分NBA。，

：.ZBAC=ZOAD=50°,

/.ZBAD=2ZDAO=100°,

由平移可知，AD//BC,

：.ZBAD+ZB=1SO°,

.?.ZB=180°-ZJBAD=180°-100°=80°.

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的定理，平移的性質(zhì)，掌握全等三角形的

判定是解題的關(guān)鍵.

19.某校項目式學(xué)習(xí)小組開展項目活動，過程如下：

項目主題：測量某水潭的寬度.

問題驅(qū)動：能利用哪些數(shù)學(xué)原理來測量水潭的寬度？

組內(nèi)探究：由于水潭中間不易到達(dá)，無法直接測量，需要借助一些工具來測量，比如自制的直角三角形

硬紙板，米尺，測角儀，平面鏡等，甚至還可以利用無人機(jī)，確定方法后，先畫出測量示意圖，然后進(jìn)

行實地測量，并得到具體數(shù)據(jù)，從而計算水潭的寬度.

成果展示：下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時的兩種測量方案：

方案方案①方案②

測量示意圖w:

圖②

圖①

測量說明如圖①，測量員在地面上找如圖②，測量員在地面上找

一點(diǎn)C,在BC連線的中點(diǎn)。一點(diǎn)C,沿著BC向前走到點(diǎn)

處做好標(biāo)記，從點(diǎn)C出發(fā)，。處，使得CO=AC,沿著

沿著與平行的直線向前AC向前走到點(diǎn)E處，使得

走到點(diǎn)E處，使得點(diǎn)E與點(diǎn)CE=BC,測出。、E兩點(diǎn)之

A、。在一條直線上，測出間的距離

CE的長度

測量結(jié)果CE=20m,BD=CD,CE//AC=CD,BC=CE,DE=20m

AB

請你選擇上述兩種方案中的一種，計算水潭的寬度

【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】選擇方案①：先證明/ABC=NC,結(jié)合NADB=NEDC,DB=DC,可得△A3。絲

再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

選擇方案②：直接利用SAS證明△AC80ADCE,再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

【解答】解：選擇方案①；

'：CE//AB,

：.ZABC=ZC,

；NADB=NEDC,DB=DC,

：.△ABD"AECD,

'：CE=2Qm,

：.AB=CE=20(m),

水潭的寬度AB為20m；

選擇方案②：

'：AC=DC,BC=EC,ZACB=ZDCE,

：.AACB^ADCE,

'：DE=2Qm,

：.AB=DE^20(m),

，水潭的寬度4B為20%；

【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定方法與全等三角形的性質(zhì)是解本題的

關(guān)鍵.

20.將△ABC和△。斯如圖放置.已知/D+NCHF=180°,AB//EF,求證：AABC^ADEF.

BECD

【考點(diǎn)】全等三角形的判定.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】見解答.

【分析】先根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZCHE=

ZA,所以NA=N。，然后利用“ASA”可判斷△ABC咨△￡>￡?

【解答】證明：VZD+ZCHF=180°,NCHF+/CHE=180°,

：.ZD=ZCHE,

'：AB//EF,

:./B=/DEF,ZCHE=ZA,

：.ZA^ZD,

在△ABC和△。瓦'中，

fZA=/D

.AB=DE'

、乙B=乙DEF

：.AABC^ADEF(ASA).

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵；選用

哪一種方法，取決于題目中的已知條件.

考點(diǎn)卡片

1.數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向.

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù).(一般取右方

向為正方向，數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù).)

(3)用數(shù)軸比較大小：一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

2.解一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組

的解集.

(2)解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

(3)一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些

解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到.

3.一元一次不等式組的整數(shù)解

(1)利用數(shù)軸確定不等式組的解(整數(shù)解).

解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一

步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解.

(2)已知解集(整數(shù)解)求字母的取值.

一般思路為：先把題目中除未知數(shù)